2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程.由題意，直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，故其方程為，即.故選：B.2.在空間直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)且以為方向向量，為直線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】求出向量，再利用空間向量共線的充要條件列式判斷即得.依題意，，，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是.故選：C.3.若圓過(guò)，兩點(diǎn)，則當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出以為直徑的圓的方程即可.依題意，線段的中點(diǎn)，，圓過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最小時(shí)，線段為圓的直徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D4.在四面體中，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.如圖，，又，所以，則.故選：C5.若直線與圓相離，則點(diǎn)（）A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.位置不確定【正確答案】B【分析】利用點(diǎn)線距離公式及到的距離，即可判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系.由題意，到的距離，即，所以在在圓內(nèi).故選：B6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【正確答案】A【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)，利用垂徑定理求出圓心到直線的距離.然后分直線斜率存在與不存在兩種情況來(lái)求直線的方程.已知弦長(zhǎng)，半徑.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線的距離為.把，代入可得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，所以直線斜率不存在時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，由圓心到直線的距離，可得.對(duì)進(jìn)行求解.兩邊平方得，展開(kāi)得.解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.故選：A.7.曲線的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分類(lèi)討論寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，畫(huà)出圖得出結(jié)論.曲線曲線的圖像如圖所示：該圖是以四個(gè)點(diǎn)為圓心，半徑為的四個(gè)半圓，所以該圖的周長(zhǎng)為.故選：B8.如圖，在多面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.因?yàn)榈酌嫫矫?，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以?xún)蓛纱怪?，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值4故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，利用共面向量定理逐項(xiàng)判斷即得.由構(gòu)成空間的一個(gè)基底，得向量不共面，對(duì)于A，若向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，則向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；對(duì)于C，由，得，，共面，B是；對(duì)于C，若，，共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，于是，此方程組無(wú)解，向量，，不共面，C不是；對(duì)于D，由，得向量，，共面，D是.故選：BD10.已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)不可能在直線上B.直線恒過(guò)點(diǎn)C.若點(diǎn)到直線的距離相等，則D.直線上恒存在點(diǎn)，滿足【正確答案】ABD【分析】當(dāng)時(shí)，即可判斷A；將線方程可化為，即可判斷B；利用點(diǎn)線的距離公式計(jì)算即可判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)的軌跡方程，證明點(diǎn)在圓的內(nèi)部即可判斷D.A：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.又直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.故選：ABD11.如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在，使得B.不存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.異面直線與所成角的余弦值為【正確答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，E0,0,1，，，，所以，，，因?yàn)?，則，方程無(wú)解，故不存在、使得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，所以，，所以，所以不存在點(diǎn)，使得，故B正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值，即，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【正確答案】分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱(chēng)性列式計(jì)算得解.依題意，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故13.若圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)與圓心的距離的最小值是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.由題意可知直線經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，點(diǎn)到圓心距離最小值就是圓心到直線的距離的最小值，又圓心到直線距離.故14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____.【正確答案】【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.令，則，依題意，圓是由點(diǎn)，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，的值最小為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點(diǎn)，即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線和直線的交點(diǎn)上，且圓過(guò)點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓的方程為，判斷圓與圓的位置關(guān)系.【正確答案】（1）（2）圓與圓相交.【分析】（1）先求出兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可求解；（2）由題意知的圓心為，半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論.【小問(wèn)1】由，得，即圓心坐標(biāo)為.，圓的方程為.【小問(wèn)2】由（1）知，圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑.，，圓與圓相交.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定逆定理可證得，，然后利用線面垂直的判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1】證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小問(wèn)2】解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17.已知直線.（1）若直線與.平行，且之間的距離為，求的方程；（2）為上一點(diǎn)，點(diǎn)，，求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【正確答案】（1）或；（2）【分析】（1）設(shè)出直線m的方程，利用平行線間距離公式列式求解.（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形，利用線段和差關(guān)系確定點(diǎn)位置，進(jìn)而求出其坐標(biāo).【小問(wèn)1】由直線m與平行，設(shè)直線m方程為，由m，之間的距離為，得，解得或，所以直線m的方程為或.【小問(wèn)2】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，直線的方程為，即，由，解得，點(diǎn)，所以取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).18.如圖，在斜三棱柱中，平面平面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.（1）設(shè)向量為平面的法向量，證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出平面，進(jìn)而得出法向量,最后應(yīng)用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用空間向量法求法向量及向量應(yīng)用公式運(yùn)算即可；（3）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.【小問(wèn)1】如圖，連接.，平面平面，平面平面平面，平面.是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.是平面的一個(gè)法向量，令.，，.【小問(wèn)2】.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)3】.設(shè)平面的法向量為，則令，可得，平面的一個(gè)法向量為.由（2）可知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為..19.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及直線上任意一點(diǎn)Q，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)P到的“切比雪夫距離”，記作.（1）已知點(diǎn)和點(diǎn)，直線：，求和.（2）已知圓C：和圓E.（i）若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓C和圓E的位置關(guān)系；（ii）若，圓E與x軸交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在圓C外，且，過(guò)點(diǎn)M任作一條斜率不為0的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，記直線為，直線為，證明.【正確答案】（1），；（2）（i）內(nèi)切；（ii）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)新定義直接計(jì)算，設(shè)是上一點(diǎn)，分類(lèi)討論計(jì)算出，再確定最小值得；（2）（i）求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)切比雪夫距離的定義，由或求得參數(shù)，并檢驗(yàn)是否滿足題意，然后根據(jù)圓心距判斷兩圓位置關(guān)系；（ii）由已知求出，得出兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程為，，直線方程代入圓方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理得，從而證明，得直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，然后由直線上任意一點(diǎn)與直線上點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它們是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，且，則其最小值也相等，從而證得結(jié)論成立，【小問(wèn)1】，，，所以，直線方程為，是上一點(diǎn)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)t?1>2，即或時(shí)，，所以的最小值是2，所以；【小問(wèn)2】（i）圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為，，若，則或，時(shí)，，不合題意，時(shí)，，滿足題意，此時(shí)，，因此兩圓內(nèi)切；若，則或，時(shí)，，不合題意，時(shí)，，滿足題意，此時(shí)，，兩圓內(nèi)切．所以圓C和圓E內(nèi)切；（ii）圓E與x軸交于M，N兩點(diǎn)，則方程，即（*）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，所以Δ=4a2?4(2a2?3a?4)>0，方程（*）的兩解為，則，由韋達(dá)定理有，所以，解得或（舍去），時(shí)方程（*）為，解得，，交點(diǎn)為和，點(diǎn)M在圓C外，則MC>2，因此，，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，