題型08 手把手教學(xué)答題模板之4類函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值最值-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型08手把手教學(xué)答題模板之4類函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值最值技法01技法01具體函數(shù)的單調(diào)性技法02含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法03含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法04二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性技法05函數(shù)的極值最值技法01具體函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個(gè)問題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而具體函數(shù)的單調(diào)性是要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)遷移導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減例1-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)椋傻?，，令，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，例1-2．（全國·高考真題）已知函數(shù)．若，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當(dāng)a=3時(shí)，，．令解得x=或x=．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性技法02含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個(gè)問題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的難點(diǎn)例2-1．（2023·河北唐山模擬）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例2-2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得或．①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．③當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．例2-3．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，，分以下兩大情形來討論的單調(diào)性：情形一：當(dāng)時(shí)，有，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)單調(diào)遞增；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；情形二：當(dāng)時(shí)，令，解得，接下來又分三種小情形來討論的單調(diào)性：情形（1）：當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)隨的變化情況如下表：由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；情形（2）：當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增；情形（3）：當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)隨的變化情況如下表：由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性．2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；3．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，討論函數(shù)的單調(diào)性.4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性技法03含參函數(shù)且導(dǎo)函數(shù)不可分解型函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)主干知識(shí),單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用,可以說在高考導(dǎo)數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個(gè)問題.這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直是高考考查的熱點(diǎn)、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用更是高考中的難點(diǎn)例3-1．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【詳解】定義域?yàn)?，因?yàn)椋?令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增例3-2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.1．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知，討論的單調(diào)性；2．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)（），討論的單調(diào)性；3．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知（）．討論的單調(diào)性；技法04二階導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時(shí)解題受阻。需要利用“二次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題，若遇這類問題，必須“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”在有些函數(shù)問題中，如含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的函數(shù)問題，求導(dǎo)之后往往不易或不能直接判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而不能進(jìn)一步判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值情況，此時(shí)解題受阻。需要利用“二次求導(dǎo)”才能找到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題，若遇這類問題，必須“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”，因此函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用尤為重要。例4-1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】，，，恒成立，所以在遞增.所以當(dāng)，；，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.例4-2．（2021春·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】令，則．令，得；令，得．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，，當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減．1．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).若，討論的單調(diào)性；2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中當(dāng)時(shí)，討論單調(diào)性；技法05函數(shù)的極值最值導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是每年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),無論是客觀題還是解答題，多數(shù)情況下處于壓軸題的位置，起著“把關(guān)定向”的作用.高考數(shù)學(xué)“成也導(dǎo)數(shù)，敗也導(dǎo)數(shù)”是導(dǎo)數(shù)試題重要性的真實(shí)寫照.極值和最值是函數(shù)的兩條最重要的性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值更是高考命題考查的熱點(diǎn)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,也是每年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),無論是客觀題還是解答題，多數(shù)情況下處于壓軸題的位置，起著“把關(guān)定向”的作用.高考數(shù)學(xué)“成也導(dǎo)數(shù)，敗也導(dǎo)數(shù)”是導(dǎo)數(shù)試題重要性的真實(shí)寫照.極值和最值是函數(shù)的兩條最重要的性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值更是高考命題考查的熱點(diǎn)知識(shí)遷移極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值例5-1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【詳解】因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.例5-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．求a【詳解】的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.例5-3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，若在存在極值，求a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，