江蘇南通市2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇南通市2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．2．函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．4．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．5．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．106．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形7．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．9．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．10．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件12．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為，，若，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則______.15．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________．16．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過(guò)點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過(guò)點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說(shuō)明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.18．（12分）如圖1，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).20．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對(duì)于任意，.21．（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用（1）在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)籃球館的使用場(chǎng)數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取共25場(chǎng)，在中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為，其相應(yīng)維修費(fèi)用為元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結(jié)論，試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式：，22．（10分）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時(shí)，，求得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．5、C【解析】

取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時(shí)要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.6、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡(jiǎn)可得，最后分類(lèi)討論可得；【詳解】解：因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí)，為直角三角形；當(dāng)時(shí)即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得，解方程組得，，即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，設(shè)，，則的中點(diǎn)為，由且，得，，即，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.9、B【解析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、C【解析】

先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過(guò)分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來(lái)求參數(shù)取值范圍，以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計(jì)算能力，有一定的難度.11、C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)公差為d，則解得，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問(wèn)題.屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．?dāng)?shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．15、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

計(jì)算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過(guò)Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對(duì)應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）①點(diǎn)的極角為，代入直線的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.②解法1：直線的普通方程為.曲線上的點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最小值為.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以圓與直線相離.所以圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直線的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離；解法二：由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足，證明平面，計(jì)算出即可.【詳解】解法一：（1）依題意知，因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱錐的體積.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積，得.解法二：（1）同解法一；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，，在中，，，得.又，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計(jì)算即可.19、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴銳角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．20、（Ⅰ），（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)，利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出，值；（2）首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即將不等式右邊式子左移，得，構(gòu)造函數(shù)并判斷其符號(hào)，這里應(yīng)注意的取值范圍，從而證明不等式.【詳解】解：（1）由于直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考慮函數(shù)，，則.而，故當(dāng)時(shí)，，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、和最值問(wèn)題，以及不等式證明問(wèn)題，考查了分析及解決問(wèn)題的能力，其中，不等式問(wèn)題中結(jié)合構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)正確轉(zhuǎn)換為最大值和最小值問(wèn)題是關(guān)鍵.21、（1）見(jiàn)解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運(yùn)用分層抽樣，結(jié)合總場(chǎng)次為100