山東專用2024新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題限時(shí)集訓(xùn)2排列組合與二項(xiàng)式定理含解析

PAGE專題限時(shí)集訓(xùn)(二)排列、組合與二項(xiàng)式定理概率與統(tǒng)計(jì)1．(2024·新高考全國(guó)卷Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館支配1名，乙場(chǎng)館支配2名，丙場(chǎng)館支配3名，則不同的支配方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種C[Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60.]2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，很多志愿者踴躍報(bào)名參與配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)料其次天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少須要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名B[由題意知，其次天在沒有志愿者幫忙的狀況下，積壓訂單超過(guò)500＋(1600—1200)＝900份的概率為0.05，因此要使其次天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，至少須要志愿者eq\f(900,50)＝18(名)，故選B．]3．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312A[3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A．]4．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種D[由題意可得其中1人必需完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝36(種)．故選D．]5．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16C．20D．24A[綻開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12.]6．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的綻開式中，x5y2的系數(shù)為()A．10B．20C．30D．60C[法一：利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.故選C．法二：利用組合學(xué)問(wèn)求解．(x2＋x＋y)5為5個(gè)x2＋x＋y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝30.故選C．]7．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)演講競(jìng)賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成果時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差A(yù)[記9個(gè)原始評(píng)分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的依次排列)，易知e為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A．]8．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[對(duì)于A，當(dāng)p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4時(shí)，隨機(jī)變量X1的分布列為X11234P0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65).對(duì)于B，當(dāng)p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1時(shí)，隨機(jī)變量X2的分布列為X21234P0.40.10.10.4E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85).對(duì)于C，當(dāng)p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3時(shí)，隨機(jī)變量X3的分布列為X31234P0.20.30.30.2E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05).對(duì)于D，當(dāng)p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2時(shí)，隨機(jī)變量X4的分布列為X41234P0.30.20.20.3E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45).所以B中的標(biāo)準(zhǔn)差最大．]9．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)C[不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(2,10)種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故選C．]10．(2024·新高考全國(guó)卷Ⅰ)某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳，60%的學(xué)生喜愛足球，82%的學(xué)生喜愛游泳，則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C[不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生人數(shù)為x，則100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.選C．]11．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半A[法一：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減是錯(cuò)誤的．故選A．法二：因?yàn)?.6＜0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是削減，所以A是錯(cuò)誤的．故選A．]12．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的改變規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，改變比較平穩(wěn)A[對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，視察折線圖的改變趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知明顯正確．故選A．]13．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)依據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是()A．逐年比較，2008年削減二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈削減趨勢(shì)D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D[依據(jù)給出的柱形圖，逐項(xiàng)驗(yàn)證．對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D．]14．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)隨意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A．18個(gè)B．16個(gè)C．14個(gè)D．12個(gè)C[由題意知：當(dāng)m＝4時(shí)，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0，4項(xiàng)為1，且必有a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對(duì)隨意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”，則中間6個(gè)數(shù)的狀況共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的狀況有：①若a2＝a3＝1，則有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)．故共有14個(gè)．故選C．]15．[一題兩空](2024·天津高考)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為________．eq\f(1,6)eq\f(2,3)[依題意得，甲、乙兩球都落入盒子的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).甲、乙兩球都不落入盒子的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，則甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]16．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué)，則不同的支配方法共有________種．36[由題意，分兩步進(jìn)行支配，第一步，將4名同學(xué)分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有Ceq\o\al(2,4)＝6種支配方法；其次步，將分好的3組支配到對(duì)應(yīng)的3個(gè)小區(qū)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種支配方法，所以不同的支配方法有6×6＝36(種)．]1．(2024·泰安模擬)在中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)期間，有A，B，C，D，E，F(xiàn)六名游客打算前往葫蘆島市的四個(gè)網(wǎng)紅景點(diǎn)——“葫蘆山莊、興城古城、菊花島、九門口”進(jìn)行旅游參觀．若每名游客只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少要去一名游客，其中A，B須要到同一景點(diǎn)旅游，則不同的旅游方法有()A．120種B．240種C．360種D．480種B[因?yàn)锳，B須要到同一景點(diǎn)旅游，可以把A，B看作一個(gè)整體，故不同的旅游方法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種．]2．(2024·大同調(diào)研)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))eq\s\up10(n)的綻開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．210B．180C．160D．175B[法一：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))eq\s\up10(n)的綻開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝10，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))eq\s\up10(10)綻開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(eq\r(x))10－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))eq\s\up10(k)＝(－2)kCeq\o\al(k,10)xeq\s\up10(eq\f(10－k,2))－2k＝(－2)kCeq\o\al(k,10)xeq\s\up10(5－eq\f(5,2)k)，令5－eq\f(5,2)k＝0，解得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為(－2)2Ceq\o\al(2,10)＝180，故選B．法二：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))eq\s\up10(n)的綻開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝10，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))eq\s\up10(10)可以看成10個(gè)多項(xiàng)式eq\r(x)－eq\f(2,x2)相乘，要想得到常數(shù)項(xiàng)，則需在其中2個(gè)多項(xiàng)式中取－eq\f(2,x2)，余下的8個(gè)多項(xiàng)式中都取eq\r(x)，則常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(2,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)))eq\s\up10(2)(eq\r(x))8＝180.]3．(2024·唐山模擬)在(x＋y)(x－y)5的綻開式中，x3y3的系數(shù)是()A．－10B．0C．10D．20B[法一：(x－y)5綻開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－kyk(k＝0，1，2，3，4，5)，所以(x＋y)(x－y)5綻開式的通項(xiàng)為(－1)kCeq\o\al(k,5)x6－kyk或(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－kyk＋1，則當(dāng)k＝3時(shí)，有(－1)kCeq\o\al(k,5)x6－kyk＝－10x3y3，當(dāng)k＝2時(shí)，有(－1)kCeq\o\al(k,5)x5－kyk＋1＝10x3y3，所以x3y3的系數(shù)為0，故選B．法二：(x＋y)(x－y)5＝(x＋y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)(x－y)，要想出現(xiàn)x3y3，有兩種狀況：(1)先在第一個(gè)多項(xiàng)式中取x，再在后五個(gè)多項(xiàng)式中任選兩個(gè)多項(xiàng)式，在這兩個(gè)多項(xiàng)式中取x，最終在余下的三個(gè)多項(xiàng)式中?。瓂，所以有xCeq\o\al(2,5)x2(－y)3＝－10x3y3；(2)先在第一個(gè)多項(xiàng)式中取y，再在后五個(gè)多項(xiàng)中任選三個(gè)多項(xiàng)式，在這三個(gè)多項(xiàng)式中取x，最終在余下的兩個(gè)多項(xiàng)式中?。瓂，所以有yCeq\o\al(3,5)x3(－y)2＝10x3y3.所以x3y3的系數(shù)為0，故選B．]4．(2024·臨沂模擬)袋子中有大小、形態(tài)完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“和”“諧”“?！薄皥@”四個(gè)字，有放回地從中隨意摸出一個(gè)小球，直到“和”“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率．利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間(含1和4)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“和”“諧”“?！薄皥@”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,6)C．eq\f(2,9)D．eq\f(5,18)C[由18組隨機(jī)數(shù)得，恰好在第三次停止摸球的隨機(jī)數(shù)是142，112，241，142，共4組，所以恰好第三次就停止摸球的概率約為eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)，故選C．]5．(2024·江西紅色七校第一次聯(lián)考)下表是鞋子的長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)碼數(shù)的關(guān)系：長(zhǎng)度/cm2424.52525.52626.5碼數(shù)383940414243已知人的身高y(單位：cm)與腳板長(zhǎng)x(單位：cm)線性相關(guān)且回來(lái)直線方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝7x－7.6.若某人的身高為173cm，據(jù)此模型，估計(jì)其穿的鞋子的碼數(shù)為()A．40B．41C．42D．43C[當(dāng)y＝173時(shí)，x＝eq\f(173＋7.6,7)＝25.8，比照表格可估計(jì)碼數(shù)為42.]6．(2024·安徽示范中學(xué)名校聯(lián)考)2024年5月22日具有“國(guó)家戰(zhàn)略”意義的“長(zhǎng)三角一體化會(huì)議在蕪湖實(shí)行，長(zhǎng)三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡(jiǎn)稱“三省一市”．現(xiàn)有4名高三學(xué)生打算高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個(gè)地方旅游，假設(shè)每名同學(xué)均從這四個(gè)地方中隨意選取一個(gè)去旅游，則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為()A．eq\f(27,64)B．eq\f(9,16)C．eq\f(81,256)D．eq\f(7,16)B[4名高三學(xué)生從這四個(gè)地方中各隨意選取一個(gè)去旅游，共有44種可能結(jié)果．設(shè)事務(wù)A為“恰有一個(gè)地方未被選中”，則事務(wù)A可能的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(種)，所以P(A)＝eq\f(144,44)＝eq\f(9,16).故選B．]7．(2024·惠州其次次調(diào)研)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和”，如40＝3＋37.在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其和等于40的概率是()[注：假如一個(gè)大于1的整數(shù)除了1和它本身外無(wú)其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)．]A．eq\f(1,15)B．eq\f(1,17)C．eq\f(1,22)D．eq\f(1,26)C[不超過(guò)40的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12個(gè)數(shù).40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3組數(shù)的和等于40，所以隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其和等于40的概率為eq\f(3,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,22)，故選C．]8．(2024·蘭州診斷)近五年來(lái)某草場(chǎng)羊只數(shù)量與草場(chǎng)植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示，繪制相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．年份代碼12345羊只數(shù)量/萬(wàn)只1.40.90.750.60.3草場(chǎng)植被指數(shù)1.14.315.631.349.7依據(jù)表及圖得到以下推斷：①羊只數(shù)量與草場(chǎng)植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系；②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為r1，去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為r2，則|r1|＜|r2|；③可以利用回來(lái)直線方程，精確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬(wàn)只時(shí)的草場(chǎng)植被指數(shù)．以上推斷中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[由散點(diǎn)圖可知，羊只數(shù)量和草場(chǎng)植被指數(shù)成負(fù)相關(guān)，所以羊只數(shù)量與草場(chǎng)植被指數(shù)有相關(guān)關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系，故①錯(cuò)；－1＜r1＜0，－1＜r2＜0，在去掉第一年數(shù)據(jù)之后，由題圖可看出回來(lái)模型的相關(guān)程度更強(qiáng)，所以r2更接近于－1，所以0＜|r1|＜|r2|＜1，故②正確；因?yàn)榛貋?lái)直線方程得到的預(yù)料值是預(yù)料變量的估計(jì)值，不是精確值，故③錯(cuò)．綜上所述，推斷中正確的個(gè)數(shù)是1，故選B．]9．(2024·南昌模擬)已知一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法得到其線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝－2x＋4，若x1，x2，x3，…，x6的平均數(shù)為1，則y1＋y2＋y3＋…＋y6＝()A．10B．12C．13D．14B[回來(lái)直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x，y)，因?yàn)閑q\x\to(x)＝1，所以eq\x\to(y)＝－2×1＋4＝2，所以y1＋y2＋y3＋…＋y6＝6×2＝12.故選B．]10．(2024·南京模擬)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年2月4日至2024年2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合實(shí)行．某校支配甲、乙、丙、丁、戊五名高校生分別做冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目至少支配1人，則學(xué)生甲被單獨(dú)支配到冰球競(jìng)賽項(xiàng)目做志愿者的概率為()A．eq\f(5,12)B．eq\f(1,12)C．eq\f(7,75)D．eq\f(4,75)C[首先將5名學(xué)生分為3組，若按3，1，1進(jìn)行分組，有Ceq\o\al(3,5)種分組方法；若按2，2，1進(jìn)行分組，有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))種分組方法，再將分好的三組分別支配到三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目，有Aeq\o\al(3,3)種支配方法，綜上所述，不同的支配方法共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,5)＋\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))))×Aeq\o\al(3,3)＝150種．學(xué)生甲被單獨(dú)支配去冰球競(jìng)賽項(xiàng)目，則剩余的4名高校生支配到剩余的兩個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目，同理有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,4)＋\f(C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))))×Aeq\o\al(2,2)＝14種不同的支配方法，則所求概率為eq\f(14,150)＝eq\f(7,75)，故選C．]11．[多選](2024·濟(jì)南模擬)若(1－ax＋x2)4的綻開式中x5的系數(shù)為－56，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)的值－2B．綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為0C．綻開式中x的系數(shù)為4D．綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為70BD[(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故綻開式中x5項(xiàng)為Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(3,3)(－ax)3x2＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.(1－ax＋x2)4＝(x－1)8，則綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為0，綻開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(7,8)(－1)7＝－8，綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為Ceq\o\al(4,8)＝70，故選BD．]12．[多選](2024·日照模擬)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，則()A．a(chǎn)0＝－32 B．a(chǎn)2＝－80C．a(chǎn)3＋4a4＝0 D．a(chǎn)0＋a1＋…＋a5＝1ABC[令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正確．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正確．令x＋1＝y(tǒng)，則(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就變?yōu)?y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，依據(jù)二項(xiàng)式定理知，a2即二項(xiàng)式(y－2)5綻開式中y2項(xiàng)的系數(shù)，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)y5－r(－2)r，故a2＝Ceq\o\al(3,5)·(－2)3＝－80，B正確．a(chǎn)4＝Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.故C正確．故選ABC．]13．[多選](2024·濱州模擬)下圖是某商場(chǎng)2024年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷量的百分比積累圖(例如：第三季度內(nèi)，洗衣機(jī)銷量約占20%，電視機(jī)銷量約占50%，電冰箱銷量約占30%).依據(jù)該圖，以下結(jié)論中不肯定正確的是()A．電視機(jī)銷量最大的是第四季度B．電冰箱銷量最小的是第四季度C．電視機(jī)的全年銷量最大D．洗衣機(jī)的全年銷量最小ABD[對(duì)于A，對(duì)比四個(gè)季度中，第四季度所銷售的電視機(jī)所占百分比最大，但由于銷售總量未知，所以銷量不肯定最大．同理，易知B不肯定正確．在四個(gè)季度中，電視機(jī)在每個(gè)季度的銷量所占百分比都最大，即在每個(gè)季度銷量都是最多的，所以全年銷量最大的是電視機(jī)，C正確，對(duì)于D，洗衣機(jī)在第四季度所占百分比不是最小的，故D不肯定正確．]14．[多選](2024·東營(yíng)模擬)下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2024年4月11日發(fā)布的2024年3月到2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅狀況折線圖．(注：2024年2月與2024年2月相比較稱同比，2024年2月與2024年1月相比較稱環(huán)比)，依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅A．2024年3月至2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲B．2024年3月至2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌C．2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大D．2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比改變最快ABD[由折線圖分析知2024年3月至2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲，故A正確；2024年3月至2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比上漲的有2024年7月、8月、9月、10月、12月和2024年2月，下跌的有2024年3月、4月、5月、6月、11月和2024年3月，故B正確；2024年9月、10月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅均是2.5%，同比漲幅最大，故C錯(cuò)誤；2024年3月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比改變最快，故D正確．]15．[多選](2024·棗莊模擬)在某次中學(xué)學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成果統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，則下列說(shuō)法中正確的是()A．成果在[70，80)分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競(jìng)賽成果的平均數(shù)約為70.5分D．考生競(jìng)賽成果的中位數(shù)約為75分ABC[由頻率分布直方圖可知，成果在[70，80)分的考生人數(shù)最多，所以選項(xiàng)A正確．不及格的人數(shù)為4000×(0.01＋0.015)×10＝1000，所以選項(xiàng)B正確．平均分約為(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5(分)，所以選項(xiàng)C正確．設(shè)中位數(shù)約為x0分，因?yàn)?0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABC．]16．[多選](2024·德州模擬)同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地勻稱的四面分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體一次．記事務(wù)A＝{第一個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)}；事務(wù)B＝{其次個(gè)四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)}；事務(wù)C＝{兩個(gè)四面體向下的一面或者同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)}．則()A．P(A)＝eq\f(1,2) B．P(C)＝eq\f(1,3)C．P(AB)＝eq\f(1,4) D．P(ABC)＝eq\f(1,8)AC[由題意知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,2).因?yàn)锳，B是相互獨(dú)立事務(wù)，C與A，B不是相互獨(dú)立事務(wù)，所以P(ABC)＝eq\f(1,8)是錯(cuò)誤的，P(AB)＝eq\f(1,4)，故選AC．]17．[多選](2024·威海模擬)某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇15名志愿者，對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位：厘米)，圖1為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，圖2為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，并求得其回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝1.16x－30.75，以下結(jié)論中正確的是()圖1圖2A．15名志愿者身高的極差小于臂展的極差B．15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系C．可估計(jì)身高為190厘米的人臂展為189.65厘米D．身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米ABC[對(duì)于選項(xiàng)A，15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的極差小于臂展的極差，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由左下到右上，為正相關(guān)，正確；選項(xiàng)C就是把x＝190代入回來(lái)方程得到預(yù)估值189.65，正確；而對(duì)于選項(xiàng)D，相關(guān)關(guān)系不是確定的函數(shù)關(guān)系，所以選項(xiàng)D說(shuō)法不正確．故選ABC．]18．[多選](2024·聊城模擬)江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．江先生從家到公交站或地鐵站都要步行5分鐘．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上常常擁堵，所需時(shí)間Z(單位：分)聽從正態(tài)分布N(33，42)，下車后從公交站步行到單位要12分鐘；乘坐地鐵暢通，但路途長(zhǎng)且乘客多，所需時(shí)間Z(單位：分)聽從正態(tài)分布N(44，22)，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘．從統(tǒng)計(jì)的角度看，下列說(shuō)法合理的是()(參考數(shù)據(jù)：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.9973)A．若8：00出門，則乘坐公交上班不會(huì)遲到B．若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D．若8：12出門，則乘坐地鐵上班幾乎不行能不遲到CD[對(duì)于選項(xiàng)A，江先生乘坐公交的時(shí)間不大于43分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(Z≤43)<P(Z≤45)，且P(33－12<Z≤33＋12)≈0.9973，所以P(Z≤43)<P(Z≤45)≈0.5＋0.5×0.9973≈0.9987，所以“江先生上班遲到”還是有可能發(fā)生的，所以選項(xiàng)A不合理；對(duì)于選項(xiàng)B，若江先生乘坐地鐵上班，則其乘坐地鐵的時(shí)間不大于48分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(44－4＜Z≤44＋4)≈0.9545，所以P(Z≤48)≈0.5＋0.9545×0.5≈0.9773，所以“江先生8：02出門，乘坐地鐵上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.9773，若江先生乘坐公交上班，則其乘坐公交的時(shí)間不大于41分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(33－8＜Z≤33＋8)≈0.9545，所以P(Z≤41)≈0.5＋0.9545×0.5≈0.9773，所以“江先生8：02出門，乘坐公交上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.9773，二者可能性一樣，所以選項(xiàng)B不合理；對(duì)于選項(xiàng)C，若江先生乘坐公交上班，則其乘坐公交的時(shí)間不大于37分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(33－4＜Z≤33＋4)≈0.6827，所以P(Z≤37)≈0.5＋0.5×0.6827≈0.8414，所以“江先生8：06出門，乘坐公交上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.8414，若江先生乘坐地鐵上班，則其乘坐地鐵的時(shí)間不大于44分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(Z≤44)＝0.5，所以“江先生8：06出門，乘坐地鐵上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.5，又0.8414＞0.5，所以選項(xiàng)C是合理的；對(duì)于選項(xiàng)D，江先生乘坐地鐵的時(shí)間不大于38分鐘才不會(huì)遲到，因?yàn)镻(44－6