點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離-(人教A版2019選擇性-必修第一冊)

高中數學

人教A版（2019）

選擇性必修第一冊第二章

直線和圓的方程2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離

教材分析本小節(jié)內容選自《普通高中數學選擇性必修第一冊》人教A版（2019）第二章《直線和圓的方程》的第三節(jié)《直線的交點坐標與距離公式》。以下是本單元的課時安排：第二章直線和圓的方程課時內容2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程2.3直線的交點坐標與距離公式所在位置教材第51頁教材第59頁教材第70頁新教材內容分析直線的傾斜角與斜率從初中所學“兩點確定一條直線”出發(fā)，引起學生對平面直角坐標系中的直線的幾何要素的確定，是今后學習直線方程的必備知識。在推導直線方程的點斜式時，根據直線這一結論，先猜想確定一條直線的條件，再根據猜想得到的條件求出直線的方程.充分體現(xiàn)坐標法建立方程的一般思路，為后續(xù)學習圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎.圍繞兩直線一般方程的系數的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點.“點到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計算，為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎，具有承前啟后的重要作用．核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過直線的傾斜角和斜率的求解，通過例題直線平行與垂直的判定，發(fā)展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養(yǎng)。通過直線方程的求法，發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)。通過直線交點的求法，距離公式的應用，發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)。教學主線直線方程的應用學習目標

1.會用向量工具推導點到直線的距離公式，理解兩條平行線間的距離公式的推導，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。.2.掌握點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離，能應用點到直線距離公式解決有關距離問題，提升數學運算的核心素養(yǎng).3.通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養(yǎng)學生運用等價轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).重點、難點重點：點到直線的距離公式的推導思路分析；

點到直線的距離公式的應用．

理解和掌握兩條平行線間的距離公式難點：應用距離公式解決綜合問題（一）新知導入

【問題1】在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?【問題2】立定跳遠測量的是什么距離？A.兩平行線的距離B.點到直線的距離C.點到點的距離（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆知識點1點到直線的距離【探究1】1．如圖，什么是平面上點P到直線l的距離？【提示】點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足．2．如上圖，設點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐標？如何求|PQ|的長？

（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離

（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離5．根據問題3,4的內容，你能得出|PQ|的長嗎？

（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆點到直線的距離(1)概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離．(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離d＝

.【點睛】(1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(2)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.（3）點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值。

D

（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆知識點2兩條平行直線間的距離【探究2】1．兩條平行直線間的距離是指什么線段的長？【提示】兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．2．直線l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三點，直線l2：x＋y－2＝0與直線l1平行，那么點A、B、C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？

3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同時為0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推導出l1與l2間的距離公式？

（二）點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆兩條平行直線間的距離：(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．(2)求法：兩條平行直線間的距離轉化為點到直線的距離．(3)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝

.

C-6或2

兩直線方程中x，y的系數對應相等.（三）典型例題1.點到直線距離公式的應用例1.求點P0(－1,2)到下列直線的距離：

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.

（三）典型例題例2.求過點M(－2,1)且與A(－1,2)，B(3,0)兩點距離相等的直線方程．

（三）典型例題【類題通法】1.在使用點到直線的距離公式時，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解．2.在已知點到直線的距離求參數時，只需根據公式列方程求解參數即可．【鞏固練習1】1.若點M(－2,1)到直線x＋2y＋C＝0的距離為1，則C的值為______．

（三）典型例題2.兩條平行直線間的距離【例3】已知直線l與直線3x＋4y－1＝0平行，且兩直線間的距離為4，則直線l的方程為________．

（三）典型例題

（三）典型例題【鞏固練習2】直線l1過點A(0,1)，l2過點B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．

若直線l1，l2的斜率不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝5，它們之間的距離為5，滿足條件．則滿足條件的直線方程有以下兩組：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.（三）典型例題3.對稱問題例4.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：（1）點A關于直線l的對稱點A′的坐標；（2）直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；

（三）典型例題

（三）典型例題

（三）典型例題

（三）典型例題4.最值問題例5.兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．

（三）典型例題

【類題通法】數形結合、運動變化的思想和方法是數學中常用的思想方法．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．例如，當一條直線過定點A時，點B到這條直線l的距離d也是當l⊥AB時最大，l過B點時，最小為零．（四）操作演練

素養(yǎng)提升

答案：1.A

2.C

3.C

4.C（五）課堂小結知識總結學生反思（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？

（2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？作業(yè)布置完成教材——第77頁練習第1，