第6章MATLAB的符號運算教學(xué)教案

第六章MATLAB符號計算及工具箱電子科技大學(xué)

王洪

MathWorks公司在1993年收購了主要針對符號計算的MAPLIEV軟件的使用，以MAPLIE內(nèi)核為符號計算的引擎，開發(fā)了符號數(shù)學(xué)工具箱（SymbolicMathToolbox）。MAPLIE占據(jù)符號軟件的主導(dǎo)地位，符號運算工具包通過調(diào)用Maple軟件實現(xiàn)符號計算的。在符號計算中，參與運算的是符號變量而不是數(shù)值，使用字符串進(jìn)行分析。數(shù)值運算中必須先對變量賦值，然后才能參與運算。符號運算無須事先對獨立變量賦值，運算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)，可以獲得任意精度的解。

MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱包括基本符號數(shù)學(xué)工具箱和擴展數(shù)學(xué)工具箱。符號數(shù)學(xué)工具箱有三個通道與MAPLIE交換信息：基本符號數(shù)學(xué)工具箱、專門的M文件和函數(shù)計算器。符號常量、符號變量、符號表達(dá)式、符號矩陣的創(chuàng)建符號表達(dá)式的代數(shù)運算符號表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換符號極限、符號微分、符號積分、符號級數(shù)符號積分變換§6.1符號表達(dá)式的建立1.創(chuàng)建符號常量符號常量是不含變量的符號表達(dá)式。語法：

sym(‘常量’) %創(chuàng)建符號常量

例如，創(chuàng)建符號常量，這種方式是絕對準(zhǔn)確的符號數(shù)值表示：

>>a=sym('sin(2)')a=sin(2)sym命令也可以把數(shù)值轉(zhuǎn)換成某種格式的符號常量語法：sym(常量,參數(shù))%把常量按某種格式轉(zhuǎn)換為符號常量

參數(shù)作用d返回最接近的十進(jìn)制數(shù)值(默認(rèn)位數(shù)為32位)f返回該符號值最接近的浮點表示r返回該符號值最接近的有理數(shù)型(為系統(tǒng)默認(rèn)方式)，可表示為p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一e返回最接近的帶有機器浮點誤差的有理值2.創(chuàng)建符號變量和符號表達(dá)式S=sym(arg)從表達(dá)式arg創(chuàng)建一個sys對象S，如果arg是數(shù)值標(biāo)量或矩陣，應(yīng)當(dāng)作數(shù)值對應(yīng)的符號。x=sym(‘x‘)建立符號變量x，其值為單引號內(nèi)的內(nèi)容。x=sym(‘x‘,’real’)設(shè)定符號變量為實型變量。x=sym(‘x‘,’unreal’)取消符號變量的實型屬性，成為純粹的形式變量。sym(‘表達(dá)式’)例：f1=sym('a*x^2+b*x+c')

3.定義多個符號變量symsarg1arg2...symsarg1arg2...realsymsarg1arg2...unrealsymsarg1arg2...isshort-handnotationforarg1=sym('arg1');arg2=sym('arg2');...symsarg1arg2...realisshort-handnotationforarg1=sym('arg1','real');arg2=sym('arg2','real');...4.創(chuàng)建符號矩陣用sys命令：矩陣元素是不帶等號的符號表達(dá)式，矩陣元素長度可以不同。例：A=sym('[4+xx^2x;x^35*x-3x*a]')或先創(chuàng)建符號變量symsxaA=[4+xx^2x;x^35*x-3x*a]結(jié)果：A=[4+x,x^2,x][x^3,5*x-3,x*a]5.數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣數(shù)值變量與符號變量不能進(jìn)行運算，需要將數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣，數(shù)值矩陣中的小數(shù)按最近的有理數(shù)轉(zhuǎn)化。例：A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5]A=0.33332.50001.42860.4000sym(A)ans=[1/3,5/2][10/7,2/5]6.將符號矩陣轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣函數(shù)調(diào)用格式：double(A)numeric(A)A=[1/3,5/2][10/7,2/5]numeric(A)ans=0.33332.50001.42860.4000三種數(shù)據(jù)類型之間的轉(zhuǎn)換：MATLAB有三種數(shù)值型、字符型和符號型，優(yōu)先級符號型最高，混合運算時將自動轉(zhuǎn)換為高級數(shù)據(jù)類型。轉(zhuǎn)換指令：1）轉(zhuǎn)化為符號型：S=sym(f);2)轉(zhuǎn)化為字符變量：S=int2str(x)整數(shù)轉(zhuǎn)化為字符變量，x為有理數(shù)先四舍五入，x為虛數(shù)，只轉(zhuǎn)化實部。S=num2str(x)普通數(shù)值類型轉(zhuǎn)化為字符變量。3）轉(zhuǎn)化為數(shù)值型：X=double(s);X=numeric(s);X=srt2num(s):字符型轉(zhuǎn)化為數(shù)值型，若s中含有非字符型變量，返回空矩陣。7符號表達(dá)式或矩陣的修改1)重新賦值。2)指令修改用A1=subs(A,‘old’,‘new’)來修改。

用‘new’置換符號表達(dá)式A中的’old’得到新的符號表達(dá)式A1。例：symsab;

A=[a,2*b;3*a,0]A(2,2)=4*bA=[a,2*b][3*a,4*b]A2=subs(A1,‘b',‘c')A2=[a,2*(c)][3*a,4*(c)] 新版MATLAB采用了重載技術(shù)，使得符號運算的算符和基本函數(shù)與數(shù)值運算中的算符和基本函數(shù)幾乎完全相同。所以符號運算操作指令都比較直觀、簡單。

例1：f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7;symsx

f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7;

h=f+gh=3*x^2+4*x-12

§6.2符號矩陣的基本運算例2：f=cos(x);g=sin(2*x);symsxf=cos(x);g=sin(2*x);f/g+f*gans=cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x)

符號運算中的運算符（2）關(guān)系運算符在符號對象的比較中，沒有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，只有“等于”和“不等于”的概念。“＝＝”和“～＝”(1)基本運算符運算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。運算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分別實現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。運算符“′”，“.′”分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、非共軛轉(zhuǎn)置。(1)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)包括sin、cos、tan；雙曲函數(shù)包括sinh、cosh、tanh；三角反函數(shù)除了atan2函數(shù)僅能用于數(shù)值計算外，其余的asin、acos、atan函數(shù)在符號運算中與數(shù)值計算的使用方法相同。(2)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)sqrt、exp、expm的使用方法與數(shù)值計算的完全相同；對數(shù)函數(shù)在符號計算中只有自然對數(shù)log(表示ln)，而沒有數(shù)值計算中的log2和log10。(3)復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)的共軛conj、求實部real、求虛部imag和求模abs函數(shù)與數(shù)值計算中的使用方法相同。但沒有提供求相角的命令。(4)矩陣代數(shù)命令常用矩陣代數(shù)命令有diag，triu，tril，inv，det，rank，poly，expm，eig等，用法幾乎與數(shù)值計算中的情況完全一樣。函數(shù)運算§6.3符號表達(dá)式的操作和轉(zhuǎn)換小寫字母i和j不能作為自由變量。符號表達(dá)式中如果有多個字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。大寫字母比所有的小寫字母都靠后。1.自由變量的確定語法： findsym(EXPR,n) %確定自由符號變量說明：EXPR可以是符號表達(dá)式或符號矩陣；n為按順序得出符號變量的個數(shù)，當(dāng)n省略時，則不按順序得出EXPR中所有的符號變量。2.findsym函數(shù)f=sym('a*x^2+b*x+c')f=a*x^2+b*x+cfindsym(f) %得出所有的符號變量ans=a,b,c,x3.符號表達(dá)式的化簡多項式形式的表達(dá)方式：f(x)=x3+6x2+11x-6因式形式的表達(dá)方式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)嵌套形式的表達(dá)方式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6

(1)pretty函數(shù)給出排版形式的輸出結(jié)果(2)collect函數(shù)對符號變量合并同類項，多個符號變量，可以指定按某個符號變量合并同類項。(3)expand函數(shù)將符號表達(dá)式展開成多項式形式。(4)honer函數(shù)將符號表達(dá)式寫成嵌套形式。(5)factor函數(shù)將符號表達(dá)式寫成因式的形式。(6)simplify函數(shù)利用各種恒等式對符號表達(dá)式化簡。(7)simple函數(shù)給出多種化簡形式。f=sym('x^3-6*x^2+11*x-6') %多項式形式

f=x^3-6*x^2+11*x-6g=sym('(x-1)*(x-2)*(x-3)') %因式形式

g=(x-1)*(x-2)*(x-3)h=sym('x*(x*(x-6)+11)-6') %嵌套形式

h=x*(x*(x-6)+11)-6給出多種化簡形式。例：演示上述函數(shù)功能。4.求反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)（1）求反函數(shù)finverse(f,v)%對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)說明：當(dāng)v省略，則對默認(rèn)的自由符號變量求反函數(shù)例：求tex的反函數(shù)。f=sym('t*e^x') %原函數(shù)

f=t*e^xg=finverse(f) %對默認(rèn)自由變量求反函數(shù)

g=log(x/t)/log(e)g=finverse(f,'t') %對t求反函數(shù)

g=t/(e^x)（2）求復(fù)合函數(shù)compose(f,g)%求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(y))compose(f,g,’z’)%求f(x)和g(y)的復(fù)合函數(shù)f(g(z))例:計算tex與ay2+by+c的復(fù)合函數(shù)。f=sym('t*e^x'); %創(chuàng)建符號表達(dá)式g=sym('a*y^2+b*y+c'); %創(chuàng)建符號表達(dá)式h1=compose(f,g) %計算f(g(x))

h1=t*e^(a*y^2+b*y+c)

h2=compose(g,f) %計算g(f(x))

h2=a*t^2*(e^x)^2+b*t*e^x+ch3=compose(f,g,'z') %計算f(g(z))

h3=t*e^(a*z^2+b*z+c)（3）提取分子和分母

如果符號表達(dá)式是一個有理分式(兩個多項式之比)，可以利用numden函數(shù)來提取分子或分母，還可以進(jìn)行通分。語法： [n,d]=numden(f)說明：n為分子；d為分母；f為有理分式。例：用numden函數(shù)來提取符號表達(dá)式和f1=sym('1/(s^2+3*s+2)')

f2=sym('1/s^2+3*s+2')

[n1,d1]=numden(f1)

[n2,d2]=numden(f2)

§6.4符號極限、微積分和級數(shù)求和表達(dá)式函數(shù)格式說明limt(f)對x求趨近于0的極限

limt(f,x,a)對x求趨近于a的極限，當(dāng)左右極限不相等時極限不存在。limt(f,x,a,left)對x求左趨近于a的極限

limt(f,x,a,right)對x求右趨近于a的極限1.符號極限例：分別求1/x在0處從兩邊趨近、從左邊趨近和從右邊趨近的三個極限值。f=sym('1/x')

f=1/xlimit(f) %對x求趨近于0的極限

ans=NaNlimit(f,'x',0) %對x求趨近于0的極限

ans=NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趨近于0

ans=-inflimit(f,'x',0,'right') %右趨近于0

ans=inf2.符號微分 diff(f) %求f對自由變量的一階微分 diff(f,t) %求f對符號變量t的一階微分 diff(f,n) %求f對自由變量的n階微分 diff(f,t,n) %求f對符號變量t的n階微分例：已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。f=sym('a*x^2+b*x+c')

f=a*x^2+b*x+cdiff(f) %對默認(rèn)自由變量x求一階微分

ans=2*a*x+bdiff(f,'a') %對符號變量a求一階微分

ans=x^2diff(f,'x',2)%對符號變量x求二階微分

3.符號積分int(f,’t’) %求符號變量t的不定積分int(f,’t’,a,b) %求符號變量t的積分int(f,’t’,’m’,’n’) %求符號變量t的積分

。f=sym('cos(x)');int(f) %求不定積分

ans=sin(x)int(f,0,pi/3)%求定積分

ans=1/2*3^(1/2)int(f,'a','b') %求定積分

ans=sin(b)-sin(a)int(int(f)) %求多重積分

ans=-cos(x)3.級數(shù)求和

symsum(s,x,a,b) %計算表達(dá)式s的級數(shù)和說明：x為自變量，x省略則默認(rèn)為對自由變量求和；s為符號表達(dá)式；[a,b]為參數(shù)x的取值范圍。symsxks1=symsum(1/k^2,1,10) %計算級數(shù)的前10項和s1=1968329/1270080s2=symsum(1/k^2,1,inf) %計算級數(shù)和

s2=1/6*pi^2s3=symsum(x^k,'k',0,inf) %計算對k為自變量的級數(shù)和

s3=-1/(x-1)4.泰勒級數(shù)展開taylor(F,x,n) %求泰勒級數(shù)展開說明：x為自變量，F(xiàn)為符號表達(dá)式；對F進(jìn)行泰勒級數(shù)展開至n項，參數(shù)n省略則默認(rèn)展開前5項symsxs1=taylor(exp(x),8) %展開前8項

s2=taylor(exp(x)) %默認(rèn)展開前5項

泰勒級數(shù)展開