【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.4-數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略

數(shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略高考創(chuàng)新題，始終是高考試題中最為亮麗的風(fēng)景線．這類問題著重考查觀看發(fā)覺，類比轉(zhuǎn)化以及運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問，分析和解決數(shù)學(xué)問題的力氣．當(dāng)然數(shù)列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點(diǎn)考查的一種類型．下舉例談?wù)剶?shù)列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略．一、創(chuàng)新定義型例1．已知數(shù)列滿足（），定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)全部的企盼數(shù)的和________．解：∵（），∴．要使為正整數(shù)，可設(shè)，即（）．令（）．則區(qū)間內(nèi)全部企盼數(shù)的和，∴．評(píng)析：精確?????理解企盼數(shù)的定義是求解關(guān)鍵．解題時(shí)應(yīng)將閱讀信息與所學(xué)學(xué)問結(jié)合起來(lái)，側(cè)重考查信息加工力氣．二、性質(zhì)探求型例2．已知數(shù)列滿足，則______．解：由，知，．從而當(dāng)時(shí)，有，于是知．評(píng)析：本題主要通過對(duì)數(shù)列形式的挖掘得出數(shù)列特有的性質(zhì)，從而達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化解決問題的目的．其中性質(zhì)探求是關(guān)鍵．三、學(xué)問關(guān)聯(lián)型例3．設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有個(gè)不同的點(diǎn)，使組成公差為的等差數(shù)列，則的取值范圍為_______．解析：由橢圓其次定義知，這些線段長(zhǎng)度的最小值為右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離即，最大值為右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離即，故若公差，則，∴，∴．同理，若公差，則可求得．評(píng)析：本題很好地將數(shù)列與橢圓的有關(guān)性質(zhì)結(jié)合在一起，形式新穎，內(nèi)容深遂，有確定的難度，可見命題設(shè)計(jì)者的良苦認(rèn)真．解決的關(guān)鍵是確定該數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，然后依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公求出公差的取值范圍．四、類比聯(lián)想型例4．若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列_______也是等比數(shù)列．解析：由已知“等差數(shù)列前n項(xiàng)的算術(shù)平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項(xiàng)的幾何平均值也應(yīng)當(dāng)是等比數(shù)列”不難得到也是等比數(shù)列．評(píng)析：本題只須由已知條件的特征從形式和結(jié)構(gòu)上對(duì)比猜想不難挖掘問題的突破口．五、規(guī)律發(fā)覺型例5．將自然數(shù)排成數(shù)陳（如右圖），在處轉(zhuǎn)第一個(gè)彎，在轉(zhuǎn)其次個(gè)彎，在轉(zhuǎn)第三個(gè)彎，…．，則第個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為____________．解：觀看由起每一個(gè)轉(zhuǎn)彎時(shí)遞增的數(shù)字可發(fā)覺為“”．故在第個(gè)轉(zhuǎn)彎處的數(shù)為：．評(píng)析：本題求解的關(guān)鍵是對(duì)圖表轉(zhuǎn)彎處數(shù)字特征規(guī)律的發(fā)覺．具體解題時(shí)需要較強(qiáng)的觀看力氣及快速探求規(guī)律的力氣．因此，它在高考中具有較強(qiáng)的選拔功能．六、圖表信息型例6．下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：（）（）（）…………（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………………………其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù)．⑴寫出的值；⑵寫出的計(jì)算公式；⑶證明：正整數(shù)在該等差數(shù)列陣中的充要條件是可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積．解：⑴（詳見其次問一般性結(jié)論）．⑵該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列：；其次行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列：，……，第行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此；⑶必要性：若在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)使得，從而．即正整數(shù)可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積．充分性：若可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積，由于是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而可見在該等差數(shù)陣中．綜上所述，正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是可以分解成兩個(gè)不是的正整數(shù)之積．評(píng)析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本學(xué)問，考查規(guī)律思維力氣、分析問題和解決問題的力氣．求解關(guān)鍵是如何依據(jù)圖表信息求出行列式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式．七、“楊輝三角”型例7．如圖是一個(gè)類似“楊輝三角”的圖形，第行共有個(gè)數(shù)，且該行的第一個(gè)數(shù)和最終一個(gè)數(shù)都是，中間任意一個(gè)數(shù)都等于第行與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和，分別表示第行的第一個(gè)數(shù)，其次個(gè)數(shù)，……．第個(gè)數(shù)．求且的通項(xiàng)式．解：由圖易知從而知是一階等差數(shù)列，即以上個(gè)式相加即可得到：即且評(píng)析：“楊輝三角”型數(shù)列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點(diǎn)問題．求解這類題目的關(guān)鍵是認(rèn)真觀看各行項(xiàng)與行列式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常需轉(zhuǎn)化成一階（或二階）等差數(shù)列結(jié)合求和方法來(lái)求解．有愛好的同學(xué)不妨求出且的通項(xiàng)式．八、閱讀理解型例8．電子計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制，它與十進(jìn)制的換算關(guān)系如下表：十進(jìn)制……二進(jìn)制……觀看二進(jìn)制位數(shù)，位數(shù)，位數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的數(shù)，當(dāng)二進(jìn)制為位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是．解：通過閱讀，不難發(fā)覺：，，，進(jìn)而知，寫成二進(jìn)制為．于是知二進(jìn)制為位數(shù)能表示十進(jìn)制中最大的數(shù)是化成十進(jìn)制為