【八年級上冊數(shù)學(xué)浙教版】2.3.2 等腰三角形的性質(zhì)定理2 同步練習(xí)

第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性質(zhì)定理第2課時等腰三角形的性質(zhì)定理2基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)等腰三角形的三線合一1.（2022浙江義烏繡湖中學(xué)月考）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分線，則“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，結(jié)論正確的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.12.（2022浙江寧波鄞州期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高線，E是AB的中點(diǎn)，已知△ABC的面積為8，則△ADE的面積為（）A.1B.2C.3D.43.（2022浙江溫州第十四中學(xué)期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，若∠BAC=36°，則∠AEB等于（）A.108°B.126°C.130°D.144°4.A.0.5cm2B.1cm2C.1.5cm2D.2cm25.（2022浙江溫州期末）如圖，等邊三角形ABC的角平分線AD，BE交于點(diǎn)O，則∠BOD=度.

6.（教材P61變式題）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE∥AB交AC于點(diǎn)E.若∠ADE=25°，則∠BAC的度數(shù)為.

7.已知∠α和線段b，求作一個等腰三角形ABC，使其底角∠A=∠α，腰長AB=b（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.能力提升全練8.（2020浙江杭州上城模擬）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AP和∠CBD的平分線BP的交點(diǎn)，射線CP交AB的延長線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)為（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°9.如圖，在△ABC中，AB=AC，用尺規(guī)作圖的方法作出射線AD和直線EF，AD與BC交于點(diǎn)D，EF交AC于E，交AB于F，設(shè)AD交EF于點(diǎn)O，連結(jié)BE，OC，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A.AE⊥BEB.EF平分∠AEBC.OA=OCD.AB=BE+EC10.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE=2.5，則BF=.

11.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)F是AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交BA的延長線于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G.（1）如圖1，當(dāng)AD是BC邊上的中線，△AEF是以EF為底的等腰三角形時，EF與BC的位置關(guān)系是；

（2）如圖2，EG⊥BC，△AEF是以AE為底的等腰三角形時，∠BAC的度數(shù)為.

圖1圖212.（2022浙江寧波七中期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，P是AD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC與PE的和最小時，∠CPE的度數(shù)是.

13.（2021浙江杭州蕭山月考）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC于D，AD=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE.（1）求∠B的度數(shù)；（2）求三角形BDE的面積.14.如圖所示，在△ABC中，AB=BC，D為BC上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F.（1）若∠AFD=155°，求∠A的度數(shù)；（2）若F是AC的中點(diǎn)，求證:∠CFD=12∠15.（2020浙江杭州余杭模擬）如圖，在△ABC中，AB<AC<BC，以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)D，連結(jié)AD，過點(diǎn)D作DE⊥AD，交AC于點(diǎn)E.（1）若∠ABC=50°，∠C=28°，求∠AED的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連結(jié)AF，求證:∠BAF=∠EDC.素養(yǎng)探究全練16.[邏輯推理]在△ABC中，AB=AC.（1）如圖1，如果∠BAD=30°，AD是BC邊上的高，AD=AE，則∠EDC=；

（2）如圖2，如果∠BAD=40°，AD是BC邊上的高，AD=AE，則∠EDC=；

（3）思考:通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系?請用式子表示:；

（4）如圖3，如果AD不是BC邊上的高，AD=AE，∠BAD與∠EDC是否仍有上述關(guān)系?如有，請你寫出來，并說明理由.圖1圖2圖3

第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性質(zhì)定理第2課時等腰三角形的性質(zhì)定理2答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A∵AB=AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∴結(jié)論正確的是①②③④，共4個，故選A.2.B∵AB=AC，AD是高線，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴S△ADE=S△BDE=12S△ABD=2.3.B∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∠BAD=12∠∴∠ABD=180°-90°-18°=72°，∵BE平分∠ABD，∴∠EBD=12∠∴∠AEB=∠EBD+∠ADB=36°+90°=126°.故選B.4.B∵BD=BA，BP平分∠ABC，∴AP=PD，∴S△APB=S△DPB，S△APC=S△DPC，∴S△BPC=12S△ABC=1cm2.故選5.60解析∵△ABC是等邊三角形，AD為△ABC的角平分線，∴∠ABC=60°，∠ADB=90°，∵BE為等邊三角形ABC的角平分線，∴∠EBC=12∠ABC=30°，∴∠6.50°解析∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE=25°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠BAD=50°.7.解析如圖所示，等腰三角形ABC即為所求.能力提升全練8.A如圖，設(shè)AP與BC相交于點(diǎn)O，∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠CAB=40°，∵BP是∠CBD的平分線，∴∠PBD=12∠CBD=1∵AP是∠CAB的平分線，∴∠BAP=∠CAP=20°，∴∠APB=∠PBD-∠BAP=55°-20°=35°，∵AB=AC，AP是∠BAC的平分線，∴AP⊥BC，OB=OC，∴∠POC=∠POB=90°，又∵OP=OP，∴△POC≌△POB，∴∠APC=∠APB=35°，∴∠BPC=70°，∴∠D=∠BPC-∠PBD=70°-55°=15°.故選A.9.A連結(jié)OB，由作圖可知AD平分∠BAC，EF垂直平分AB，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴OB=OC，∵EF垂直平分AB，∴OA=OB，BE=AE，∴OA=OC，故C中結(jié)論一定成立；∵BE=AE，EF垂直平分AB，∴EF平分∠AEB，故B中結(jié)論一定成立；∵BE=AE，AB=AC，∴AB=AC=AE+EC=BE+EC，故D中結(jié)論一定成立；當(dāng)∠BAC=45°時，AE⊥BE，當(dāng)∠BAC≠45°時，AE與BE不垂直，故A中結(jié)論不一定成立.故選A.10.5解析∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB·DE=AB·∵BF⊥AC，∴S△ABC=12AC·BF，∴12AC·BF=2.5AB，又∵AC=AB，∴11.（1）EF⊥BC（2）120°解析（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAC=2∠BAD，AD⊥BC，當(dāng)△AEF是以EF為底的等腰三角形時，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF，∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B+∠C=2∠B，∵EF⊥BC，∴∠EGB=90°，∴∠B+∠AEF=90°，∴∠AEF=90°-∠B，當(dāng)AF=EF時，∠EAF=∠AEF，∴90°-∠B=2∠B，∴∠B=30°，∴∠BAC=180°-2∠B=120°.12.60°解析如圖，連結(jié)BE，與AD交于點(diǎn)P，連結(jié)PC.∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即線段BE的長就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.13.解析（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=12×（180°-∠（2）∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=CD=4，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴S△BDE=S△ADE=12S△ABD=12×12AD·BD=114.解析（1）∵DF⊥BC，∴∠FDC=90°，∴∠C=∠AFD-∠FDC=65°，又∵AB=BC，∴∠A=∠C=65°.（2）證明:連結(jié)BF.∵AB=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠∴∠CFD+∠BFD=90°，∵DF⊥BC，∴∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴∠CFD=12∠15.解析（1）由題意可得AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=50°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-50°-90°=40°，∵∠C=28°，∴∠AED=∠EDC+∠C=40°+28°=68°.（2）證明:∵AB=AD，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，∠BAF=∠DAF，∴∠DAF+∠ADB=90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠ADF+∠EDC=90°，∴∠DAF=∠EDC，∴∠BAF=∠EDC.素養(yǎng)探究全練16.解析（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，∵∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=12∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，∴∠BAD