【優(yōu)教通-同步備課】高中數學(北師大版)必修五教案：1.4-數列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略

數列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略高考創(chuàng)新題，始終是高考試題中最為亮麗的風景線．這類問題著重考查觀看發(fā)覺，類比轉化以及運用數學學問，分析和解決數學問題的力氣．當然數列創(chuàng)新題是高考創(chuàng)新題重點考查的一種類型．下舉例談談數列創(chuàng)新題的基本類型及求解策略．一、創(chuàng)新定義型例1．已知數列滿足（），定義使為整數的數叫做企盼數，則區(qū)間內全部的企盼數的和________．解：∵（），∴．要使為正整數，可設，即（）．令（）．則區(qū)間內全部企盼數的和，∴．評析：精確?????理解企盼數的定義是求解關鍵．解題時應將閱讀信息與所學學問結合起來，側重考查信息加工力氣．二、性質探求型例2．已知數列滿足，則______．解：由，知，．從而當時，有，于是知．評析：本題主要通過對數列形式的挖掘得出數列特有的性質，從而達到化歸轉化解決問題的目的．其中性質探求是關鍵．三、學問關聯型例3．設是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有個不同的點，使組成公差為的等差數列，則的取值范圍為_______．解析：由橢圓其次定義知，這些線段長度的最小值為右焦點到右頂點的距離即，最大值為右焦點到左頂點的距離即，故若公差，則，∴，∴．同理，若公差，則可求得．評析：本題很好地將數列與橢圓的有關性質結合在一起，形式新穎，內容深遂，有確定的難度，可見命題設計者的良苦認真．解決的關鍵是確定該數列的最大項、最小項，然后依據數列的通項公求出公差的取值范圍．四、類比聯想型例4．若數列是等差數列，則有數列也是等差數列；類比上述性質，相應地：若數列是等比數列，且，則有數列_______也是等比數列．解析：由已知“等差數列前n項的算術平均值是等差數列”可類比聯想“等比數列前n項的幾何平均值也應當是等比數列”不難得到也是等比數列．評析：本題只須由已知條件的特征從形式和結構上對比猜想不難挖掘問題的突破口．五、規(guī)律發(fā)覺型例5．將自然數排成數陳（如右圖），在處轉第一個彎，在轉其次個彎，在轉第三個彎，…．，則第個轉彎處的數為____________．解：觀看由起每一個轉彎時遞增的數字可發(fā)覺為“”．故在第個轉彎處的數為：．評析：本題求解的關鍵是對圖表轉彎處數字特征規(guī)律的發(fā)覺．具體解題時需要較強的觀看力氣及快速探求規(guī)律的力氣．因此，它在高考中具有較強的選拔功能．六、圖表信息型例6．下表給出一個“等差數陣”：（）（）（）…………（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………（）（）（）（）（）…………………………其中每行、每列都是等差數列，表示位于第行第列的數．⑴寫出的值；⑵寫出的計算公式；⑶證明：正整數在該等差數列陣中的充要條件是可以分解成兩個不是的正整數之積．解：⑴（詳見其次問一般性結論）．⑵該等差數陣的第一行是首項為，公差為的等差數列：；其次行是首項為，公差為的等差數列：，……，第行是首項為，公差為的等差數列，因此；⑶必要性：若在該等差數陣中，則存在正整數使得，從而．即正整數可以分解成兩個不是的正整數之積．充分性：若可以分解成兩個不是的正整數之積，由于是奇數，則它必為兩個不是的奇數之積，即存在正整數k，l，使得，從而可見在該等差數陣中．綜上所述，正整數在該等差數陣中的充要條件是可以分解成兩個不是的正整數之積．評析：本小題主要考查等差數列、充要條件等基本學問，考查規(guī)律思維力氣、分析問題和解決問題的力氣．求解關鍵是如何依據圖表信息求出行列式中對應項的通項公式．七、“楊輝三角”型例7．如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，第行共有個數，且該行的第一個數和最終一個數都是，中間任意一個數都等于第行與之相鄰的兩個數的和，分別表示第行的第一個數，其次個數，……．第個數．求且的通項式．解：由圖易知從而知是一階等差數列，即以上個式相加即可得到：即且評析：“楊輝三角”型數列創(chuàng)新題是近年高考創(chuàng)新題的熱點問題．求解這類題目的關鍵是認真觀看各行項與行列式的對應關系，通常需轉化成一階（或二階）等差數列結合求和方法來求解．有愛好的同學不妨求出且的通項式．八、閱讀理解型例8．電子計算機中使用二進制，它與十進制的換算關系如下表：十進制……二進制……觀看二進制位數，位數，位數時，對應的十進制的數，當二進制為位數能表示十進制中最大的數是．解：通過閱讀，不難發(fā)覺：，，，進而知，寫成二進制為．于是知二進制為位數能表示十進制中最大的數是化成十進制為