《電路應(yīng)用基礎(chǔ)》課件第6章

第6章一階動(dòng)態(tài)電路分析6.1換路定律

6.2一階電路的零輸入響應(yīng)

6.3直流激勵(lì)下一階電路的零狀態(tài)

6.4一階電路的全響應(yīng)及其求法

6.5一階電路的三要素法應(yīng)用與訓(xùn)練本章小結(jié)習(xí)題六

本章將研究RC電路及RL電路在不同激勵(lì)輸入時(shí)的時(shí)間響應(yīng)。理解電容器及電感器中的電壓和電流的變化特征，是學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的關(guān)鍵。因此學(xué)習(xí)本章內(nèi)容前應(yīng)復(fù)習(xí)第3章的內(nèi)容。

通過本章的學(xué)習(xí)，要求理解過渡過程的概念，掌握換路定律與初始值的計(jì)算，掌握零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)的過程及分析方法，掌握三要素法。

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)過渡過程的概念；

(2)換路定律；

(3)初始值的計(jì)算。

獲取能力：

(1)理解過渡過程的概念；

(2)掌握換路定律的實(shí)質(zhì)，即換路瞬間電容電壓不能躍變，電感電流不能躍變；

(3)能熟練計(jì)算換路過程的初始值。6.1換路定律6.1.1過渡過程的概念

過渡過程是自然界各種事物在運(yùn)動(dòng)中普遍存在的現(xiàn)象。停在站內(nèi)的火車速度為零，是一種穩(wěn)定狀態(tài)；若其駛出車站后，在某區(qū)間內(nèi)以一定速度勻速直線行駛，則是另一種穩(wěn)定狀態(tài)?；疖噺那耙环N穩(wěn)定狀態(tài)到后一種穩(wěn)定狀態(tài)，須經(jīng)歷一個(gè)加速行駛的過程，這就是過渡過程。含有電感或電容電路若發(fā)生換路——電路的接通或切斷、激勵(lì)或參數(shù)的突變等，則電路將從換路前的穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)歷一段時(shí)間達(dá)到另一新的穩(wěn)定狀態(tài)。電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)之間的過程，即為電路的過渡過程。電路的過渡過程一般歷時(shí)很短，故也稱為暫態(tài)過程；而電路的穩(wěn)定狀態(tài)則簡稱為穩(wěn)態(tài)。暫態(tài)過程雖然短暫，卻是不容忽視的。在脈沖數(shù)字技術(shù)中，電路的工作狀態(tài)主要是暫態(tài)；而在電力系統(tǒng)中，過渡過程產(chǎn)生的瞬間過電壓或過電流，則可能危及設(shè)備甚至人身安全，必須采取措施加以預(yù)防。6.1.2換路定律

含儲(chǔ)能元件的電路換路后之所以會(huì)發(fā)生過渡過程，是由儲(chǔ)能元件的能量不能躍變所決定的。從第3章已經(jīng)知道：電容元件和電感元件都是儲(chǔ)能元件。實(shí)際電路中電容和電感的儲(chǔ)能都只能連續(xù)變化，這是因?yàn)閷?shí)際電路所提供的功率只能是有限值。如果它們的儲(chǔ)能發(fā)生躍變，則意味著功率

即電路須向它們提供無限大的功率，這實(shí)際上是辦不到的。電容元件儲(chǔ)存的能量

(6-1-1)

而電感元件儲(chǔ)存的能量

(6-1-2)從式(6-1-1)、式(6-1-2)可以看出，由于儲(chǔ)能不能躍變，因此電容電壓不能躍變，電感電流也不能躍變。這一規(guī)律從儲(chǔ)能元件的VCR也可以看出。

電容元件的VCR為

實(shí)際電路中電容元件的電流iC為有限值，即電壓的變化

率 為有限值，故電壓uC的變化是連續(xù)的。電感元件的VCR為

實(shí)際電路中電感元件的電壓uL為有限值，即電流的變化

率 為有限值，故電流iL的變化是連續(xù)的。

實(shí)際電路中uC、iL的這一規(guī)律適合于任一時(shí)刻，當(dāng)然也適合于換路瞬間。即換路瞬間電容電壓不能躍變，電感電流不能躍變，這就是換路定律。設(shè)瞬間發(fā)生換路，則換路定律可用數(shù)學(xué)式表示為

(6-1-3)

其中，0－表示t從負(fù)值趨于零的極限，即換路前的最后瞬間；0＋則表示t從正值趨于零的極限，即換路后的最初瞬間。式(6-1-3)在數(shù)學(xué)上表示函數(shù)uC(t)和iL(t)在t＝0的左極限和右極限相等，即它們?cè)趖＝0連續(xù)。6.1.3初始值的計(jì)算

電路的過渡過程是從換路后的最初瞬間即t＝0＋開始的，電路中各電壓、電流在t＝0＋的瞬時(shí)值是過渡過程中各電壓、電流的初始值。對(duì)過渡過程的分析往往首先計(jì)算電路中各電壓、電流的初始值。下面先看一個(gè)計(jì)算初始值的例子。

例6-1-1

圖6-1-1(a)所示電路中，US＝10V，R1＝15W，R2＝5W，開關(guān)S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。求S斷開后電路中各電壓、電流的初始值。

解設(shè)開關(guān)S在瞬間斷開，即t＝0時(shí)發(fā)生換路。換路前電路為直流穩(wěn)態(tài)，電容C相當(dāng)于開路，如圖6-1-1(b)所示。根據(jù)圖(b)所示電路可求得

換路后的電路如圖6-1-1(c)所示。根據(jù)換路定律，換路后的最初瞬間

UC(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

電路R2與電容C并聯(lián)，故R2的電壓

U2(0＋)＝UC(0－)＝2.5V

R2的電流為

由于S已斷開，根據(jù)KCL得

i1(0＋)＝0

iC(0＋)＝i1(0＋)－i2(0＋)＝0－0.5＝－0.5A

圖6-1-1例6-1-1用圖從上例可歸納計(jì)算初始值的步驟如下：

(1)根據(jù)換路前的電路求t＝0－瞬間的電容電壓uC(0－)或電感電流iL(0－)。若換路前電路為直流穩(wěn)態(tài)，則電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路。

注意：除uC(0－)、iL(0－)以外，其他電壓、電流在t＝0瞬間可能躍變(讀者可自行驗(yàn)證)，因而計(jì)算它們?cè)趖＝0－的瞬時(shí)值對(duì)分析過渡過程是毫無價(jià)值的。

(2)根據(jù)換路定律，換路后電容電壓和電感電流的初始值分別等于它們?cè)趖＝0－的瞬時(shí)值，即

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

電容電壓、電感電流的初始值反映電路的初始儲(chǔ)能狀態(tài)，簡稱為(電路的)初始狀態(tài)。

(3)以初始狀態(tài)即電容電壓、電感交流的初始值為已知條件，根據(jù)換路后(t＝0＋)的電路進(jìn)一步計(jì)算其他電壓、電流的初始值。

例6-1-2

圖6-1-2(a)所示電路中，US＝12V，R1＝4W，R3＝8W，開關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。求S閉合(t＝0)后電路中各電壓、電流的初始值。

解開關(guān)閉合前電路為直流穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路，如圖6-1-2(b)所示。由圖(b)所示電路不難求得

圖6-1-2例6-1-2用圖換路后的電路如圖6-1-2(c)所示。根據(jù)換路定律，開關(guān)S閉合后電感電流的初始值為

iL(0＋)＝iL(0－)＝1A

由于S閉合將電阻R3短路，所以

u3(0＋)＝0

由KCL得

i2(0＋)＝iL(0＋)－i3(0＋)＝1－0＝1A

由KVL得

uL(0＋)＝US－R1·iL(0＋)＝12－4×1＝8V

6-1-1含儲(chǔ)能元件的電路換路后為什么會(huì)發(fā)生過渡過程？什么是換路定律？它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的？

6-2-2為了確定換路后各電壓、電流的初始值，必須先算出所有這些電壓、電流在換路前最后瞬間(即瞬時(shí))的值，對(duì)嗎？為什么？應(yīng)該怎樣做？

思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)RC電路的零輸入響應(yīng)；

(2)RL電路的零輸入響應(yīng)。

獲取能力：

(1)掌握RC電路和RL電路的零輸入響應(yīng)過程中電壓、電流的變化規(guī)律，以及分析方法；

(2)理解時(shí)間常數(shù)的概念，并會(huì)計(jì)算RC電路和RL電路的時(shí)間常數(shù)；6.2一階電路的零輸入響應(yīng)

(3)理解RC電路和RL電路零輸入響應(yīng)過程中的能量變化。

電容元件的電流與其電壓的變化率成正比，電感元件的電壓則與其電流的變化率成正比，因而儲(chǔ)能元件也稱為動(dòng)態(tài)元件。由于動(dòng)態(tài)元件的VCR是微分關(guān)系，因此，含動(dòng)態(tài)元件的電路即動(dòng)態(tài)電路的KCL、KVL方程都是微分方程。只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的電路只需用一階微分方程來描述，故稱為一階電路。一階電路在沒有輸入激勵(lì)的情況下，僅由電路的初始狀態(tài)(初始時(shí)刻的儲(chǔ)能)所引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)。6.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)

如圖6-2-1(a)所示電路，換路前電容已被充電至電壓uC(0)＝U0，儲(chǔ)存的電場能量為 。ｔ＝0瞬間將開關(guān)S從a換接到b后，電壓源被斷開，輸入躍變?yōu)榱悖娐愤M(jìn)入電容C通過電阻R放電的過渡過程。換路后的電路如圖6-2-1(b)所示，電容電壓的初始值根據(jù)換路定律為uC(0＋)＝uC(0－)＝U0，而電流i則從換路前的0躍變?yōu)?/p>

。放電過程中，電容的電壓逐漸降低，其儲(chǔ)存的能量逐漸釋放，放電電流逐漸減小，最終電壓降為零，其儲(chǔ)能全部釋放，放電電流也減小到零，放電過程結(jié)束。下面分析放電過程中電壓、電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，即電路的零輸入響應(yīng)。

圖6-2-1RC電路的放電過程

1.電壓、電流的變化規(guī)律

對(duì)圖6-2-1(b)所示換路后的電路，由KVL得

UC＋Ri＝0

以

代入上式得

(6-2-1)

這是一個(gè)關(guān)于變量UC的一階線性常系數(shù)齊次常微分方程。設(shè)方程的通解uC＝Aept(其中p為特征根，A為待定系數(shù))，代入式(6-2-1)得

RCApept＋Aept＝0

方程兩邊同除以Aept，即得式(6-2-1)的特征方程為

RCp＋1＝0

解得

于是

(6-2-2)

式(6-2-2)即微分方程(6-2-1)的通解，其中積分常數(shù)A由電路的初始狀態(tài)即電容電壓的初始值確定。以t＝0＋、UC(0＋)＝U0代入式(6-2-2)，求得

A＝U0

所以

上式即放電過程中電容電壓的變化規(guī)律。電阻電壓和放電電流則分別為

圖6-2-2RC電路的零輸入響應(yīng)

式中的負(fù)號(hào)說明電阻電壓uR和放電電流i的實(shí)際方向與圖示的參考方向相反。uC、uR和i隨時(shí)間變化的曲線如圖6-2-2所示。

從以上結(jié)果可見，電容通過電阻放電的過程中，uC、|uR|、|i|均隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減。

2.時(shí)間常數(shù)

令t＝RC，則uC、uR和i可分別表示為

(6-2-3)

(6-2-4)

(6-2-5)

對(duì)于已知R、C參數(shù)的電路來說，t＝RC是一個(gè)僅取決于電路參數(shù)的常數(shù)。t的單位為

由于t具有時(shí)間的單位，故稱為時(shí)間常數(shù)。

時(shí)間常數(shù)t的大小決定了放電過程中電壓、電流衰減的快慢。以電容電壓uC為例，其隨時(shí)間衰減的情況如表6-2-1所

表6-2-1放電過程中電容電壓隨時(shí)間衰減的情況

圖6-2-3時(shí)間常數(shù)與放電快慢的示意圖從表中可以看出，t＝t時(shí)電容電壓降至初始值的36.8％。圖6-2-3則表明，放電過程中，電容電壓和放電電流衰減至初始值的36.8％所需的時(shí)間等于時(shí)間常數(shù)t。這一時(shí)間越長，放電進(jìn)行得越慢；反之，放電進(jìn)行得越快。

從理論上說，t→∞電容電壓才衰減為零；實(shí)際上t＝5t時(shí)，電容電壓已衰減至初始值的0.7％，足以說明電路已經(jīng)達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。

當(dāng)t＝0＋時(shí)，由式(6-2-3)～式(6-2-5)可得

故RC電路的零輸入響應(yīng)可表示成一般形式

(6-2-6)

其中，f(t)表示RC電路的任一零輸入響應(yīng)，而f(0＋)則表示該響應(yīng)的初始值。

3.放電過程中的能量

如前所述，電路的初始儲(chǔ)能為

放電過程中電阻消耗的能量為

可見，整個(gè)放電過程中電阻消耗的能量就是電容的初始儲(chǔ)能。

例6-2-1

圖6-2-1所示電路中，開關(guān)S在位置a為時(shí)已久，已知US＝10V，R＝5kW，C＝3mF，t＝0瞬間，開關(guān)S從a換接至b，求：

(1)換路后uC(t)的表示式，并繪出變化曲線；

(2)換路后15mS及75mS時(shí)的電容電壓值。

解電壓、電流的參考方向如圖6-2-1所示。圖6-2-4例6-2-1用圖

(1)換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容電壓

UC(0－)＝US＝10V

根據(jù)換路定律，電容電壓的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝10V

電路的時(shí)間常數(shù)

t＝RC＝5×103×3×10－6＝15mS

由式(6-2-6)得換路后的電容電壓

其變化曲線如圖6-2-4所示。

(2)當(dāng)t＝15mS，即t＝t時(shí)，

UC＝10e－1＝3.68V

當(dāng)t＝75mS，即t＝5t時(shí)，

UC＝10e－5＝0.07V

例6-2-2

某電路中有一個(gè)40mF的電容器，斷電前已充電至電壓UC(0－)＝3.5kV。斷電后電容器經(jīng)本身的漏電阻放電。若電容器的漏電阻R＝100ＭW，1小時(shí)后電容器的電壓降至多少？若電路需要檢修，應(yīng)采取什么安全措施？

解由題意知電容電壓的初始值

UC(0＋)＝UC(0－)＝3.5×103V

放電時(shí)間常數(shù)

t＝RC＝100×106×40×10－6＝4000S

當(dāng)t＝1h＝60×60S＝3600S時(shí)

可見，斷電1小時(shí)后，電容器仍有很高的電壓。為安全起見，須待電容器充分放電后才能進(jìn)行線路檢修。為縮短電容器的放電時(shí)間，可用一阻值較小的電阻并聯(lián)于電容器兩端以加速放電過程。6.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)

圖6-2-5(a)所示電路中，開關(guān)S原置于位置a，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電流

，電感元件儲(chǔ)存的磁場能量

。t＝0瞬間將開關(guān)S從a換接至b后，電壓源被短路代替，輸入躍變?yōu)榱?，電路進(jìn)入過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即是電路的零輸入響應(yīng)。

圖6-2-5RL電路換路對(duì)圖6-2-5(b)所示換路后的電路列出KVL方程

uR＋uL＝0

將

代入得

即

(6-2-7)

式(6-2-7)與式(6-2-1)同為一階常系數(shù)齊次常微分方程，其通解具有相同的形式，即

iL＝Aept

由式(6-2-7)的特征方程

解得

又電路的初始狀態(tài)即(電感)交流的初始值

代入通解，即可得過渡過程中的電流

其中

為RL電路的時(shí)間常數(shù)，其意義及單位與RC電路

的時(shí)間常數(shù)相同。

圖6-2-6RL電路的零輸入響應(yīng)電阻元件和電感元件的電壓分別為

電壓、電流隨時(shí)間變化的曲線如圖6-2-6所示。

由于電感電流不能躍變，因此，換路后雖然輸入躍變?yōu)榱?，但電流卻以逐漸減小的方式繼續(xù)存在。電感電壓則因電流iL減小(

)而與電流反向(為負(fù)值)。電感的儲(chǔ)能隨電流減小而逐漸釋放，并為電阻所消耗。當(dāng)電流減小到零時(shí)，電感儲(chǔ)存的磁場能量全部釋放，過渡過程結(jié)束。可見，R、L短接后的過渡過程就是電感元件釋放儲(chǔ)存的磁場能量的過程。

例6-2-3

電路如圖6-2-7所示，繼電器線圈的電阻R＝250W，吸合時(shí)其電感值L＝25H。已知電阻R1＝230W，電源電壓US＝24V。若繼電器的釋放電流為４ｍＡ，則開關(guān)S閉合后多長時(shí)間繼電器能夠釋放？

解換路前繼電器的電流

圖6-2-7例6-2-3用圖

換路后電感電流的初始值

iL(0＋)＝iL(0－)＝0.05A

電路的時(shí)間常數(shù)

由式(6-2-6)得

繼電器開始釋放時(shí)，電流iL等于釋放電流，即

0.05e－10t＝4×10－3

則

t＝0.25S

即開關(guān)S閉合后0.25S，繼電器開始釋放。

6-2-1什么是一階電路？什么是零輸入響應(yīng)？一階電路的零輸入響應(yīng)具有怎樣的變化規(guī)律？

6-2-2什么是時(shí)間常數(shù)？它與過渡過程有何關(guān)系？如何計(jì)算RC電路和RL電路的時(shí)間常數(shù)？如果與動(dòng)態(tài)元件相連的不只是一個(gè)電阻，而是多個(gè)電阻連接而成的單口，又如何確定時(shí)間常數(shù)？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)；

(2)RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

獲取能力：

(1)掌握RC電路和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)過程中電壓、電流的變化規(guī)律，以及分析方法；

(2)理解RC電路和RL電路零狀態(tài)響應(yīng)過程中的能量變化。

如果換路前電路中的儲(chǔ)能元件均未儲(chǔ)能，即電路的初始狀態(tài)為零，換路瞬間電路接通直流激勵(lì)，則換路后由外施激勵(lì)在電路中引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。6.3直流激勵(lì)下一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖6-3-1(a)所示電路中，開關(guān)S原置于b位已久，電容已充分放電，電壓UC(0－)＝0。t＝0瞬間將開關(guān)S從b換接至a接通直流電壓源US，此后電路進(jìn)入U(xiǎn)S通過電阻R向電容C充電的過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即為直流激勵(lì)下RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

對(duì)圖6-3-1(b)所示換路后的電路，由KVL得

uR＋uC＝uS

圖6-3-1RC電路接通直流激勵(lì)

把

代入上式得

(6-3-1)

這是一個(gè)關(guān)于變量uC的一階線性常系數(shù)非齊次常微分方程，其完全解由兩部分組成，即

uC＝uCp＋uCh

其中

為原方程(6-3-1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程

的通解，而UCp則為原方程的任意一個(gè)特解。特解UCp具有和外施激勵(lì)相同的形式，現(xiàn)激勵(lì)為直流電壓源，故可設(shè)特解為一常數(shù)，即

UCp＝K

將其代入原式(6-3-1)得

K＝US

所以，原方程的完全解為

(6-3-2)

其中t＝RC，A則根據(jù)電路的初始狀態(tài)來確定。由于換路前電容已充分放電，電容電壓uC(0－)＝0，根據(jù)換路定律，換路后電路的初始狀態(tài)即

uC(0＋)＝uC(0－)＝0

代入式(6-3-2)得

A＝－US

故得充電過程中的電容電壓

(6-3-3)

式(6-3-3)表明，充電過程中的電容電壓uC(t)由兩個(gè)分量組成。其中， 稱為暫態(tài)分量，因?yàn)閠→∞時(shí) ，說明該分量僅存在于過渡過程中；而US則稱為穩(wěn)態(tài)分量，當(dāng)t→∞，電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，暫態(tài)分量衰減為零，電容電壓即等于這一分量，即uC(∞)＝US，所以穩(wěn)態(tài)分量就是電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)可表示為

(6-3-4)

進(jìn)一步不難得到電阻兩端電壓和充電電流分別為

(6-3-5)

(6-3-6)

電阻電壓和充電電流均只含有暫態(tài)分量，它們的穩(wěn)態(tài)分量都等于零。

顯然，電阻電壓和充電電流的零狀態(tài)響應(yīng)與電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律不同。

式(6-3-3)、式(6-3-4)和式(6-3-5)中的t＝RC為電路的時(shí)間常數(shù)，當(dāng)t＝t時(shí)，電容電壓

uC(t)＝US(1－e－1)＝0.632US

可見t在數(shù)值上等于電容電壓充電至穩(wěn)態(tài)值的63.0%所需的時(shí)間。和放電時(shí)一樣，充電過程進(jìn)行的快慢取決于時(shí)間常數(shù)t，即取決于電阻R和電容C的乘積。過渡過程中uC、uR和iC隨時(shí)間變化的曲線如圖6-3-2所示。和放電時(shí)一樣，充電過程中的響應(yīng)也都是時(shí)間的指數(shù)函數(shù)。只是其中電容電壓的變化是從零初始值按指數(shù)規(guī)律上升到非零穩(wěn)態(tài)值，而電阻電壓和充電電流都在換路瞬間一躍而為非零初始值(最大)，而后按指數(shù)規(guī)律下降到零穩(wěn)態(tài)值。從理論上說，t→∞時(shí)電容電壓才升至穩(wěn)態(tài)值，同時(shí)充電電流降至零，充電過程結(jié)束。實(shí)際上t＝5t時(shí)，

uC(5t)＝US(1－0.007)＝0.993US

電容電壓已充電至穩(wěn)態(tài)值的99.3%，可以認(rèn)為充電過程到此基本結(jié)束。

圖6-3-2RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

例6-3-1

圖6-3-3(a)所示電路中IS＝1Ａ，R＝10W，C＝10mF，換路前開關(guān)S是閉合的。t＝0瞬間S斷開，求S斷開后電容兩端的電壓uC、電流iC和電阻的電壓uR，并繪出電壓、電流的變化曲線。

解換路前電容被開關(guān)短路，UC(0－)＝0，所以換路后電路的初始狀態(tài)為零，即

UC(0＋)＝UC(0－)＝0

換路后的電路可等效變換成圖6-3-3(b)所示電路。

圖6-3-3例6-3-1用圖電路的時(shí)間常數(shù)

t＝RC＝10×10×10－6＝10－4S

等效電路中的電壓源電壓就是換路后電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，即

uC(∞)＝US＝ISR＝1×10＝10V

由式(6-3-4)得

由式(6-3-6)得

或

原電路中電阻R與電容C并聯(lián)，故電阻電壓

電壓、電流的變化曲線如圖6-3-4所示。

圖6-3-4例6-3-1電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖6-3-5(a)所示電路中，開關(guān)S未閉合時(shí)，電流為零。t＝0瞬間合上開關(guān)S，RL串聯(lián)電路與直流電壓源Us接通后，電路進(jìn)入過渡過程。過渡過程中的電壓、電流即為直流激勵(lì)下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

對(duì)圖6-3-5(b)所示換路后的電路，由KVL得

以

代入上式得

圖6-3-5RL電路接通直流激勵(lì)

(6-3-7)

式(6-3-7)與式(6-3-1)同為一階線性常系數(shù)非齊次常微分方程，其完全解具有相同的形式，通過比較可得

(6-3-8)

其中t＝L/R。由于電路的初始狀態(tài)即(電感)電流的初始值

將其代入式(6-3-8)求得

所以

(6-3-9)

其中，t＝L/R為RL電路的時(shí)間常數(shù)，其意義與RC電路的時(shí)間常數(shù)相同。t的大小也同樣決定RL電路過渡過程的快慢。與RC電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)一樣，RL電路中電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)也由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。當(dāng)t→∞電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感電流的穩(wěn)態(tài)值

電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)也可表示為

(6-3-10)可見，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)與電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)具有相同的變化規(guī)律，因此，可用下面的通式來表示它們：

(6-3-11)

電阻元件和電感元件的電壓分別為

(6-3-12)

(6-3-13)

顯然，電感電壓的零狀態(tài)響應(yīng)與電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律不同。

電壓、電流隨時(shí)間變化的曲線如圖6-3-6所示。

由于電感電流不能躍變，因此，換路后iL和電阻電壓uR＝RiR都只能從零初始值按指數(shù)規(guī)律上升到非零穩(wěn)態(tài)值；而電感電壓uL在換路瞬間則從零一躍而為非零初始值(最大)，而后按指數(shù)規(guī)律下降到零穩(wěn)態(tài)值。

圖6-3-6RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)過渡過程中電感的儲(chǔ)能將隨電流的增大而逐漸增加。當(dāng)t→∞，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其儲(chǔ)能為

注意：式(6-3-11)只能用來計(jì)算電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)。其他的零狀態(tài)響應(yīng)只能在求出uC(t)或iL(t)后，再根據(jù)元件的VCR和基爾霍夫定律計(jì)算。這是因?yàn)椋穗娙蓦妷汉碗姼须娏饕酝?，其他電壓、電流在換路瞬間有可能躍變。

例6-3-2

圖6-3-5所示電路中，Us＝18V，R＝500W，L＝5H。當(dāng)開關(guān)S閉合后，求：

(1)穩(wěn)態(tài)電流iL(∞)及iL、UL的變化規(guī)律；

(2)電流增至iL(∞)的63.2％時(shí)所需的時(shí)間；

(3)電路儲(chǔ)存磁場能量的最大值。

解

(1)電路的時(shí)間常數(shù)

電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)電流

由式(6-3-10)得

由式(6-3-13)得

(2)當(dāng)iL＝0.632iL(∞)時(shí)，

36(1－e－100t)＝36×0.632

故得

t＝t＝0.01s＝10ms

即換路后10mS電流增至穩(wěn)態(tài)值的63.2%。

(3)因?yàn)殡娐分械碾娏鬟_(dá)到穩(wěn)態(tài)值時(shí)最大，所以電感儲(chǔ)存的最大磁場能量為

6-3-1什么是零狀態(tài)響應(yīng)？一階電路對(duì)恒定激勵(lì)的所有零狀態(tài)響應(yīng)變化規(guī)律都一樣嗎？哪些零狀態(tài)響應(yīng)具有確定的變化規(guī)律？它們是怎樣的規(guī)律？

6-3-2求一階電路對(duì)恒定激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)應(yīng)該先求哪些響應(yīng)？隨后又如何計(jì)算其他的響應(yīng)呢？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)一階電路的全響應(yīng)；

(2)用疊加定理求一階電路的全響應(yīng)。

獲取能力：

(1)理解全響應(yīng)的概念；

(2)理解和掌握全響應(yīng)的兩種分解方法。

本節(jié)討論一階電路的全響應(yīng)，即一階電路在非零初始狀態(tài)和外施直流激勵(lì)共同作用下的響應(yīng)。6.4一階電路的全響應(yīng)及其求法6.4.1一階電路的全響應(yīng)

圖6-4-1所示電路中，開關(guān)S閉合前電容已充電至電壓uC(0－)＝U0。t＝0瞬間合上開關(guān)后，電路的KVL方程為

上式與式(6-3-1)完全相同，故方程的完全解為

圖6-4-1RC電路接通直流激勵(lì)

電路的初始狀態(tài)

UC(0＋)＝UC(0－)＝U0

代入上式，得

A＝U0－Us

故得電容電壓的全響應(yīng)

(6-4-1)

式(6-4-1)中， 為暫態(tài)分量，t→∞時(shí)，

，說明該項(xiàng)僅存在過渡過程中；而US為穩(wěn)態(tài)分量，當(dāng)t→∞，電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，暫態(tài)分量衰減為零，電容電壓即等于這一分量，即UC(∞)＝Us。式(6-4-1)說明

全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量

其中，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與外施激勵(lì)有關(guān)，當(dāng)激勵(lì)為恒定(直流)時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是恒定量；暫態(tài)響應(yīng)總是時(shí)間的函數(shù)，其變化規(guī)律與激勵(lì)無關(guān)。電阻R的電壓

(6-4-2)

電路中的電流

(6-4-3)

過渡過程中UC、UR和i隨時(shí)間變化的曲線如圖6-4-2所示。

圖6-4-2RC電路的全響應(yīng)從圖6-4-2所示曲線可以看出：由于Us＞U0＞0，因此，過渡過程中電容電壓從初始值按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值，即電容進(jìn)一步充電。如果U0＞Us＞0，或二者一個(gè)為正、另一個(gè)為負(fù)，則過渡過程中電容是充電還是放電呢？請(qǐng)讀者自行分析(例如Us＝6V，U0＝－3V)。6.4.2用疊加定理求一階電路的全響應(yīng)

式(6-4-1)可改寫成如下形式：

(6-4-4)

不難發(fā)現(xiàn)，上式第一項(xiàng)是RC電路的零響應(yīng)，而第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng)?？梢娙憫?yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)這說明：一階電路的全響應(yīng)等于由電路的初始狀態(tài)單獨(dú)作用所引起的零輸入響應(yīng)和由外施激勵(lì)單獨(dú)作用所引起的零狀態(tài)響應(yīng)之和。這正是疊加定理的體現(xiàn)。

圖6-4-3例6-4-1用圖

例6-4-1

圖6-4-3所示電路中，US＝100V，R1＝R2＝4W，L＝4H，電路原已處于穩(wěn)態(tài)。t＝0瞬間開關(guān)S斷開。

(1)用疊加定理求S斷開后電路中的電流iL；

(2)求電感的電壓uL；

(3)繪出電流、電壓的變化曲線。

解

(1)求過渡過程中的電流iL。

①求零輸入響應(yīng)。換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，由換路前的電路得

換路后電路的初始狀態(tài)

iL(0＋)＝iL(0－)＝25A

換路后電路的時(shí)間常數(shù)

故得電路的零輸入響應(yīng)

②求零狀態(tài)響應(yīng)。若初始狀態(tài)為零，則換路后在外施激勵(lì)作用下iL從零按指數(shù)規(guī)律上升至穩(wěn)態(tài)值，即

故得電路的零狀態(tài)響應(yīng)

③全響應(yīng)為

iL(t)＝iL￠(t)＋iL2(t)＝25e－2t＋12.5(1－e－2t)

＝12.5(1＋e－2t)A

(2)求電感電壓uL。

uL＝us－(R1＋R2)i＝100－(4＋4)×12.5(1＋e－2t)

＝－100e－2tV

或

(3)電壓、電流的變化曲線如圖6-4-4所示。

圖6-4-4例6-4-1電路的全響應(yīng)

什么是一階電路的全響應(yīng)？全響應(yīng)可作哪兩種分解？思考與練習(xí)

學(xué)習(xí)任務(wù)：

一階電路的三要素法。

獲取能力：

理解和掌握用三要素法分析一階電路的全響應(yīng)。

如上節(jié)所述，求一階電路的全響應(yīng)，可以根據(jù)疊加定理分別求出電路的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，然后加以疊加。但更簡便和更常用的計(jì)算全響應(yīng)的方法是一階電路的三要素法。6.5一階電路的三要素法由上節(jié)知道，電容電壓的全響應(yīng)等于暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和，即

(6-5-1)

對(duì)于式(6-5-1)，當(dāng)t＝0＋時(shí)即為電容電壓的初始值：

若t→∞則為電容電壓的穩(wěn)態(tài)值：

以UC(0＋)、UC(∞)分別代替式(6-5-1)中的U0、US得

(6-5-2)

可見，只要求出電容電壓的初始值、穩(wěn)態(tài)值和電路的時(shí)間常數(shù)，即可由式(6-5-2)寫出電容電壓的全響應(yīng)。初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)稱為一階電路的三要素。求出三要素，然后按式(6-5-2)寫出全響應(yīng)的方法稱為三要素法。不僅求電容電壓可用三要素法，求一階電路過渡過程中的其他響應(yīng)都可用三要素法。若用f(t)表示一階電路的任意響應(yīng)，f(0＋)、f(∞)分別表示該響應(yīng)的初始值和穩(wěn)態(tài)值，則

(6-5-3)

式(6-5-3)即用三要素法求一階電路過渡過程中任一響應(yīng)的公式。

從式(6-5-3)可見，過渡過程中之所以存在暫態(tài)響應(yīng)，是因?yàn)槌跏贾蹬c穩(wěn)態(tài)值之間有差別［f(0＋)－f(∞)］。暫態(tài)響應(yīng)的作用就是消滅這個(gè)差別——使其按指數(shù)規(guī)律衰減。一旦差別沒有了，電路也就達(dá)到了新的穩(wěn)態(tài)，響應(yīng)即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)f(∞)。應(yīng)用三要素法時(shí)，一階電路中與動(dòng)態(tài)元件連接的可以是一個(gè)多元件的線性含源電阻單口，這時(shí)t＝RC，或t＝L/R中的R應(yīng)理解為該含源電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

例6-5-1

電路如圖6-5-1所示，開關(guān)S閉合于a端為時(shí)已久。t＝0瞬間將開關(guān)從a換接至b，用三要素法求換路后的電容電壓uC(t)，并繪出其變化曲線。

解

(1)求初始值。

由換路前的電路得

根據(jù)換路定律

UC(0＋)＝UC(0－)＝－2V

由換路后的電路求穩(wěn)態(tài)值

(2)求時(shí)間常數(shù)。

與電容C相連的含源單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻為

所以，時(shí)間常數(shù)

將求出的三要素代入公式(6-5-3)，得

uC(t)的變化是從初始值uC(0＋)＝－2V按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值uC(∞)＝4V，故其曲線的起點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，漸進(jìn)線為uC＝4V，據(jù)此繪出uC(t)的變化曲線如圖6-5-2所示。

圖6-5-1例6-5-1用圖圖6-5-2例6-5-1電路的全響應(yīng)

例6-5-2

圖6-5-3所示電路中，支路電流源Is＝2A，R1＝50W，R2＝75W，L＝0.3H，開關(guān)原為斷開。t＝0瞬間合上開關(guān)，用三要素法求換路后的電感電流i(t)和電流源u(t)，并繪出其變化曲線。

解

(1)求初始值。

由換路前的電路得

iL(0－)＝0

根據(jù)換路定律

iL(0＋)＝iL(0－)＝0

圖6-5-3例6-5-2的電路

t＝0＋即換路后的最初瞬間，電感支路無電流視為開路，可求得

(2)求穩(wěn)態(tài)值。

達(dá)穩(wěn)態(tài)后，視電感為短路，電流源電流全部通過電感，即

i(∞)＝Is＝2A

u(∞)＝0V

(3)求時(shí)間常數(shù)。

與電容C相連的含源電阻單口的輸出電阻為

所以時(shí)間常數(shù)

將求出的三要素代入公式(6-5-3)得

i(t)、u(t)的變化曲線如圖6-5-4所示。

圖6-5-4例6-5-2電路的響應(yīng)

什么是一階電路的三要素法？怎樣用三要素法求一階電路的全響應(yīng)？如何繪制全響應(yīng)的波形圖？

思考與練習(xí)古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫(1824—1887年)，德國物理學(xué)家。大學(xué)畢業(yè)后，基爾霍夫在柏林大學(xué)擔(dān)任講師，1850年轉(zhuǎn)到布雷其勞大學(xué)擔(dān)任臨時(shí)教授，1854年擔(dān)任海德堡大學(xué)教授。1860年，他提出了光譜分析法，發(fā)現(xiàn)了銫和銣兩種新元素。后來基爾霍夫又提出了天體的光譜分析法，帶領(lǐng)天體物理學(xué)進(jìn)入新紀(jì)元。他在1862年發(fā)表的黑體概念，更為20世紀(jì)的量子物理發(fā)展奠定了重要的基礎(chǔ)。他的四卷本教科書《數(shù)學(xué)物理學(xué)講義》更成為了當(dāng)時(shí)德國著名大學(xué)的經(jīng)典教材。

RC和RL電路在許多電子設(shè)備中都很常用，包括直流電源中的濾波器、數(shù)字通信中的平滑電路、微分器、積分器、延時(shí)電路、繼電器電路等等。其中有一些應(yīng)用場合是利用RC或RL電路的短(或長)時(shí)間常數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。這里我們將介紹一個(gè)一階RL電路應(yīng)用實(shí)例——汽車點(diǎn)火電路。應(yīng)用與訓(xùn)練電感要阻止電流快速變化的特征可用于電弧或火花發(fā)生器中，汽車點(diǎn)火電路就用的是這個(gè)特性。汽車的汽油發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)時(shí)要求氣缸中的燃料空氣混合體在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候被點(diǎn)燃，該裝置為點(diǎn)火塞，如附圖6.1所示，它基本上是一對(duì)電極，間隔一定的空氣隙。若在兩個(gè)電極間產(chǎn)生一個(gè)高壓(幾千伏特)，則空氣隙中將產(chǎn)生火花而點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)。汽車電池只有12V，怎樣才能得到那么高的電壓呢？此時(shí)就需要用一個(gè)電感L(點(diǎn)火線圈)。因?yàn)殡姼袃啥说碾妷菏荱＝Ldi/dt，所以，若在一個(gè)很短的時(shí)間內(nèi)使電流變化很大，就可獲得大的di/dt，從而使電感兩端的電壓很高。附圖6.1中，當(dāng)點(diǎn)火開關(guān)閉合時(shí)，流過電感的電流逐漸增加而達(dá)到其終值，即i＝Us/R，這里Us＝12V，電感電流要充到終值所需的時(shí)間是電路時(shí)間常數(shù)的5倍，即

附圖6.1汽車點(diǎn)火電路穩(wěn)態(tài)時(shí)，i是常數(shù)，di/dt＝0，所以電感兩端的電壓U＝0。若開關(guān)突然斷開，電感兩端就形成一個(gè)很高的電壓(由于電磁場的快速變化)而在空氣隙中產(chǎn)生火花或電弧，一直到放電過程中電感的能量被消耗為止。上述效應(yīng)，在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行電感電路實(shí)驗(yàn)或研究時(shí)，也時(shí)有發(fā)生，使人有電擊的感覺，所以必須提醒注意。

【訓(xùn)練】

汽車點(diǎn)火裝置的電路如附圖6.1所示，其中的螺線管的電阻是4W，電感是6mH，供電電池為12V。試分析開關(guān)閉合后，螺線管的終值電流、線圈中儲(chǔ)存的能量和空氣隙的電壓，假設(shè)斷開開關(guān)要1mS。

(答案：3A、27mJ、18kV)

一、過渡過程和換路定律

1.過渡過程

電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)到另一種穩(wěn)定狀態(tài)之間的過程，即為電路的過渡過程。本章小結(jié)

2.換路定律

電路的接通或切斷、激勵(lì)或參數(shù)的突變等稱為換路。含儲(chǔ)能元件的電路中如果發(fā)生換路，則電路將從換路前的穩(wěn)定狀態(tài)經(jīng)歷一段過渡過程達(dá)到另一新的穩(wěn)定狀態(tài)。

實(shí)際電路中電容電壓不能躍變，電感電流也不能躍變。uC、iL的這一規(guī)律也適合于換路瞬間，即換路瞬間

uC(0＋)＝uC(0－)

iL(0＋)＝iL(0－)

這就是換路定律。換路定律是確定過渡過程初始值的依據(jù)。

二、一階電路的過渡過程及其三要素法

1．一階電路的時(shí)間常數(shù)

只含一個(gè)儲(chǔ)能元件的線性電路稱為一階電路，其過渡過程的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù)t。RC電路的時(shí)間常數(shù)t＝RC；RL電路的時(shí)間常數(shù)t＝L／R。如果換路后與動(dòng)態(tài)元件連接的是一個(gè)多元件的線性含源電阻單口，則t＝RC或t＝L/R中的R應(yīng)理解為該含源電阻單口的輸出電阻。

2．一階電路的全響應(yīng)

一階電路的全響應(yīng)即一階電路在非零初始狀態(tài)和外