2025年計算機組成原理第2章

1第二章數(shù)據(jù)的表示和運算2§2.1數(shù)據(jù)的編碼一、數(shù)制及其轉(zhuǎn)換1、進位記數(shù)制*進位記數(shù)制：又稱進制或數(shù)制，是用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。參數(shù)有數(shù)碼、基數(shù)和位權(quán)*常用的4種進制：二進制八進制十進制十六進制數(shù)碼0,10,1,…,70,1,…,90,1,…,9,A,B,…,F基數(shù)281016位權(quán)2i8i10i16i書寫形式BODH*R進制數(shù)表示：(N

)R=(kn-1…k1k0.k-1k-2…k-m)R=

其中，ki∈{0,1,…(R-1)}32、R進制數(shù)→十進制數(shù)轉(zhuǎn)換

例1—(101.01)2=(1×22+1×20+1×2-2)10=(5.25)10

(3A.C)16=(3×161+10×160+12×16-1)10=(58.75)103、十進制數(shù)→R進制數(shù)轉(zhuǎn)換(1)十進制整數(shù)→R進制整數(shù)轉(zhuǎn)換

例2—

余數(shù)2191(最低位)291240220211(最高位)0(19)10=(10011)2

余數(shù)8193(最低位)822(最高位)0(19)10=(23)8*轉(zhuǎn)換規(guī)則：按位權(quán)展開*整數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則：除基取余、上右下左4(2)十進制小數(shù)→R進制小數(shù)轉(zhuǎn)換

整數(shù)部分0.6875×2=1.3751(最高位)0.375×2=0.750

0.75×2=1.510.5×2=1.01(最低位)(0.6875)10

=(0.1011)2

整數(shù)部分0.6875×8=5.55(最高位)0.5×8=4.04

(最低位)

(0.6875)10

=(0.54)8

例3—將(0.6875)10分別轉(zhuǎn)換成二、八進制數(shù)(3)十進制數(shù)→R進制數(shù)轉(zhuǎn)換

*轉(zhuǎn)換規(guī)則：整數(shù)部分、小數(shù)部分分別轉(zhuǎn)換后再合并

練習(xí)1—(19.6875)10=(X)2=(Y)8，X=？Y=？*小數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則：乘基取整、上左下右54、二、八、十六進制數(shù)相互轉(zhuǎn)換

*數(shù)位長度關(guān)系：1個八進制、十六進制數(shù)位＝3

bit、4

bit*轉(zhuǎn)換規(guī)則：從小數(shù)點向兩邊分別轉(zhuǎn)換，

數(shù)位不夠時補零、無效的零刪除

例4—(13.724)8=(001

011.111

010

100)2=(1011.1110101)2

(10011.01)2=(010

011.010)2=(23.2)8

例5—(2B.E)16=(0010

1011.1110)2=(101011.111)2

(11001.11)2=(0001

1001.1100)2=(19.C)16

練習(xí)2—(21.75)10＝(X)2＝(Y)8＝(Z)16，X=？Y=？Z=？(2D.E)16＝(A)2＝(B)8＝(C)10，A=？B=？C=？6二、機器數(shù)及其編碼*數(shù)值數(shù)據(jù)：組成—[符號+]數(shù)值[+小數(shù)點+數(shù)值]

運算—符號與數(shù)值分開運算，減法先比較大小*機器數(shù)：計算機內(nèi)部編碼表示的數(shù)值數(shù)據(jù)如(+101)2→(0101)2、(-101)2→(1101)2

真值—數(shù)學(xué)上帶+/-號的數(shù)值數(shù)據(jù)*機器數(shù)的編碼方法：運算方法分析—①采用手工運算方法，硬件實現(xiàn)困難☆②采用新運算方法，以利于硬件實現(xiàn)

編碼方法—原碼、補碼、反碼、移碼等，

均用二進制表示←硬件僅0/1兩個狀態(tài)符號/數(shù)值一起運算減法不比較大小新的編碼方法[]表示可缺省71、原碼(Sign-magnitude)表示法*基本思想：機器數(shù)最高位表示真值的符號(0/1表示+/-)，

其余位為真值的絕對值*整數(shù)原碼定義：

設(shè)X=±xn-2…x0，則[X]原=xn-1xn-2…x0，[X]原

=X

0≤X＜2n-12n-1

-

X

=

2n-1

+|X|-2n-1＜X≤0

例1—[+1101]原=01101；[-1101]原=11101

例2—若[X]原=1101，則X=-101

例3—若[+X]原=0110，則[-X]原=1110

若[+Y]原=0000，則[-Y]原=1000

※[+0]原≠[-0]原

練習(xí)1—若X=-01000，則[X]原=？若[Y]原=101010，則Y=？符號位數(shù)值位8*小數(shù)原碼定義：

設(shè)X=±0.x-1…x-(n-1)，則[X]原=x0.x-1…x-(n-1)[X]原

=X

0≤X＜11-X=1+|X|-1＜X≤0

例4—[+0.1001]原=0.1001；[-0.1001]原=1.1001

例5—若[X]原=1.01，則X=-0.01*原碼的特性：①X與[X]原關(guān)系—·[X]原與X表示值的范圍相同，

·[+0]原≠[-0]原②運算方法—符號與數(shù)值分開運算(與手工運算一致)

└→適合于乘除法，加減法較復(fù)雜編碼時0可省略92、補碼(Two’scomplement)表示法

*編碼目標：符號與數(shù)值一起運算，減法無需比較大小*有模運算：運算只計量小于“?！钡牟糠郑嘤嗖糠直粊G棄?！嬃肯到y(tǒng)的計數(shù)范圍(1)有模運算與補數(shù)示例—時針從10點撥向7點：①10-3=7；②10+9=7+12=7*補數(shù)：若a、b、M滿足a+b=M，稱a、b互為模M的補數(shù)

同余—若A、B、M滿足A=B+kM(k為有符號整數(shù))，則記

A≡B(mod

M)，稱B和A為模M的同余

運算特征—c-a

=

c-(M-b)

=

c+b

(modM)，即減去一個數(shù)等價于加上這個數(shù)的補數(shù)└→可將減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算10

*減法無需比較大小的編碼思路：①負數(shù)用其正補數(shù)表示，正數(shù)用其本身表示示例—-4≡8(mod12)，+8≡8(mod12)

②減法時，減數(shù)用其取負后編碼表示、進行加法運算示例—9-4≡5(mod12)，4-9≡7(mod12)(2)補碼定義*基本思想：機器數(shù)最高位表示X的符號(0/1表示+/-)，

其余位為|X|或|X|的補數(shù)*整數(shù)補碼定義：

設(shè)X=±xn-2…x0，則模為2n，[X]補=x’n-1x’n-2…x’0，即[X]補

=

2n

+X(mod2n)

=X

0≤X＜2n-12n

+X=2n

-|X|-2n-1≤X＜0

說明—為實現(xiàn)“負數(shù)的x’n-1=1”，模須為2n(不是2n-1)11

練習(xí)2—若X=-01000、Y=+01000，[X]補=？[Y]補=？

例7—n=5、X≥0時，[X]補最大=01111，Xmax=24-1=+15

X＜0時，[X]補最小=10000，Xmin=-24=-16

原碼無11…1110…0110…00

00…0000…0101…11補碼

10…0010…0111…1100…0000…0101…11真值

-2n-1-(2n-1-1)

-1

0

+1+(2n-1-1)[+0000]補=[-0000]補=00000※數(shù)0的補碼惟一※補碼表示數(shù)的個數(shù)比原碼多1個

例6—[+0001]補=00001，[-0001]補=10

0000+(-0001)=11111[+1111]補=01111，[-1111]補=10

0000+(-1111)=1000125

最高位為112*小數(shù)補碼定義：

設(shè)X=±0.x-1…x-(n-1)，則[X]補=x’0.x’-1…x’-(n-1)[X]補

=

2+X(mod2)

=X

0≤X＜12+X=2-|X|-1≤X＜0

例8—[+0.1011]補=0.1011[-0.1011]補=2-0.1011=10.0000-0.1011=1.010110

說明—模為2(不是1)為實現(xiàn)“負數(shù)的x’0=1”*符號與數(shù)值一起運算的原理分析：僅考慮不溢出情況

0100(+4)1111(-1)0101(+5)1011(-5)

+0011(+3)

+1100(-4)

+1100(-4)

+0100(+4)

00111(+7)11011(-5)10001(+1)01111(-1)

結(jié)果正確—同號加符號不變，異號加符號同絕對值較大者13②設(shè)X=-xn-2…x0，[Y]補=1yn-2…y0，xi及yi=0或1

則[X]補

=

2n+X

=

[2n-1+(2n-1-1)+1]+X

=10

…

0+1

…

1

+

1=1

0

…

0-

xn-2…x0+

xn-2…x0

+1=

1

xn-2…x0

+

1(3)補碼的特性*X與[X]補的關(guān)系：下述方法同樣適用于純小數(shù)①設(shè)X=+xn-2…x0，[Y]補=0yn-2…y0，xi及yi=0或1

則[X]補

=

X

=

0xn-2…x0

Y

=

[Y]補

=

+

yn-2…y0

Y

=[Y]補-2n

=

1yn-2…y0-[2n-1+(2n-1-1)+1]=

2n-1-2n-1

-(

1…1

-

yn-2…y0

+

1

)

=

-(

yn-2…y0

+

1

)14△X→[X]補—

若X為正數(shù)，改符號位為0，其余各位不變；若X為負數(shù)，改符號位為1，其余各位取反、末位加1

例9—X=+0101，[X]補=X=-0101，[X]補=0

0101；1

1011△[X]補→X—

若[X]補最高位為0，改其為正號，其余各位不變；若[X]補最高位為1，改其為負號，其余各位取反、末位加1

例10—[X]補=0

0101，X=+

0101；[X]補=1

1011，X=-

010115△[X]原→[X]補—

若[X]原最高位為0，[X]補=[X]原；

若[X]原最高位為1，[X]補=[X]原各數(shù)值位取反、末位加1

例11—

[X]原=0

0101,[X]補=0

0101；[X]原=1

0101,[X]補=1

1011△[X]補→[X]原—

若[X]補最高位為0，[X]原=[X]補；

若[X]補最高位為1，[X]原=[X]補各數(shù)值位取反、末位加1

例12—

[X]補=0

0101,[X]原=0

0101；[X]補=1

0101,[X]原=1

1011符號位(最高位)不變符號位(最高位)不變16*[X]補與[-X]補的關(guān)系：

設(shè)[X]補=xn-1xn-2…x0，則

當X≥0時，X

=

[X]補，其中xn-1=0，

[-X]補

=

1xn-2…x0

+1

=

xn-1xn-2…x0

+1△[X]補→[-X]補—[X]補的各位取反(含符號位)、末位加1[-X]補→[X]補—[-X]補的各位取反(含符號位)、末位加1

例13—[X]補=1

0110，[-X]補=

0

1001+1=

0

1010

練習(xí)3—若X=-01001，[-X]補=？若[X]補=101010，[-X]補=？-X=？

當X＜0時，[X]補

=

2n

-|X|，其中xn-1=1，

[-X]補

=|X|=

2n

-[X]補=11…1-[X]補+1

=

xn-1xn-2…x0

+117

0

01001

0

01001

練習(xí)4—

①若X=+01001，[X]原=，[X]補=

②若X=-01010，[X]原=，[X]補=

1

01010

1

10110

+

01010

0

01010

③若[X]原=001010，X=，[X]補=

④若[X]原=101110，X=，[X]補=

-

01110

1

10010

+

01110

1

10010

⑤若[X]補=001110，X=，[-X]補=

⑥若[X]補=101110，X=，[-X]補=

-

10010

0

10010

0

10101

0

10101

⑦若[-X]補=101011，[X]補=，[X]原=

⑧若[-X]補=001001，[X]補=，[X]原=

1

10111

1

01001

714183、反碼(Ones’complement)表示法

*編碼目標：作為原碼與補碼相互轉(zhuǎn)換時的一種過渡編碼*整數(shù)反碼定義：設(shè)X=±xn-2…x0，取模=2n-1，則[X]反

=

(2n-1)+X(mod2n-1)

=X

0≤X＜2n-1(2n-1)+X-2n-1＜X≤0*小數(shù)反碼定義：設(shè)X=±0.x-1…x-(n-1)，模=2-2-(n-1)，則[X]反

=

(2-2-(n-1))

+

X(mod2-2-(n-1))

=X

0≤X＜1(2-2-(n-1))+X-1＜X≤0

例14—[+1101]反=01101，[-1101]反=1001010

例15—[+0.1101]反=0.1101，[-0.1101]反=1.0010*反碼與補碼關(guān)系：若X為正數(shù)，[X]補=[X]反；

若X為負數(shù)，[X]補=[X]反+11911

原碼、補碼、反碼比較：

①機器數(shù)的最高位均為符號位(0/1表示正/負)原碼無11…1110…0110…00

00…0000…0101…11反碼

無

10…0011…1011…11

00…0000…0101…11補碼

10…0010…0111…1100…0000…0101…11真值

-2n-1-(2n-1-1)

-1

0

+1+(2n-1-1)④[+0]補=[-0]補，補碼比原碼、反碼多表示一個負數(shù)②若真值X為正數(shù)，[X]原=[X]補=[X]反③若真值X為負數(shù)，[X]補=[X]原數(shù)值位各位求反、末位+1

[X]反=[X]原數(shù)值位各位求反移碼

00…0000…0101…1110…0010…0111…11204、移碼表示法

*編碼目標：數(shù)(含符號及數(shù)值)連續(xù)時，編碼連續(xù)*整數(shù)移碼定義：

設(shè)X=±xn-2…x0，取模=2n、偏移量=2n-1，則

[X]移

=

2n-1+X(mod2n)

=

2n-1

+

X-2n-1≤X＜2n-1

例16—[-111]移=0001，[-001]移=0111，[±000]移=1000，

[+001]移=1001，[+111]移=1111，[-1000]移=0000補碼

10…0010…0111…1100…0000…0101…11移碼

00…0000…0101…1110…0010…0111…11真值

-2n-1-(2n-1-1)

-1

0+1+(2n-1-1)*移碼的特性：①數(shù)在數(shù)軸上為連續(xù)編碼(似無符號數(shù))，便于比較大小②[X]移=[X]補符號位取反、其余各位不變21三、十進制數(shù)編碼*BCD碼(BinaryCodedDecimal)：又稱二-十進制編碼，是指用4位二進制編碼表示1位十進制數(shù)位的編碼方式*BCD碼種類：分有權(quán)碼和無權(quán)碼兩種，最常用的是8421碼十進制數(shù)01234567898421碼0000000100100011010001010110011110001001余3碼0011010001010110011110001001101010111100

BCD碼缺省時指8421碼(特殊聲明除外)！*十進制數(shù)的編碼方法：①對各數(shù)位按序用BCD碼編碼，符號編碼放在最后；②用特定編碼表示符號(如1100和1101表示正和負)

例—+427表示為0100001001111100

-123表示為000100100011110122四、字符及字符串編碼1、字符編碼*字符編碼：字符在字符集中惟一的數(shù)字化代碼，表示字符在字符集中的序號或特征號*字符編碼的類型：有輸入碼、內(nèi)碼、交換碼、字模碼4種

鍵盤計算機B轉(zhuǎn)換處理傳送字模碼內(nèi)碼輸入碼交換碼顯示器傳送計算機A交換碼內(nèi)碼內(nèi)碼字符數(shù)據(jù)字符字模庫MEM交換碼字符傳送時的編碼(序號),僅與字符集大小有關(guān)與輸入法、字符集大小有關(guān)與字體、字號大小有關(guān)字符存儲時的編碼(數(shù)據(jù)表示),與字符集大小、存儲器字長有關(guān)23*有關(guān)字符編碼的習(xí)慣叫法：

字符編碼—均指交換碼的編碼！

字符數(shù)據(jù)—均指內(nèi)碼的編碼！*常見字符編碼(交換碼)種類：編碼種類碼點數(shù)量編碼長度說明ASCII碼1287美國標準信息交換碼，英文，使用最廣泛EBCDIC碼2568擴展二-十進制交換碼，英文，IBM定義Unicode碼6553616統(tǒng)一字符碼，支持各國語言，使用較廣泛ANSI碼2568美國國家標準協(xié)會交換碼，英文，含ASCII碼GB2312-80744514漢字國標碼，中文①碼點數(shù)量—需編碼的信息數(shù)量；

(如交換碼指字符數(shù)，字模碼指字符點陣數(shù))②編碼長度—采用等長編碼，長度=log2

碼點數(shù)量，Unicode可變長242、字符串編碼*字符串特性：

①由多個字符構(gòu)成②所含字符數(shù)不固定*字符串編碼方法：①由各個字符編碼組成②通過特定編碼標志字符串的結(jié)束，結(jié)束編碼放在最后

└→字符集必須包含該字符(如ASCII碼中編碼為0的字符)

例—字符串“am”的ASCII編碼為110000111011010000000

作業(yè)一：P78～79—2～725*冗余校驗思想：①用待發(fā)數(shù)據(jù)(M)形成校驗位(P)，M與P一起傳送②用接收數(shù)據(jù)(M’)形成新校驗位(P”)，用P’及P”檢錯/糾錯五、校驗碼存儲器或傳輸線路M函數(shù)fP輸出方比較器P”P’糾正器M函數(shù)fM’輸入方狀態(tài)*術(shù)語：校驗碼—由數(shù)據(jù)和校驗位組成的信息編碼檢錯(檢驗)—檢查數(shù)據(jù)在傳送過程中有/無錯誤糾錯(校正)—根據(jù)錯誤位置糾正數(shù)據(jù)(取反)*常見校驗碼：奇偶校驗碼、海明校驗碼，循環(huán)冗余校驗碼261、奇偶校驗碼*編碼原理：采用1位校驗位，使校驗碼中

“1”的位數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)個*校驗原理：檢測校驗碼中

“1”的個數(shù)特性，確定是否有錯

例1—數(shù)據(jù)101001001101001100011奇校驗碼101001000110100？1100011？偶校驗碼101001010110100？1100011？有奇校驗/偶校驗方法預(yù)先約定為奇數(shù)/偶數(shù)個*校驗碼編碼：

(設(shè)數(shù)據(jù)信息為mnmn-1…m1)

校驗碼組成—共n+1位，數(shù)據(jù)mnmn-1…m1校驗位p1

異或與模2加—

ab=a+b(mod2)

校驗位編碼—奇校驗時：P=p1=mn+mn-1+…+m1+1(mod2)

偶校驗時：P=p1=mn+mn-1+…+m1(mod2)27*校驗方法：故障字S—S=P’P”，其中P’是接收的、P”是形成的檢錯—若S=0無錯誤，若S=1有錯誤糾錯—無此能力(∵無法獲得錯誤位置)

例2—接收的奇校驗碼故障字S錯誤位數(shù)(人工)發(fā)送碼(參考)10100100001010010001101001?10110110101101100?10110110101101000?201101101*校驗?zāi)芰Γ褐荒軝z測奇數(shù)個錯誤，無糾錯能力

例3—下列接收的校驗碼①01001、②10100、③10011中，只有一個有奇數(shù)個錯，發(fā)送時采用的是奇校驗還是偶校驗碼？*應(yīng)用：廣泛應(yīng)用于I/O傳輸?shù)臄?shù)據(jù)校驗25282、海明校驗碼*編碼原理：將數(shù)據(jù)分成k個有重疊的組，

每個組使用一個奇偶校驗位(共k個校驗位)*校驗原理：多重奇偶校驗，即某位錯誤導(dǎo)致多個校驗位變化，從而實現(xiàn)檢錯與糾錯(定位)*校驗?zāi)芰δ繕耍耗軝z測并糾正1位錯誤*校驗方法：(能力目標→方法推導(dǎo))

設(shè)數(shù)據(jù)M=mn…m1，校驗位P=pk…p1(即有k個奇偶檢驗組)校驗碼的編碼規(guī)則?k的長度?

故障字S—S=sk…s1，si=pi’pi”=pi’+

pi”(mod2)

檢錯—若S=0無錯誤，S≠0有錯誤糾錯—S值表示錯誤位置(共有n+k種)，該位信息取反26校驗碼常稱為單糾錯碼SEC29*校驗位位數(shù)k的確定：校驗?zāi)芰δ繕艘蟆?k-1≥n+k，其中n+k表示1位錯誤種類n12～45～1112～2627～5758～120k(最小值)234567k的取值—*校驗碼編碼規(guī)則：

(以4個校驗組為例)

故障字S值的約定—S≠0時表示錯誤位置，S值有n+k+1種無錯誤:0000(→校驗碼位置序號從1開始編號)

校驗位錯:0001(p1)、0010(p2)、0100(p3)、1000(p4)

數(shù)據(jù)位錯:S的其余碼值(≥2個si=1)

校驗碼的組成規(guī)則—按“S值＝錯誤位置”規(guī)則排列信息位置序號151413121110987654321信息排列m11m10m9m8m7m6m5p4m4m3m2p3m1p2p1校驗位次重要，1個si=130位置及信息校驗組151413121110987654321111111101101110010111010100110000111011001010100001100100001m11m10m9m8m7m6m5p4m4m3m2p3m1p2p1第4組√√√√√√√△第3組√√√√√√√△第2組√√√√√√√△第1組√√√√√√√△

檢驗位的編碼規(guī)則—

(缺省為偶校驗方式)p4＝m11+m10+m9+m8+m7+m6+m5

(mod2)p3＝m11+m10+m9+m8

+m4+m3+m2

(mod2)

p2＝m11+m10

+m7+m6

+m4+m3

+m1

(mod2)p1＝m11

+m9

+m7

+m5+m4+m2+m1(mod2)*應(yīng)用：常應(yīng)用于I/O傳輸、RAID存儲等方面的校驗28

信息位加入校驗組規(guī)則—信息位的位置hk…h(huán)1中，hi=1時就加入第i校驗組該信息位錯誤時si=131

解：∵23-1＜7+3、24-1＞7+4∴校驗位位數(shù)=4位；

例5—求字符b的ASCII碼(m7…m1=1100010)的海明偶校驗碼。

例4—若數(shù)據(jù)有16位，則海明校驗碼的校驗位最少為多少位?

解：2k-1≥16+k，k最小為5位(24-1＜20、25-1＞21)。

根據(jù)故障字約定，校驗碼排列m7m6m5p4m4m3m2p3m1p2p1

故偶校驗碼=m7m6m5p4m4m3m2p3m1p2p1=1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

根據(jù)檢驗位編碼規(guī)則，得（偶校驗方式）

p4=m7m6m5

=0p3=

m4m3m2

=1p2=m7m6

m4m3m1=0p1=m7

m5m4

m2m1=02932

例6—續(xù)例5，請分析下列接收的海明偶校驗碼是否有錯？錯誤時的位置？①11000011010、②11000001000、③11001001000

解：①接收的M’=1100010、P’=0110，可求得P”=0100，S=P’+P”(mod2)，即無進位的模2加，得S=0010，∴有錯誤，位置2錯誤(p2位錯)，數(shù)據(jù)M=1100010

②接收的M’=1100000、P’=0100，可求得P”=0001，S=P’+P”(mod2)，得S=0101，∴有錯誤，位置5錯誤(數(shù)據(jù)位m2錯)，數(shù)據(jù)M=1100010

③接收的M’=1101000、P’=0100，可求得P”=0110，S=P’+P”(mod2)，得S=0010，∴有錯誤，p2錯？實際是m4及m2位錯(M’=1101000)！*校驗?zāi)芰Γ篠EC能檢測并糾正1位錯，最多只可發(fā)現(xiàn)2位錯！30333、循環(huán)冗余校驗碼—CRC(CyclicRedundancyCheck)碼*基本概念：模2乘—與手工乘法類似，乘積各位求和時采用模2加法

模2除—上商規(guī)則，部分余數(shù)的首位即為位商；

求余規(guī)則，按位模2減(即模2加)1010

×10110100000

1010＿

10001010110110000

101

010

000

100

10101……余數(shù)(比除數(shù)少1位)

編碼與多項式—可用多項式mn-1Xn-1+…+m1X+m0=M(X)來表示信息編碼mn-1…m1m0，mi=0或1時稱M(X)為二進制多項式；

M(X)左移k位相當于M(X)·Xk34*編碼原理：CRC碼由數(shù)據(jù)M(X)及校驗位R(X)拼接組成；而R(X)為M(X)左移k位后、模2除以k+1位生成多項式G(X)的余數(shù)即[M(X)·Xk]/G(X)=Q(X)……R(X)(模2除)

CRC碼=M(X)·Xk-R(X)=M(X)·Xk+R(X)(模2加減)數(shù)據(jù)mn-1…m1校驗位rk…r1

例7—已知M(X)=1100，G(X)=X3+X+1，求其CRC碼

解：G(X)=X3+X+1，即1011→校驗位R(X)為3位

M(X)·X3/G(X)=1100000/1011=1110……010

(模2除)CRC碼=1100000+010=1100

010CRC碼特點—模2除以G(X)時余數(shù)為零，即

[M(X)·Xk+R(X)]/G(X)(模2除)={Q(X)G(X)+R(X)+R(X)}/G(X)(模2除)=[Q(X)G(X)]/G(X)=Q(X)……0(模2除)35*校驗原理：--設(shè)接收的CRC碼=M’(X)·Xk+R’(X)①用接收的CRC碼模2除以G(X)，求得余數(shù)R”(X)；②若R”(X)=0，表示M’(X)正確；否則，R”(X)可表明出錯位置循環(huán)碼[與M’(X)無關(guān)]M’(X)串行移位不同值表示錯誤位置不同(不是錯誤位置)糾錯成本低(避免了海明校驗碼的譯碼器電路)適用于串行設(shè)備28R”(X)具有的特性：第i位錯誤時為R”i(X)，第i+1位錯誤時為R”i+1(X)，有[

R”i(X)·X]/G(X)=…R”i+1(X)第i+2位錯誤時為R”i+2(X)，有[R”i+1(X)·X]/G(X)=…R”i+2(X)

……

…………最低位有錯時校正36

例8—續(xù)例7，CRC碼1位錯誤時的余數(shù)特性如下表：A1A2A3A4A5

A6

A7出錯位置余數(shù)R”(X)R”(X)特性m’4…m’1r’3…r’11100010無0001100011A70011100000A6010

0010/1011=…0101100110A5100

0100/1011=…1001101010A40111000/1011=…0111110010A31100110/1011=…1101000010A21111100/1011=…1110100010A11011110/1011=…101循環(huán)次數(shù)操作A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7余數(shù)錯誤位置0CRC/G(X)1101010011A41M’(X)<<1、[R”(X)<<1]/G(X)101010*110A32M’(X)<<1、[R”(X)<<1]/G(X)01010**111A23M’(X)<<1、[R”(X)<<1]/G(X)1010***101A1M’(X)最高位糾錯、M’(X)<<10010***000無

例9—續(xù)例8，CRC糾正1位錯時的原理如下表：(共循環(huán)4次)3437*對G(X)選擇的要求：①發(fā)生校驗?zāi)芰Ψ秶鷥?nèi)錯誤時，使R”(X)均不為零；②發(fā)生不同位置錯誤時，使R”(X)應(yīng)該均不同；③連續(xù)作R”(X)補0并模2除時，使新R”(X)是循環(huán)變化的*常用的G(X)：

CRC-CCITT：G(X)=X16+X12+X5+1CRC-16:G(X)=X16+X15+X2+1CRC-12:G(X)=X12+X11+X3+X2+X+1CRC-32:G(X)=X32+X26+X23+X16+X12+X11+X10+X8+X7

+X5+X4+X2+X+1*校驗?zāi)芰Γ篊RC碼檢測及糾正錯誤的能力隨n及G(X)而不同；

CRC碼檢錯能力較強、糾錯能力較弱*應(yīng)用：廣泛應(yīng)用于MEM傳送、網(wǎng)絡(luò)通信等方面38§2.2數(shù)據(jù)的表示

計算機用編碼表示數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)數(shù)值數(shù)據(jù)非數(shù)值數(shù)據(jù)邏輯數(shù)

字符(串)

--含漢字圖形其它

--聲音、圖像等無符號數(shù)

--自然數(shù)有符號數(shù)

--整數(shù)、純小數(shù)、實數(shù)等

計算機只支持最常用(最基本)的數(shù)據(jù)類型：

數(shù)據(jù)類型—一個值的集合、在這個值集上的一組操作

數(shù)據(jù)表示—計算機硬件能夠直接識別和引用的數(shù)據(jù)類型類型轉(zhuǎn)換—程序員及編譯程序完成應(yīng)用→表示的變換程序員應(yīng)用需要的數(shù)據(jù)類型編程語言支持的數(shù)據(jù)類型硬件支持的數(shù)據(jù)類型編譯程序如整數(shù)39一、數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法2、馮·諾依曼計算機的硬件特征

①采用二進制表示指令和數(shù)據(jù)，采用二進制運算②二進制中只有0和1，無法顯式表示符號和小數(shù)點

③機器字長固定，CPU采用定長方式處理1、數(shù)值數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)特征

①進制可有多種②符號為“+”或“-”，符號可以缺?、坌?shù)點為“.”

，位置可任意變化，點可隱含表示④數(shù)碼長度可任意變化

⑤運算不會產(chǎn)生溢出運算會產(chǎn)生溢出！40*進制問題處理：*符號問題處理：有符號數(shù)—

無符號數(shù)—*小數(shù)點問題處理：

①點的表示—②位置表示—*編碼格式選擇：*數(shù)碼長度問題處理：①同一數(shù)據(jù)類型—

②同一操作集數(shù)據(jù)—3、數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法支持二進制，可支持二-十進制符號用數(shù)字表示，符號位置為數(shù)值適于數(shù)據(jù)通常存儲、I/O時用隱含方式表示約定不同數(shù)據(jù)類型采用不同格式自然數(shù)、整數(shù)純小數(shù)實數(shù)隱含于最低位之后隱含于最高位之前純小數(shù)尾數(shù)+整數(shù)指數(shù)定點格式

浮點格式便于硬件實現(xiàn)運算的某種編碼值集+操作集只有一種長度(固定)

←定長處理常有幾種長度(數(shù)據(jù)類型)←如整數(shù)41*運算問題處理：

①運算類型—指令操作碼指明運算類型及數(shù)據(jù)表示(類型)

數(shù)值數(shù)據(jù)的處理方法：含數(shù)據(jù)的表示和數(shù)據(jù)的操作方法

②運算方法—按數(shù)據(jù)表示(格式/編碼/長度)實現(xiàn)相應(yīng)運算③溢出處理—硬件檢測/發(fā)出通知，軟件是否/如何處理39MEM中信息無法表明類型定點與浮點表示機器數(shù)編碼方法表示格式(小數(shù)點表示)編碼方式(符號及數(shù)值表示)數(shù)碼長度(數(shù)值范圍表示)數(shù)據(jù)的表示數(shù)據(jù)的操作數(shù)據(jù)處理運算方式溢出處理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定組成邏輯實現(xiàn)42二、數(shù)的定點表示1、定點表示方法指約定數(shù)據(jù)中隱含的小數(shù)點位置固定不變*定點數(shù)的表示范圍：

(設(shè)數(shù)碼長度為n位)類型編碼自然數(shù)(無符號)整數(shù)(有符號)純小數(shù)(有符號)原碼-(2n-1-1)～+(2n-1-1)-(1-2-(n-1))～+(1-2-(n-1))補碼

-2n-1～+(2n-1-1)-1～+(1-2-(n-1))無符號編碼0～2n-1*定點表示格式：2、定點數(shù)的表示

無符號整數(shù)有符號整數(shù)純小數(shù)Sn-1

Sn-2

…

S0Sf

Sn-2

…

S0Sf

S-1…S-(n-1)數(shù)值數(shù)符數(shù)值數(shù)符數(shù)值用于表示字符(char,BYTE)43

*硬件支持的定點數(shù)表示：無符號整數(shù)--無符號編碼方式、m種長度←m種數(shù)據(jù)表示有符號整數(shù)—某種編碼方式、m種長度←m種數(shù)據(jù)表示補碼概率≈100%默認為補碼方式

示例1—C語言中的6種整數(shù)類型：short[int]unsignedshort[int]

intunsignedintlong[int]unsignedlong[int]※說明：純小數(shù)通常表示為浮點數(shù)

←減少硬件成本

示例2—IA32支持的6種定點數(shù)表示：

8/16/32bit、無符號編碼的定點整數(shù)，

8/16/32bit、補碼編碼的定點整數(shù)44三、數(shù)的浮點表示1、浮點表示方法指約定數(shù)據(jù)中隱含的小數(shù)點位置是可變的

表示—尾數(shù)用定點純小數(shù)表示，階用定點純整數(shù)表示*浮點表示格式：由定點格式的尾數(shù)和階組成

格式—1SE

ESM

M階符階值數(shù)符尾數(shù)值1em或SE

EMSM

概念：尾數(shù)--±M，階(指數(shù))—±E，尾數(shù)的基—RM，階的基—RE45*浮點數(shù)的表示范圍與精度：

假設(shè)尾數(shù)及階的基RM=RE=2，數(shù)值長度分別為m位及e位2、浮點數(shù)的表示下溢區(qū)正上溢區(qū)(+∞)負上溢區(qū)(-∞)負數(shù)區(qū)機器零絕對零N正min正數(shù)區(qū)N負maxN正maxN負min

例1—若浮點表示格式中m＝10、e＝4，尾數(shù)及階的編碼均為補碼方式，寫出(-54)10的機器碼

解：(-54)10=(-110110)2=-0.11011×2+110，

浮點數(shù)機器碼為0011010010100000

影響因素—e決定范圍、m決定精度46

例2—若浮點表示格式中尾數(shù)為8位(含1位符號位)、階為5位(含1位符號位)，寫出下列實數(shù)的浮點數(shù)或機器碼編碼格式實數(shù)浮點數(shù)浮點數(shù)的表示階尾數(shù)階碼尾數(shù)碼原碼原碼+10101.11+0.1010111×2+1010010101010111-0.0010111-0.1011100×2-10+0.1010111×2+110101101010101111011011011010移碼補碼+0.0010111+0.1011100×2-10-10101.11-0.1010111×2+101001010101110011101111010002010010

1101110001110

0101110010101

10101001-0.1011010×2-110+0.1011100×2-1011-0.0011000×2+1101

*硬件支持的浮點數(shù)表示：實數(shù)(及純小數(shù))—IEEE754標準，有2種浮點格式

示例—C語言中的2種浮點數(shù)類型：float，double473、浮點數(shù)的規(guī)格化*目的：對給定的浮點表示格式，使浮點數(shù)的表示精度最大

例3—若浮點表示格式中m＝3、e＝3、尾數(shù)和階均為原碼編碼方式，不同表示方法的浮點數(shù)精度不同：

+111.1=0.1111×23=0.01111×24=0.001111×25*規(guī)格化數(shù)的要求：尾數(shù)真值的最高位為1，即

≤|M|＜1*規(guī)格化的操作：左規(guī)—尾數(shù)左移一位，階碼減一

右規(guī)—尾數(shù)右移一位，階碼加一

應(yīng)用—非規(guī)格化數(shù)→規(guī)格化數(shù)，可能需多次規(guī)格化操作45001101110100001101010001表示的值111.0110.0100.048

例4—若浮點數(shù)尾數(shù)及階的基均為2，回答下列問題：非規(guī)格化浮點數(shù)+1.0111×2+010-0.00010×2+010+1011.1×2+010規(guī)格化操作右規(guī)1次規(guī)格化浮點數(shù)+0.10111×2+011編碼格式規(guī)格化數(shù)的機器碼最大正數(shù)最小正數(shù)最大負數(shù)最小負數(shù)階尾數(shù)階尾數(shù)階尾數(shù)階尾數(shù)階尾數(shù)原碼原碼01110111111111010000移碼補碼011111010000*規(guī)格化數(shù)的表示范圍及數(shù)碼特征：

原碼尾數(shù)—最高數(shù)值位為1

補碼尾數(shù)—最高數(shù)值位與符號相反

←便于硬件實現(xiàn)-1.00…00真值補碼100…00-0.11…11-0.10…01-0.10…00-0.01…11-0.00…01100…01101…11110…00110…01111…11…………左規(guī)3次-0.10000×2-001右規(guī)4次+0.10111×2+1101111

0000111111000001111111110000

1111101111

10000045494、IEEE754標準*表示格式(及數(shù)碼長度)：有單精度、雙精度兩種格式(長度分別為32位及64位)*編碼方式：

①數(shù)制—M和E均采用二進制方式(即RM=RE=2)2381單精度浮點表示格式數(shù)符S階E尾數(shù)M3252111雙精度浮點表示格式數(shù)符S階E尾數(shù)M64②碼制—M為原碼編碼的定點純小數(shù)(改進了定點位置)，

E為移碼編碼的定點整數(shù)(改進了偏移值)50*階的碼制：采用余127碼和余1023碼余X碼—偏移值為X的移碼標準移碼：真值=E-28-1=E-128

←可稱余128碼余127碼：真值=E-(28-1-1)=E-127*尾數(shù)的碼制：

(以單精度格式為例)

支持非規(guī)格化尾數(shù)、規(guī)格化尾數(shù)兩種方式

規(guī)格化尾數(shù)—尾數(shù)真值=±1.m-2…m-24，

M表示=m-2…m-24，尾數(shù)精度＝24位

階的范圍—1≤E≤254表示規(guī)格化數(shù)，-126≤階≤+127

E=0和255另作他用(如表示非規(guī)格化數(shù))

非規(guī)格化尾數(shù)—尾數(shù)真值=±0.m-1…m-23，

M表示=m-1…m-23，尾數(shù)精度≤23位階＜-126擴展0.1m-2…m-2351*IEEE754標準浮點表示的特征：(以單精度格式為例)參數(shù)值真值N說明E=0，且M=0N=0機器零(下溢區(qū))E=0，且M≠0N=(-1)S×2-126×0.M非規(guī)格化數(shù)1≤E≤254N=(-1)S×2E

-127×1.M規(guī)格化數(shù)E=255，且M≠0N=NaN為非數(shù)值E=255，且M=0N=(-1)S×∞±無窮大(上溢區(qū))

說明：①可明確表示機器零、無窮大；②非規(guī)格化數(shù)可減少下溢區(qū)間大小(精度損失)；③非數(shù)值用于表示異常(如0/0、負數(shù)開根等)正非規(guī)格化數(shù)區(qū)域機器零0.0+0.0…01×2-126+0.1…1×2-126+1.0…0×2-126正規(guī)格化數(shù)區(qū)域略+1.1…1×2+127下溢區(qū)正上溢區(qū)52

例6—求IEEE

754單精度碼為(CC968000)16的浮點數(shù)的真值N

例5—求(-11/128)10的IEEE754單精度規(guī)格化數(shù)的機器碼

解—(-11/128)10

=(

-1011)2×2-7

=(-0.1011)2×2-3

=(-1.011)2×2-4=(-1.011)2×2123-127

解—(CC968000)16=1

10011001

00101101000000000000000N為負數(shù)，浮點數(shù)為規(guī)格化數(shù)(∵1＜10011001＜254)；10111

10110110

0000

0000

0000

0000

000

機器碼為：

階=(10011001)2－(01111111)2

=(00011010)2=(26)10

尾數(shù)=(1.00101101)2

=(1.17578125)10∴N=(―1)1×1.17578125×226=-1.17578125×226

數(shù)值數(shù)據(jù)的表示：表示格式、編碼方式、數(shù)碼長度

(定點/浮點)

(某種)(幾種)494153四、非數(shù)值數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)表示

MEM的訪問/存儲效率：

數(shù)據(jù)訪問效率—指令中1個MEM地址應(yīng)對應(yīng)多個數(shù)據(jù)位

存儲單元長度(MEM字長)的特征：

MEM字長取值—為2n位(n為常數(shù))←便于數(shù)據(jù)長度運算(二進制)MEM字長方案—有二進制位、機器字長、折中長度3種

數(shù)據(jù)存儲效率—短數(shù)據(jù)占1個單元，長數(shù)據(jù)占多個單元0000H0001H…地址數(shù)據(jù)(1位)01…0000H0001H…0000100010001111…地址數(shù)據(jù)(8位)0000H0001H…00001000111100000000000010001111…地址數(shù)據(jù)(設(shè)int為16位)通常MEM字長＝折中長度(如字節(jié))541、字符數(shù)據(jù)的表示指字符的交換碼在存儲/處理時的編碼方式，即字符的內(nèi)碼*數(shù)據(jù)的表示方法：表示格式—

數(shù)碼長度—n=kW，W為MEM字長，k受限于字符集大小m

Cm-1

Cm-2…C1

C0

Kp-1…

K0p擴展位字符交換碼n

例1—常見字符交換碼的表示：(假設(shè)MEM按字節(jié)編址)字符集種類交換碼長度內(nèi)碼長度占地址數(shù)ASCII碼78位=7+11個Unicode碼1616位=16+02個GB2312-80碼1416位=14+22個

編碼方式—無符號編碼(二進制)*擴展位的作用：用于填滿數(shù)據(jù)位、或區(qū)分不同字符集55*數(shù)據(jù)的運算及處理方法：

基本運算—關(guān)系運算(如A＝B、A≥B等，結(jié)果為真/假)

字符串數(shù)據(jù)的表示：硬件—通常只支持字符數(shù)據(jù)的表示與運算軟件—將字符串轉(zhuǎn)換為字符進行存儲及處理└→字符數(shù)組+特殊字符(字符串結(jié)束符)

處理方法—可用減法運算＋邏輯運算代替關(guān)系運算關(guān)系運算A≥BA≤BA＞BA＜BA＝B實現(xiàn)減法運算