廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學(數(shù)學分析、線性代數(shù))專碩之數(shù)學分析考研導師圈點必考題匯編

2017年廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學(數(shù)學分析、線性代數(shù))［專業(yè)碩士］考

研導師圈點必考題匯編(一)說明：①本資料為VIP學員內(nèi)部使用，整理匯編了歷屆導師圏點的重點試題及?？荚囶}。一、證明題1?證明：函數(shù)(x8+y)sin-F7±==. ^4-7#0,/(x.y)=0. =0在點(0,0)連續(xù)且偏導數(shù)存在，但偏導數(shù)在點(0,0)不連續(xù)，而1'在點(0,0)可微.【答案】：,.，晚疽宀刃血淆亍=忡sin7=0=-g。)?因此f在點(0,0)連續(xù)?當,+yK。時S)-2xsin^^--^CoS^?.當Ho時rc、I-f(0+6x.0)—f(0?0) .?1一八人(0,0)=hmJ- 熾公皿云=°，但由于,?，國。嚴斬浮=而，.熙.s方爺*萬轉不說冋考察y=X情況)，因此當(X，y)-(0,0)時，J，(W)的極限不存在，從而厶(幻力在點(0,0)不連續(xù).同理可證拿W)在點(0,0)不連續(xù)’然而］血4/-厶(o,o)n(o,o)4y‘limj.-0. g3-w.oi/(QZ+(3〉2 /(Ar):+<4y>*所以，在點(0,0)可微且"L@=o.2-設函數(shù)f定義在【一a?a］上’證明：⑴… /3 U..為偶函數(shù)；'- f<'1m.rg八.為奇函數(shù)：f可表示為某個奇函數(shù)與某個偶函數(shù)之和.［答案】f(x),F(x)和G(x)的定義域關于原點都是又痢的.⑴，，H/，,)”(.「))"”./，，，E.故F(x)為［f,a］上的偶函數(shù).偵”/'?八，小 ,■' 故G(x)為［-a,a］_t的奇函數(shù).由(1)、(2)得F(x)+G(x)=2f(x),于是E￥心+*“酔3是偶函數(shù),護3是奇函數(shù).故f(x)可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和.3.設f為I 上的遞增函數(shù).證明/「，ffl.都存在，且f(i0)-sup r.-rO)inff(.r)

【答案】①取，M，“〉..3I(，).因為f為L"上的增函數(shù)，所以對V，￡E，).有〃r)",?即f(x)在，小，上有上界.由確界原斷f(X)在心:上有上確界，令M a._f是對任給的.存在I(，>，使得"〉小令S5—則$。，并當，。，，時，有\(zhòng)￡ ，，宀(…\X-￡.gpE>八一故八'方 、②，5'同理可證.二、解答題4.將直角坐標系下頃ace方程覆+檢=(化為極坐標下的形式.【答案】設x=rco^.y=rsiM.則窄吧盼當對2襄+如襄,備嘖計當*F唸+E當.并F修糸+翥.物+御廉萼+務.令)

=*0諄+8職W—+Sin^翥+血勺春.剝以可求穿=心的靜"疝蛔9蓊一/辨斯翥+/co的謬一E斜響嗚:?+器=戒的諄一sinft"霸—血5豔+co*謬

T(b粉脈斜因此|1 _矛丁丄—u1 <?u'源+t?.麗一獰+亍一；.無?二竅++票++靜&5.求下列方程組所確定的隱函數(shù)組的導數(shù)?⑴="I求蠟⑵(二葺豊求臘號⑶求啓羿枇程組兩邊X求導，得4‘2空=。，\v-g(u-x^y)X枇程組兩邊X求導，得4‘2空=。，2x+2y2x+2y解此方程組得卜號'等=-辦(2)方程組關于x求偏導，得

11一2“翌一》登-o,dxdx—2v^—u~x~=0,

dxax■/旦四=2t>+驅dv二2m2+工野侍：dxAuu—xy'dxxy—4mw方程組關于y求偏導數(shù)，得解得du=2—+_y3p_2k+jv3y~xy—4ia>，_Auv—xy⑶把u，、看成X,y的函數(shù),對X求偏導數(shù)仲"?（“+遂）+5琪1蕓f?（祭-1）+験?（2擦），解之得du 14（】一2yyg2）f\—一（1-z/））（1-2xygj）-f2g\

dv —（I—工f、）幻+"i幻dx~（】一-fzgi'6.判斷以下結論是否成立(若成立’說明理由；若不成立’舉出反例)：(1)若編-J和&都收斂，則(編收斂；(2)若血*，3已和偵｝都收斂，且有相同極限，則|誦收斂.【答案】(1)該結論不成立例如，an=(-1)",則心.d”-】，數(shù)列棚卜和｛境都收斂，而數(shù)列｛(一1)“是發(fā)散的.(2)該結論成立.設相同的極限是a,則對于任意。>0,存在正整數(shù)NiM,Ns使得當k>M時,I;—a1<€；當k>Na時IM.aI-1'當k>N3時，“€今4=max｛N.)，則n可以表示為3m—r,其中m>N,r=0,1,2時，言j即呻丄：=2占7.求—，，所示平面圖形繞y軸旋轉所得立體的體積?！敬鸢浮縑=2；tJ.rstru-dr=2k(^cosuTsiru)=2占8.利用上題所得遞推公式計算：(DJy^cU. (2)UnrVdr：(3)j(arcsinr)'dri (4)c*si^Jtlr.【答案】⑴-Ip^dx=少"WJ好位)

=七*-乎&”+今（土"一*何&）=*/硏一斗齊”+一辛？+C=『（*/—"P+m—f+c.<2)j(lnr),clr=jr(lrir)1—3j(lnr)?dr頊Iru>-3[太IE*-2jlardr]=jtlnz)1—lr(Inr)'+6(.rlrvr—.r)+C—xt(lnr>3—3(lnx>*?+61nr—6j+C.<3)j(arcsinx)'cLr=j：(arcsinr>4+3>/1—x*(arcsiar)?—6jarcsiardr?Harcsinr"+3s/T-"?(an-sinr)*—6jarcsinrb6|4—J/r~;一riaR^unr)1+3Jj—/《mv<uvj：ftzwtsuu_ _r+《：E)[c'sin'x<<r-’sin、(sinx3coxr)Ifije"siardi'.=c'siar—de*=e*siiu-—e'cosx—je,siardj4-=c'siar—de*=e*siiu-—e'cosx—je,siardj4-(\移項，得'nu,lz，＜（、mt-cost）4故有|czsin3xdj-=-j^[e,sinzx(sinj-—3cosx)+3b(siru?—cosj-)+6("]=^e*(sin'.r—3sin2xcos.r+3sinr—3cost)4-(,.2017年廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學（數(shù)學分析、線性代數(shù)）［專業(yè)碩士］考

研導師圈點必考題匯編（二）說明：①本資料為VIP學員內(nèi)部使用，整理匯編了歷屆導師圏點的重點試題及?？荚囶}。一、證明題I-應用柯西收斂準則，證明以下數(shù)列｛an｝收斂:（l）u唧L此…、羿isin(ni*1)1岫〃+isin(ni*1)1岫〃+2>t..,sinw.3,SIIV/5丁a.U.sh",i2)；—【答案】⑴設》m,則有sin（mtI）I,《I ~I十〈法r+聲+…+去因為如沽。，于是對任意正數(shù)￡（不妨設.I）,必存在N,使當n>N時，有;￡,即?。篭Ilog1:-1則當n>m>N時’ 由柯西收斂準則可知’數(shù)列鞏收斂.（2）設n>m,則有3I2)2F3+1） （7〃十1）（/?+2〉（n—1（土，」i）+（,「h宀）卜…十（土+）mnm對任給的￡>0,取*I7?則對一切》m>N,有? ，?由柯西收斂準則知，數(shù)列3n）枚斂，2.證明：若f（x,y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，g（x,y）在D上可積且不變號，則存在一點使得【答案】不妨設g（w）20（（i‘y）6D）.令M,m分別是r在d上的最大、最小值，從而州g（工、y也《少由《gCr,少若少G3擊=。?貝U由上式也少擊?于是］壬?。⊿瑚￡D即可.若山（工，刃&R腿則必大于0,于是由介值'性定理，存在(￡，v)￡D?使得g下’即3.設XJCR"?證明：IIIxH-IIjIIKlx-Jll.并討論備不等式中等號成立的條件和解釋n=2時的幾何意義。［答案］由三角不等式有l(wèi)lxll=II*-/+jU<II*-JII+IIJII即m-Ujll<llx-yM.又IIJII=liy-x+xll<llx-yll+Ixll即IIjII-flxll《llx-yll所以丨III"15l< 等號成立的條件為，=>^?為實數(shù))，當n=2時等式的幾何意義為：任一三角形中一邊大于或等于另外兩邊之差。二、解答題設3』血井7'。， J4+y=0,考察函數(shù)，在原點(0,0)的偏導數(shù).【答案】由于臨厶世攵羿了邢,0)=如導=0,Ar-*o Ar ArgArlim八0,9士駕-川畠。)-limsin冬4y-oAy <Ay)祎在，所以，f(x,y)在原點關于X的偏導數(shù)為0,關于y的偏導數(shù)不存在.通過對積分區(qū)間作等分分割，并取適當?shù)狞c集，把定積分看作是對應的積分和的極限，來計算下列定積分：(1)￡.r'di：(2)J'e'dr,《3)p&：(4)J*^(0<<r<A)【答案】(1)因f(X)=x‘在［0,1］上連續(xù)，所以f(X)在［0,I］上可積.對［0,I］進行n等分，記其分割為廠 取三：為區(qū)間…［七'?：］的右端點，i=l，2,???,n,得

J>心二腫點g。=52(+)'?+=!i.m土#

=現(xiàn)十[+/3+1)牛如十(1+$=+(2)同(1>有(3)由/*)『在［a,b］上連續(xù)知，f(x)在〔a,b］上可積，對［a,b］進行n等分，記其分割為「-3“S則4"〃氣-械.….”),取&為區(qū)間的右端點,i=l，2,…，n,得Je，dr=Jjjn再'《￡)△，?,lim$：廣護?"廠“

lim-(b-a)?克招"5―?臺=|而『?丨一〈占〉"](，“)f (1~C6^>?H-|im?<2^(1e,J)(ba>―、n9=寸(<?興一1>=/一—(4)同(3),取S "島，得槌=取*您如=加*6.設f(E=j+『'Z<爲項'￡為單位球面/6.設f(E=j+『'Z<爲項'￡為單位球面/+儼+/=1.計算曲面積分I=〃SEdS.【答案】7=JJf5)ds=』/5),”丄5i/Sdxdy?2irrdr=2jtysin3t?dt?=§(8-5仍)?/<(sin3tJ=sint?(l-cos2i?)).7.計算下列積分：(1)J"Cr+刃M⑵g削①一)+2)板【答案】⑴被積函數(shù)0,(x,y)€D|,Cr,y)￡Di，(x?y)€D*,其中和D,見圖原積分v,頫y+卩1.&dy+°2?drdy』3.drdy(2)被積分函數(shù)sgn(x2—y*4-2)=1*Cr?少￡A，—1,<x?y)6ftU其中ZZ?玦和小見圖m的面積為原積分一S=Jdrdy-J：產(chǎn)J#dy=號L21n鷲,。'的面積與隊相同，口的面積為圓面積去掉。和心的面積，所以原枳分-4it-4(^-2lnl±^)原枳分-4it-4(^-2lnl±^)-■4峠十冰2卜屈］.8.求心形線 所圍圖形的面積。【答案】所圍圖形的面積為?腳2017年廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學(數(shù)學分析、線性代數(shù))［專業(yè)碩士］考

研導師圈點必考題匯編(三)說明：①本資料為VIP學員內(nèi)部使用，整理匯編了歷屆導師圏點的重點試題及?？荚囶}。一、證明題1?設f(X)在［0,1上連續(xù)可導，證明：【答案】方法一用積分中值定理.因為ff(*)dx=/(f).IG［0.1］,而/U)=/(￡)+|7'(〃出，所以!/(乂)i<i/(^)I+￡山<￡/-(X)i&+￡iy(x)方法二用分部積分法.因為而￡/(/)d/=(/?(/)I：-Ry)由=”(時-f'/(n<h=(t-f(t-l)r(/)<h=(1-?)/(*)+f(l-l)f(t)dt,所以￡/(《)由=fix}-|V，(O<ir+j'(l故1/(*) |//(Odl|+V")d—￡(1-4)廣⑴叫w￡/(*),h+￡id/+￡i/y)|df=+丄|廣(時|dL2.設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上無界，證明：存在su［"］，使得如存在c6［W.使得對任意的5>0,f(、)在((r<^>fl［aJ>上無界.【答案】⑴因為f(x)在閉區(qū)間［a,b］上無界，所以存在，M 用衝"頊)L同樣由,f(x)的無界性知’存在，八€言的使得丨/偵)"max{2.，/偵)|}

如此繼續(xù),可得u也,們滿足 l>niax{w4-1,(/(xB)",所以=叫.(2)由致密性定理知，⑴中的數(shù)列專存在收斂子列不妨仍記為本身),記!i*n=c此時的C就是滿足要求的點.3.試確定函數(shù)項級數(shù)g3+號)”的收斂域’并討論該級數(shù)的一致收斂性及其和函數(shù)的連續(xù)性.【答案】由于』(*)〔=晚|x+i|=lxh所以當IGV1時級數(shù)絕對收斂,當EA時級數(shù)發(fā)散’當EG時，因為lim(l+丄)=e#0,lim(―1+丄)*0因而級數(shù)發(fā)散,于是級數(shù)的收斂域為(-1,1).設f—=S@+扌)'.求證f(x)在(-1,1)內(nèi)連續(xù).V0V8V1,當|i|<8時有|卜+4)"|<()7+?<(?++)、由根式判別法知況(8+三)‘收斂，所以蟲(工+§)?在［―m］上一致收斂，從而f(x)在工一$面上連續(xù)，由a的任意性知胞)在(-1,1)內(nèi)連續(xù).￡p++)”在(-1,1)內(nèi)非一致收斂.事實上，設*)=&+§)"，取(-1,I),則即虬(工)在(-1,1)內(nèi)不一致收斂于0,所以函數(shù)項級數(shù)去(并§)"在(-1，1)內(nèi)非一致收斂.二、解答題4.求下列不定積分:時dr dr drCr—1>(.rz?1【答案】(2)3尸+/+Inz?1―ZinIj,I. -(j-l)f.3i+(-,n~-n4⑶J備「Ju商％-e廣 心I”緋i+f—穿+c. 2(4)因為1-條+*令+*

］十頂■，一姪并】+異+姪工至1所以|?地=% 四*-)心J1+F 8八，十屈+1，一履+】丿1 I 1TJW頃WT*】，.」I4-1 I 1TJW頃WT*】，.」I4--^-[arciantVZj+1)'8%/一奶丄+]| 272十a(chǎn)rcian(y2x-!)]+(*.】+/"H5(5)】+/"H5(j--D(.rTB,"4(x-i)WTTF所以L.L格-帀，H灣i-m洸危TJ尚心=『I工-11_h犬時_If渚莎-_H希心T*=i，nlx'1 l>■J，+]n,T卄+?壽--上成官-加/+1—arciarw*C村潔+品-i—y膈hidr《公2+乙+1F忐卷石廠蕓fnm+n+G2+2 2+2 dz I+2嘴-4簫 (5)5.求z=F-/+2玷在區(qū)域眼"?。肌可系淖畲笾岛妥钚≈?=】上的【答案】由九（1，少=0,厶（1,3）=01得穩(wěn)定點為（0,0）,且f（0,0）=0.再考慮邊界史+y最值問題.=】上的令］=803/=血0,0^応2”項!］z=cos0—sinT+2sint?cos^=cos20+sin28=v^sin（2Q+十）.當28+f=韻苧即g誕碧時,z=f（x,y）取最大值〃:當2葉普=夸或竽即0=等或導時，z取最小值■姪.將其與f（0,0）=（）進行比較知，所求函數(shù)的最大值為。最小值為一據(jù)?6.把函數(shù)~與，-x<x<0./(x)=-/(x)=-于，0<x<x展開成傅里葉級數(shù)，并由它推岀⑴于=】一++§-*+...，⑵奇T+n+m+???，⑶％=T+I+*T+????【答案】函數(shù)1.及其周期延拓函數(shù)的圖像如圖所示.*TOC\o"1-5"\h\z? 7T| o4圖顯見f（x）在（一兀，Q內(nèi)按段光滑,由收斂定理，f（x）可展開為傅里葉級數(shù),因為“。*ilv（x）dx=+［匸（-十）&+￡ 卜°，a?=+［二（-學）cosnrdx+.于cosnrdr］=0 1）,久= ,（—奇）$innrclr+L-j-sinnrdr 號--J-jsirmrdxiI-［丄，”為奇數(shù)時.rTH；一為"時.所以次（一霧,0）U（o，r）i時f<x)=￡廠1sin《2n—l)x..-1￡n~~1當x=0時，上式的右端收斂到0.⑴當號時，由因此

土血專zi—*+*—辛+....因為.冷""i,■f=+_*■+妾_*+"?，所以.5.-bX4-JL=1+1L4-—4-—14-*??34十12十5711十】3十171923*"2時,因/(f)-T故十=￡我血當丄"亨(】_§+牛_土+吉_擊+?“)，所以缶T+H+m+???.7.方程g+g 能否在原點的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)y=f(X)或x=g(y)?【答案】令.FCr,y)=cosr+siny-『,則有OF(x,y)在原點的某鄰域內(nèi)連續(xù)；F(0,0)=0；F,=—siixr一 ,F,=cosy—je01均在上述鄰域內(nèi)連續(xù)；F,(0,0)=或0,已(0,0)=0.故由隱函數(shù)存在惟一性定理知，方程coar+siny=f在原點的某鄰域內(nèi)可確定隱函數(shù)胃y=f(x).8.求由方程2亍+尸+/+2功-21-2了-4并4=0所確定的函數(shù)z=z(x,y)的極值.【答案】方法一由隱函數(shù)求導，得2yz2

+(1)2y2yz2

+(1)2y2X磽號=。，得方程組(2x+y—1=0,

l_y+z-1=0.由此求出臨界點x=0.y=l.再代入原方程,求出兩個隱函數(shù)的值為Z]=2|(0,1)=1, =花(0,1)=3.求二階偏導數(shù)’由⑴式和⑵式，得+嗤-4咅=。d+嗤-4咅=。d2z介*2玄玄+2z二+2-4dxdydxdydxdy(3)(4)用x=0,y=l,zi=l代入上式,得&=齊=2>。,務=姦=】，6=辭=1，&G-伏=1>0,所以隱函數(shù)*,公在(0,1)點有極小值1.用x=0,y=l,%=3代入(3)式?(5)式，得。=—2V0,&=—1.C2=-1,42C2—￡^=1>O.所以隱函數(shù)22&，y)在(0，1)點有極大值3-方法二取目標函數(shù)f(x,y,z)=z,約束條件為原方程.令0(x.<y?2U)=z+A(2x2+(y2+?24-2jy—2x—2>—4z+4).求導得(D,=^(4x+2y-2)=0(6)0>\=A(2y+2x-2)=0(7)=l+A(2z-4)=0(8)0；=2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0 (9)容易看岀冷0,所以由(6)式ffl(9)式解出x=0,y=l.再由(9)式解岀勺=lg「3經(jīng)(8)式解出A】=l/2,A,=-1/2.4>(W，z,l/2皰(0,1,1)點的海森矩陣為'21O'110.■00L它的II賄主子式依次為4=2>0,厶2=1>0，4=1>0?所以隱函數(shù)水工，力在(0,I)點有極小值1.-1/2瘡(0,1,3)點的海森矩陣為TOC\o"1-5"\h\z-2-1 0'-1-1 00 0-1-它的II賄主子式依次為厶i=—2V0,4=l>0,4=—1V0.所以隱函數(shù)互字刃在(0,1)點有極大值3.2017年廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學（數(shù)學分析、線性代數(shù)）［專業(yè)碩士］考

研導師圈點必考題匯編（四）說明：①本資料為VIP學員內(nèi)部使用，整理匯編了歷屆導師圏點的重點試題及?？荚囶}。一、證明題I-用確界原理證明有限覆蓋定理?！敬鸢浮繕嬙旒?、能被H中有限個開區(qū)間覆蓋明顯，S有上界.又因為H覆蓋閉區(qū)間?所以存在一個開區(qū)間《。?印€兒使浜3.取，€（a,p）Aiu.A）.則:〃.Zlu偵0,即小匕能被H中的有限個開區(qū)間覆蓋.從而xES.即.、z（）由確界原理可知，存在S叫4下面證明g=b.用反證法.若財b,則aVgVb,由H覆蓋閉區(qū)間"知，必存在-■J〃?使*如偵）取由和X2,使“，&，％?則所以亳?，能被H中有限個開區(qū)間覆蓋，把“*加上，就得到"，?」也能被H中有限個開區(qū)間所覆蓋，所以，.e這與4SUN矛盾.因此&=b所以定理結論成立。2.證明曲線積分的估計式：其中L為AB弧長，M 用上述不等式估計積分并證明，也卩zo??【答案】⑴因，Pdr+g=L（P務+Q*）&且唐+Q割</沖+。）［僥）'+（空門=從而lj/dr十曲 P務+Q糸< =LM.⑵因由⑴知由于IIrI〈寰一0（RT8）

3.設f（x在（0,1）內(nèi)有定義，且函數(shù)直（X與邪”在（0,1）內(nèi)都是單調不減的.試證：f（x在（0,1）內(nèi)連續(xù)?！敬鸢浮縑x0E（0,1）.由廠仙f可知,對x>xo,有寫疽W.艮卩TOC\o"1-5"\h\z時wN ^f（x）. （1）這表明/U）1所以f，/g-0）./g+0）都存在.又由e'/（C十知對X>X°,有e'jEN以（％。）令*->x；得顱L?0）MeV（褊）.即+0）3/（%）. （2）在式⑴中，令得/（%。）3/（利+0）. （3）由式⑵、式⑶知,f3。=f（x°+0）.類似地可證：f（如一0）=f（X。）.從而f（x）在xo點連續(xù).由知的任意性知，f（X）在（0,1）內(nèi)連續(xù).二、解答題4.設u=u(x,y.z),v=v(x.y,z)和x=x(s.t).y=y(s.i),z=z(s.D都有連續(xù)的一階偏導數(shù).證明:H(u,v)3(x.v).d(utv)5(y.r)3（“.初__ I a（_y?z）H(u,v)3(x.v).d(utv)5(y.r)a（su）g,。心。十心￡）a（z,x）icju）,【答案】3,十u,y.工?-TrV.x,+v3,十u,y.工?-TrV.x,+vyy.u.z,4-UxX,u,z,+utx.u, y.+utz.y,+ue.“。，+U.Zi

v,yt+VtZ,w.i.+v,z>+v,xt—(m,x,+u,>, 4-v,y, ~<UoT,+ttyy,+虬7,)(3,I虬a（Utv）七做L.0=殊=左端.5.設函數(shù)I（X）在區(qū)間a?b）內(nèi)連續(xù)，函數(shù)Q）在區(qū)間c,d>內(nèi)連續(xù)，而g）>。問在怎樣的條件下，方程冷//3能確定函數(shù)、如08）?并研究例子：（I>siny+shyvi"I）尸—sin*x-【答案】設/?（]，?）=斌，）一/（1）,顯然「（、.續(xù).F,=<p（y）>0.故由教祠Pm注意2知，若兀伝，仞n躍0]X。?即存在點心5），，滿足3X0小）=0.就可在：（"財附近確定隱函數(shù)〉戒/G丄(i)設=x,^y)-siny+shy.,由于。工)可3都在R上連續(xù)，且#?)=cosy+chy>0.又/<R>n邳)hR尹。故由上面的結論知方程wy卜W-z可確定函數(shù)y=y(x).(ii,由于/(x)— WO.^y)=廣>0.所以/(R〉AF(R)=。?故方程廠=一Sin、不官訓角定函數(shù)y=9>*L/<x)J.下列級數(shù)哪些是絕對收斂,條件收斂或發(fā)散的：⑴、帶' ⑵?鬲，⑶、氣卻 (4)?-】)?血芻：(噸(宇+?(宓』⑺Z-D?(冊)\(8)1>!(于)".【答案】(1)因為|滯!〈扣>4時),而2土收斂，所以原級數(shù)絕對收斂.⑵因為|(一1)?南| f8>,由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.⑶根據(jù)P的取值范圍討論.設虬-傳D<0時，因|四借不存在，故原級數(shù)發(fā)散.P>0時，因迦亍」=皿*F，而此時E￡收斂’故P>1時原級數(shù)絕對收斂’且OVpWl時湧“”發(fā)散，即原級數(shù)在OVpWl時不是絕對收斂.0<P<1時，記心)=iT，則(-當虹+十+土)="?*1+/?-5則當x充分大時/'G〉〉。?從而當n充分大時數(shù)列去單調遞減，又!叩土=。故由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂且為條件收斂.sin― 0記因而E:發(fā)散,故原級數(shù)不是絕對收斂.又因Un為單調遞減數(shù)列且n“-w號，皿?。3f8)故由萊布尼茨判別〉糊源級數(shù)條件收斂.因數(shù)列?。龁握{遞減且看一。卜8),所以級數(shù)、號"收斂,又?、+發(fā)散,且才號，所鴻級數(shù)發(fā)散.記吾因虬>廠齊”21〉.故可知〉虬發(fā)散’即原級數(shù)不是絕對收斂?又記/(x)=lnLr±l),/(x)?l=Ml+x)< 2)所以Q2時，f(X)為單調減函數(shù)，又以六*廓略匝出=。.所以七S22)為單凋遞減數(shù)列且“?,。偵f①，由萊布尼茨判別法可得原級數(shù)條件收斂.⑺記％十(辭蕓)"，因在=黠畢質—8)，故原級數(shù)絕對收斂?(8)記〃?=”!(：)■.貝I」

囹|f|?（危）\蚓《一8：故當Uycl時原級數(shù)絕對收斂；當IxlNe時，丨12???91郊|>0從而原級數(shù)發(fā)散.判別下列廣義積分的收斂性：（1）r （2）『—壇J。V jos/7（l-?r）2［答案】（I）此廣義積分有瑕點x=0與x=+b.當x—+ool時,因為IVE>o,Wind+x）=O（.r*）>所以當P>1時,取0<€</>-1（p是固定的）,則有業(yè)盧=。田18）,由于此處/'￡>1，故「加雄％收斂.當L0+。時，因為呼歸?土，所以當P-IV］時即當PV2時，匸呼q（Lr收斂.以上兩方面結合起來，當」VpV2時，則原廣義積分收斂.（2）此廣義積分有瑕點X=O與X=l.當L0+0時,因為V》。有瞄Q所以只要取OV—土.則I有-7=^~~=。|土IGrf0+0）,Vxd-x）1頃由于此處。V+Y1，故］，歩券心收斂.Inx當一一。時，因為満M?號=一土'所以1；7是罪■皴.Inx以上兩方面結合起來，則原廣義積分發(fā)散.試問k為何值時，下列函數(shù)列—致收斂：（】）/?Cr）-特eP,0Wo：V+8］J7l0W、VJ7l號vy.【答案】⑴由削/?（工）=網(wǎng)警=0,設r（x）=0（0WxV+8）?則，髒J人3）-3I一既，成>F整，L

又r.Cr）=C-nr"eF,故讎工）在］=+時取得〔0,十8）上的最大值，從而

^sup>|/.（X）—f（x）|—所以*<1.丄購g"刁十+8,+8,*>1.因此當kVl時，原函數(shù)列在［0,+8)上一致收斂.(2)當x=0時lim/.Cx)-limO-0.（X）=0（X任〔0,1］）當xW(0,I］時，只要《>號就有*VYL貝IJf(x)=0,故阿(工)=。，則f為（X）=0（X任〔0,1］）/.(xX^GtO.lJ)的極限函數(shù)|=，袈?/.《.「)= =I［0. *<1.故liinSUF?51/?(x)—/(x>I= .A■=1.1+8.k>l.所以kVl時，原函數(shù)列在［0,1〕上一致收斂.2017年廣州大學數(shù)學與信息科學學院924數(shù)學（數(shù)學分析、線性代數(shù)）［專業(yè)碩士］考研導師圈點必考題匯編（五）說明：①本資料為VIP學員內(nèi)部使用，整理匯編了歷屆導師圏點的重點試題及常考試題。一、證明題1.1）證明瑕積分八［?3心汕收斂，且J |ln22）利用上題結果，證明：（J）sin（?）<W—如，⑵J：產(chǎn)耕=2*Iln<>iru\'ln（11?s：）（b,（提示：利用并將它們相加.）【答案］1）由于’所以瑕積分JjfEW收斂.同理，|kS，、，d也收斂.令則有f?ln(coxj-)dr=limf'ln(cos-r)d.rlim[ln(sinz)d/—j"ln(sin/)dz=J,故2J亠j[In(siur)+ln(cosj>]d.r-ln(y.sin2j)dr-[*in(sin2?d.rIn2〔drlim|ln(sin2j-)dr-yln2“一幻limj-yln<Mnu)duyIn2=ln(sinu)dw+-|-Jaln(sinw>dM—In2=ln(sinu)dn~1h2--J—In2.于是/-奇做2)(1)令X=JC-G,則0=LX,dO=-dx.于是[I(st/)ln[sin(n-j-)]<I>d/as*jrlntsiru^clr—|rlnfsinxJdrsvnln(sinz)dj[tfln(sini?)clZ?w故有I/?ln(sin0)dd—jln(snu)dj-y["ln(sin.r)d.?”專J」n(wLr)?ir=號(一奇?In2)-r-j；ln(sinu)<Ui_gln2_gh>2=_gln2.4 4 Z(2)「*%也=「如nHco"）— 一瑚）瑚）曲

=Hn2—=nln2-=Hn2—=nln2-ln2dr-41ln（sirtr）（L-

?ln2nln24（_壹1?2）=2nin2.2.設tUR，是有界閉集.1(幻為E的直徑.證明：存在使任m.RV-dUO.【答案】由do驟fl知’對白=十，則存在P?，Q￡E?使得火*RQ)++.而均為有界閉集E中的點列，從而有收斂子列(P%>,(Qrt}?設P.—Pj?Q>—f8〉?貝護％，Q,)《d(E)VP(P,,Q,)+土,令oo得*tR，0)Wd(E)V〃R,R),,即以E)=#R?P2>，由于E為閉集從而R.PME.3.設修■為遞減正項數(shù)列.證明：級數(shù)與、2S同時收斂’同時發(fā)散.TOC\o"1-5"\h\z?-I ?-9【答案】設正項級數(shù)ix與力g的部分和分別是s?=2。.和久=史払.v〃有ir-0 t-1 ?-00WSj?=O|+a?+ +a?*Waj+(a*+%)+(a?+ +s)++(at-+az-.i+ +ar**-i)Wa】+2az+4a?+…+2,a2-=j,由此知’若況2*收斂,則心有上界，從而侶?)有上界’即M有上界，因此況。?收斂...0 ?->又因為, 2小S2*=a】+么+4-a2-=a】+釦+(。3+4)++(。2?Li+紐.-’“++此?)> +。2+2a?+???+2”-'。2”=~(aj4-2a：+4色-H???4-2"a?-)=號久，由此知，若力七收斂，則{%有上界，故￡2喝也收斂.?-】 ?-0于是與互2%?同時收斂，同時發(fā)散。I Jf?。二、解答題4.計算下列定積分:（I）\（2xi-3）dr；5）￡（7）f*drL】+（I）\（2xi-3）dr；5）￡（7）f*drL】+石'（2）I'（5）['?an?rd.r；J0（8）|r,~（hu）dr.J丄r-rhu，【答案】(1)J<2jI3)山-十3x）I⑵J"心=￡（】+./1）（Lr—（2arctanr.r）||：=就.嘰守心十"頃「廣亨

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