《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-專題講座六-圖表信息類問(wèn)題

專題講座六圖表信息類問(wèn)題所謂圖表信息類問(wèn)題，就是依據(jù)實(shí)際問(wèn)題中所呈現(xiàn)出來(lái)的圖象、圖表信息，要求考生依據(jù)這些給出的信息通過(guò)整理、分析、加工等手段解決的一類問(wèn)題，主要考查同學(xué)們識(shí)圖看表的力氣以及處理信息的力氣．解答這類試題的關(guān)鍵是對(duì)圖表信息認(rèn)真分析、合理利用，依據(jù)題意要求，精確?????地輸出信息．圖表信息與推理合情推理是歸納推理與類比推理的統(tǒng)稱，具有猜想和發(fā)覺(jué)結(jié)論、探究和供應(yīng)思路的作用．其實(shí)質(zhì)是“發(fā)覺(jué)”，它是進(jìn)展我們創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑，隨著課程改革的推動(dòng)，近幾年的高考題對(duì)利用圖表信息進(jìn)行合情推理的考查有所加強(qiáng)．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的挨次排成一列，得到一個(gè)數(shù)列{an}，若an＝2015，則n＝________．[解析]圖乙中第k行有k個(gè)數(shù)，第k行最終一個(gè)數(shù)為k2，前k行共有eq\f(k（k＋1）,2)個(gè)數(shù)，由44×44＝1936，45×45＝2025知an＝2015毀滅在第45行，第45行第一個(gè)數(shù)為1937，第eq\f(2015－1937,2)＋1＝40(個(gè))數(shù)為2015.所以n＝eq\f(44（44＋1）,2)＋40＝1030.[答案]1030[規(guī)律方法]本題考查歸納推理．歸納推理是通過(guò)對(duì)特例的分析來(lái)引出普遍結(jié)論的一種推理形式，像本題這樣通過(guò)觀看、試驗(yàn)、思考，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，乃是科學(xué)發(fā)覺(jué)的最基本的方法之一．圖表信息與統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)這一章毀滅了很多圖與表，如頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖、隨機(jī)數(shù)表、頻率分布表等．(2021·東北三校其次次聯(lián)考)某個(gè)團(tuán)購(gòu)網(wǎng)站為了更好地滿足消費(fèi)者，對(duì)在其網(wǎng)站發(fā)布的團(tuán)購(gòu)產(chǎn)品開(kāi)放了用戶調(diào)查，每個(gè)用戶在使用了團(tuán)購(gòu)產(chǎn)品后可以對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行打分，最高分是10分．上個(gè)月該網(wǎng)站共賣出了100份團(tuán)購(gòu)產(chǎn)品，全部用戶打分的平均分作為該產(chǎn)品的參考分值，將這些產(chǎn)品依據(jù)得分分成以下幾組：第一組[0，2)，其次組[2，4)，第三組[4，6)，第四組[6，8)，第五組[8，10]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求第三、四、五組的頻率；(2)該網(wǎng)站在得分較高的第三、四、五組中用分層抽樣的方法抽取6個(gè)產(chǎn)品．①已知甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品均在第三組，求甲、乙同時(shí)被選中的概率；②某人打算在這6個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)購(gòu)買，設(shè)第4組中有X個(gè)產(chǎn)品被購(gòu)買，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解](1)第三組的頻率是0.150×2＝0.3；第四組的頻率是0.100×2＝0.2；第五組的頻率是0.050×2＝0.1.(2)①由題意可知，在分層抽樣的過(guò)程中第三組應(yīng)抽到6×0.5＝3個(gè)，而第三組共有100×0.3＝30個(gè)，所以甲、乙兩產(chǎn)品同時(shí)被選中的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(1,28),Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(1,145).②在分層抽樣的過(guò)程中，第四組應(yīng)抽到2個(gè)．第四組共有X個(gè)產(chǎn)品被購(gòu)買，所以X的取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).所以X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝eq\f(8,15)＋eq\f(1,15)×2＝eq\f(2,3).[規(guī)律方法]頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布；作頻率分布直方圖的一般步驟為：(1)計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；(2)打算組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫(huà)頻率分布直方圖．圖表信息與方程、不等式依據(jù)圖表信息列方程或不等式解決的問(wèn)題，大都通過(guò)圖象、表格或幾何圖形的外形特征、位置特征、變化趨勢(shì)以及數(shù)據(jù)、數(shù)量特征等方面來(lái)呈現(xiàn)信息；要求依據(jù)圖表信息得到方程或不等式，由此解決問(wèn)題，其根本在于得到數(shù)量之間的關(guān)系．依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N)，則k的值為_(kāi)_______.x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345[解析]設(shè)f(x)＝ex－x－2，由已知表格可得f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0，故f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)f(x)＝ex－x－2的一個(gè)零點(diǎn)即方程ex－x－2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為(1，2)，即k的值為1.[答案]1[規(guī)律方法]函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定，可從兩方面求解：一是依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解；二是依據(jù)函數(shù)圖象求解．圖表信息與函數(shù)圖表信息與函數(shù)、三角函數(shù)結(jié)合是高考的熱點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是抓住圖形的一些信息，利用其信息所給數(shù)量求解問(wèn)題．某地近年來(lái)持續(xù)干旱，為提倡節(jié)省用水，該地接受了“階梯水價(jià)”計(jì)費(fèi)方法，具體方法：每戶每月用水量不超過(guò)4噸的每噸2元；超過(guò)4噸而不超過(guò)6噸的，超出4噸的部分每噸4元；超過(guò)6噸的，超出6噸的部分每噸6元．(1)寫(xiě)出每戶每月用水量x(噸)與支付費(fèi)用y(元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該地一家庭記錄了去年12個(gè)月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(噸)34567頻數(shù)13332請(qǐng)你計(jì)算該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用(精確到1元)；(3)今年干旱形勢(shì)照舊嚴(yán)峻，該地政府號(hào)召市民節(jié)省用水，假如每個(gè)月消費(fèi)不超過(guò)12元，該家庭稱為“節(jié)省用水家庭”，隨機(jī)抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計(jì)表：月用水量x(噸)1234567頻數(shù)10201616151310據(jù)此估量該地“節(jié)省用水家庭”的比例．[解](1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤4，,4x－8，4<x≤6，,6x－20，x>6.))(2)由(1)知：當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝12；當(dāng)x＝6時(shí)，y＝16；當(dāng)x＝7時(shí)，y＝22.所以該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用為eq\f(1,12)(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和題意知：當(dāng)y≤12時(shí)，x≤5，所以“節(jié)省用水家庭”的頻率為eq\f(77,100)＝77%，據(jù)此估量該地“節(jié)省用水家庭”的比例為77%.[規(guī)律方法](1)一些實(shí)際問(wèn)題，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如本例．(2)解答函數(shù)應(yīng)用題框圖表示如下：1．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，側(cè)視圖為始終角三角形，俯視圖為始終角梯形，則此幾何體的體積是()A.eq\f(1,2) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．1解析：選A.由三視圖可知該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，上、下底長(zhǎng)分別為1、2，高為1，頂點(diǎn)在底面的射影是底面直角梯形較長(zhǎng)的底邊的中點(diǎn)，四棱錐的高為1，因此該幾何體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(1,2).2．把正整數(shù)按確定的規(guī)章排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a63＝18，若aij＝2016，則i＋j＝()124357681012911131517141618202224…A．77 B．78C．79 D．80解析：選D.觀看此三角形數(shù)表可得到以下信息：(1)奇數(shù)行中都是奇數(shù)，偶數(shù)行中都是偶數(shù)；(2)第一行有1個(gè)數(shù)，其次行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)，…，依次類推，第2n行有2n個(gè)數(shù)；(3)單看偶數(shù)行，第2行、第4行共有6個(gè)數(shù)，而第4行最終一個(gè)數(shù)為12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12個(gè)數(shù)，而第6行最終一個(gè)數(shù)為24＝12×2，…，依次類推，前2n(n∈N*)行(包括第2n行)共有2＋4＋6＋…＋2n＝eq\f(（2＋2n）n,2)＝n2＋n(個(gè))偶數(shù)，第2n行的最終一個(gè)數(shù)為2n2＋2n，當(dāng)n＝32時(shí)，2n2＋2n＝2112，故2016應(yīng)在第64行．又eq\f(2112－2016,2)＝48，所以2016應(yīng)在第64行從左往右數(shù)第64－48＝16(個(gè))數(shù)，所以i＋j＝64＋16＝80.3．在直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A(a1，a2)動(dòng)身沿圖中路線依次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此規(guī)律始終運(yùn)動(dòng)下去，則a2013＋a2014＋a2015＝________．解析：數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)滿足a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，…，可得a4k－3＝k，a4k－1＝－k；偶數(shù)項(xiàng)滿足a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，…，可得a2k＝k.所以a2013＋a2014＋a2015＝a4×504－3＋a2×1007＋a4×504－1＝504＋1007－504＝1007.答案：10074．(2021·山東青島八中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2，＋∞)，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)<1，則eq\f(b＋3,a＋3)的取值范圍是________.x－204f(x)1－11解析：由y＝f′(x)的圖象知，f(x)在(－2，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增．由于f(－2)＝1，f(4)＝1，∴－2<2a＋b<4.∴a，b滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2a＋b<4，,a>0，,b>0，))作出點(diǎn)(a，b)的可行域．(如圖中陰影部分)eq\f(b＋3,a＋3)可以看作動(dòng)點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)C(－3，－3)連線的斜率．故eq\f(b＋3,a＋3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(7,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(7,3)))5．某同學(xué)對(duì)其30位親屬的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．(1)依據(jù)莖葉圖，掛念這位同學(xué)說(shuō)明其30位親屬的飲食習(xí)慣；(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下50歲以上總計(jì)(3)能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫(xiě)出簡(jiǎn)要分析．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)P(K2≥k)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)30位親屬中50歲以上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉為主．(2)2×2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類總計(jì)50歲以下481250歲以上16218總計(jì)201030(3)K2＝eq\f(30×（8－128）2,12×18×20×10)＝10>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)．6．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，還要連續(xù)向前滑行一段距離才停止，這段距離稱為“剎車距離”．為了測(cè)定某種型號(hào)汽車的剎車性能(車速不超過(guò)140km/h)，對(duì)這種汽車進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：剎車時(shí)車速(km/h)0102030405060剎車距離(m)00.31.02.13.65.57.8(1)以車速為x軸，剎車距離為y軸，在坐標(biāo)系中描出這些數(shù)據(jù)所表示的點(diǎn)，并用平滑的曲線連接這些點(diǎn)，得到函數(shù)的大致圖象；(2)觀看圖象，估量函數(shù)的類型，并確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式；(3)該型號(hào)汽車在國(guó)道上發(fā)生了一次交通事故，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得剎車距離為46.5m，請(qǐng)推想剎車時(shí)的速度是多少？請(qǐng)問(wèn)在事故發(fā)生時(shí)，汽車是超速行駛還是正常行駛？解：(1)(2)依據(jù)圖象，設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c，將表中的前三組數(shù)值代入，得eq