2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．若，，則以下向量中，能成為平面的法向量的是（

）A． B．C． D．3．與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．4．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．5．已知點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍（

）A． B．C． D．6．如圖，在直三棱柱中，且，則直線與所成的角為（

）

A． B． C． D．7．已知點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．58．一個(gè)工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（

）A． B．1 C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為C．已知直線，則直線的傾斜角為D．若兩直線與平行，則10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的任意一點(diǎn)，則（

）A．C的離心率為 B．C．的最大值為 D．使為直角的點(diǎn)P有4個(gè)11．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，下列說法正確的是（

）A．B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．，，，四點(diǎn)共面D．直線與直線所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線是雙曲線的一條漸近線，則.13．圓與圓相交所得公共弦長(zhǎng)為．14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點(diǎn)，設(shè).(1)求和的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求的值.16．已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程．17．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過拋物線焦點(diǎn)的直線和拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，，求直線方程．18．在平行六面體中，，，.

(1)求的長(zhǎng)；(2)求到直線的距離；(3)動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.19．中國(guó)古典園林洞門、洞窗具有增添園林意境，豐富園林文化內(nèi)涵的作用，門、窗裝飾圖案成為園林建筑中具有文化價(jià)值以及文化內(nèi)涵的裝飾.如圖1所示的一種橢圓洞窗，由橢圓和圓組成，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，圓以線段為直徑，(1)設(shè)計(jì)如圖所示的洞窗，橢圓的離心率應(yīng)滿足怎樣的范圍？(2)經(jīng)測(cè)量橢圓的長(zhǎng)軸為4分米，焦距為2分米.（i）從射出的任意一束光線照在左側(cè)距橢圓中心4分米的豎直墻壁上，如圖2所示.建模小組的同學(xué)用長(zhǎng)繩拉出橢圓洞窗的切線AB，B為切點(diǎn)，然后用量角器探究猜測(cè)是定值，請(qǐng)幫他們證明上述猜想.（ii）建模小組的同學(xué)想設(shè)計(jì)一個(gè)如圖3的四邊形裝飾，滿足：點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過和分別做圓的切線，交于R，S，求四邊形裝飾面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2．【正確答案】C【詳解】設(shè)平面的法向量為,則,令，可得，故為平面的一個(gè)法向量.令，可得，故為平面的一個(gè)法向量.故選:C.3．【正確答案】B【詳解】在橢圓中，設(shè)雙曲線方程為因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)且過點(diǎn)且，解之可得所以雙曲線方程是故選：B4．【正確答案】B【詳解】由題意，又，.故選：B5．【正確答案】D【詳解】點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率滿足或，即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】如圖，由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，則，則，又由兩直線所成角的范圍為，則直線與所成的角為.故選：C.

7．【正確答案】C【詳解】點(diǎn)在直線：上，圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，圓：關(guān)于直線對(duì)稱圓：如圖：連接與圓交直線于點(diǎn)，連接交圓于，此時(shí)最小，，故選：C8．【正確答案】C【詳解】設(shè)，是拋物線上任一點(diǎn)，顯然，拋物線內(nèi)以為圓心的圓能過原點(diǎn)，則的最小值是，，所以時(shí)，取得最小值，若，則點(diǎn)不可能是原點(diǎn)，即拋物線的頂點(diǎn)，不合題意，若，即，則時(shí)，，此時(shí)圓半徑為，最大值是2.故選：C．9．【正確答案】CD【詳解】對(duì)于A：“直線與直線互相垂直”的充要條件是，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：已知直線，則直線的傾斜角為滿足，故傾斜角，故C正確；對(duì)于D：若兩直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故舍去，故D正確．故選：CD．10．【正確答案】BCD【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義可知，故B正確；由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；易知以線段為直徑的圓（因?yàn)椋┡cC有4個(gè)交點(diǎn)，故滿足為直角的點(diǎn)有4個(gè)，故D正確.故選：BCD11．【正確答案】ACD【詳解】依題意，正方形的對(duì)角線，則，所以，，，，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，于是，又為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，，，所以直線與直線所成角的余弦值為，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】2【詳解】因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，故其漸近線方程為，依題意，易得.故2.13．【正確答案】【分析】?jī)蓤A方程作差得公共弦所在直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到直線的距離，最后由即可得解.【詳解】記圓，圓，兩個(gè)方程作差可得，，所以兩圓公共弦所在直線方程為，圓心到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限的部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限的部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限的部分；當(dāng)，不表示任何圖形；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，作出大致圖象如圖，曲線上的點(diǎn)到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二、四象限雙曲線的漸近線方程都是，直線與距離為，曲線第二、四象限上的點(diǎn)到的距離為小于且無限接近1，聯(lián)立，消得，，且，所以方程有兩個(gè)正根，所以直線與橢圓第一象限的部分有兩個(gè)交點(diǎn)，考慮到曲線第一象限的點(diǎn)到距離的最小值為，當(dāng)與橢圓部分在第一象限相切時(shí)，聯(lián)立可得，令，解得，因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以，此時(shí)與的距離為，所以，所以的取值范圍是，故答案為.15．【正確答案】(1)(2)2或【詳解】（1）由點(diǎn)，得，，所以，所以和夾角的余弦值為.（2）由（1）可得，，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，則，由整理可得，解得或，所以的值為2或.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程.【詳解】（1）由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）由點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，于是邊的中點(diǎn)在直線上，因此，解得，即得點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.17．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可求得橢圓方程；（2）分別討論直線斜率是否存在，聯(lián)立直線和拋物線方程利用焦點(diǎn)弦公式可得，即得直線方程.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓中，因?yàn)闄E圓的離心率為，即，所以，，所以橢圓方程為（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知此時(shí)，不合題意；所以直線斜率存在，設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為，如下圖所：聯(lián)立得，設(shè)，則，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式可得，解得，，所以直線方程為或18．【正確答案】(1)(2)2(3).【詳解】（1）如圖所示：

由題知，，因?yàn)?，所以，，而，，，所以，即的長(zhǎng)度為.（2）因?yàn)椋裕?，在中，，所以，即，又因?yàn)椋矫?，所以平面，而平面，所以，即為到直線的距離，而，所以三角形為等邊三角形，即，即到直線的距離為.（3）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，這時(shí)的最小，且為.19．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【詳解】（1）由題意可知橢圓滿足，故.（2）（i）由測(cè)量數(shù)據(jù)可得，，故，，墻壁所在直線，易知直線斜率存在，設(shè)，可得，設(shè)切線，聯(lián)立，則，相切可得，則，則，切點(diǎn)，，故，，，，故，則.（ii）