2012年高考數(shù)學試卷（理）（福建）（解析卷）

第頁|共頁本套試題從新課標的新理念出發(fā)，展現(xiàn)了新課程新考綱的新觀念.考點覆蓋全面，考查知識方法的同時考查能力、思想和方法，沒有忘記創(chuàng)新，特別是第15、17題.第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出分四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.若復數(shù)z滿足zi=1-i，則z等于A.-1-iB.1-iC.-1+iD.1=i2.等差數(shù)列{an}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為A.1B.2C.3D.4【解析】【答案】B【考點定位】該題主要考查等差數(shù)列的通項公式，考查計算求解能力.3.下列命題中，真命題是A.B.C.a+b=0的充要條件是=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分條件4.一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圓柱【解析】分別比較A,B,C的三視圖不符合條件，D符合.【答案】D【考點定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖，考查空間想象能力、邏輯推理能力.5.下列不等式一定成立的是A.B.C.D.6.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為B.C.D.【解析】【答案】C【考點定位】本題主要考查幾何概型的概率和定積分，考查推理能力、計算求解能力.7.設函數(shù)則下列結論錯誤的是A.D（x）的值域為{0,1}B.D（x）是偶函數(shù)C.D（x）不是周期函數(shù)D.D（x）不是單調函數(shù)8.已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A.B.C.3D.59.若直線y=2x上存在點（x，y）滿足約束條件，則實數(shù)m的最大值為A.-1B.1C.D.210.函數(shù)f（x）在[a,b]上有定義，若對任意x1，x2∈[a,b]，有則稱f（x）在[a,b]上具有性質P.設f（x）在[1,3]上具有性質P，現(xiàn)給出如下命題：①f（x）在[1,3]上的圖像是連續(xù)不斷的；②f（x）在[1,]上具有性質P；③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1,3]；④對任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有其中真命題的序號是①②B.①③C.②④D.③④第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置。11.（a+x）4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實數(shù)a=_________【解析】【答案】2【考點定位】該題主要考查二項式定理、二項式定理的項與系數(shù)的關系，考查計算求解能力.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應地程序，輸出的s值等于_________________已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.【解析】【答案】【考點定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù)、等比數(shù)列的概念、余弦定理，考查分析推理能力、運算求解能力.數(shù)列{an}的通項公式，前n項和為Sn，則S2012=___________【解析】【答案】3018【考點定位】本題主要考察數(shù)列的項、前n項和，考查數(shù)列求和能力.此類問題關鍵是并項求和.15.對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_________________三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分13分）受轎車在保修期內維修費等因素的影響，企業(yè)產生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時間x（年）轎車數(shù)量（輛）2345545每輛利潤（萬元）1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：（I）從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率；(II)若該廠生產的轎車均能售出，記住生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；（III）該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產其中一種品牌轎車，若從經濟效益的角度考慮，你認為應該產生哪種品牌的轎車？說明理由17（本小題滿分13分）某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)Ⅱ根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論18.（本小題滿分13分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長19.（本小題滿分13分）如圖，橢圓E：的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8（Ⅰ）求橢圓E的方程。（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相較于點Q。試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P21.本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號右邊的方框圖黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換設曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣對應的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1。（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值（Ⅱ）求A2的逆矩陣（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系。已知直線l上兩點M