【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(人教B版)基礎鞏固：第2章-第6節(jié)-冪函數(shù)與函數(shù)的圖象變換

其次章第六節(jié)一、選擇題1．(文)(2022·山東臨沂月考)冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(2,4)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)[答案]C[解析]由于函數(shù)過點(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，單調(diào)增區(qū)間為[0，＋∞)，選C.(理)(2022·湖北孝感調(diào)研)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是()A．－1 B．2C．3 D．－1或2[答案]B[解析]f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)?m2－m－1＝1?m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以m＝2.[點評]在爭辯冪函數(shù)y＝xα的圖象、性質(zhì)時，應考慮α的三種狀況：α>0，α＝0和α<0.冪函數(shù)的圖象確定毀滅在第一象限內(nèi)，確定不會毀滅在第四象限內(nèi)，與坐標軸相交時，交點確定是原點．2．(2022·福建泉州模擬)函數(shù)y＝lneq\f(1,|2x－3|)的圖象為()[答案]A[解析]由函數(shù)定義域易知2x－3≠0，即x≠eq\f(3,2)，排解C，D項．當x>eq\f(3,2)時，函數(shù)為減函數(shù)，當x<eq\f(3,2)時，函數(shù)為增函數(shù)，據(jù)此排解B，選A.[點評]識別函數(shù)的圖象是一項重要的基本功，可從其奇偶性、特殊點入手排解；也可從其定義域、變化率入手排解；也可以借助基本初等函數(shù)爭辯其零點和函數(shù)值的符號變化規(guī)律．①(2021·福建高考)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是()[答案]A[解析]本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)．∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，排解C.∵x2＋1≥1，則ln(x2＋1)≥0，且當x＝0時f(0)＝0，所以排解B、D，選A.②函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()[答案]A[解析]本題考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了同學的識圖力氣，以及對函數(shù)學問的把握程度和數(shù)形結合的思維力氣，令2x＝x2，y＝2x與y＝x2，由圖看有3個交點，∴B、C排解，又x＝－2時2－2－(－2)2<0，故選A.③(2022·浙江)在同始終角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()[答案]D[解析]依據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，a>0，所以冪函數(shù)是增函數(shù)，排解A(利用(1,1)點也可以排解)；選項B從對數(shù)函數(shù)圖象看0<a<1，與冪函數(shù)圖象沖突；選項C從對數(shù)函數(shù)圖象看a>1，與冪函數(shù)圖象沖突，故選D.要留意結合函數(shù)特點，圖象特征確定分析的切入點，留意平常練習中總結規(guī)律、削減盲目性．④(2022·云南名校一聯(lián))若函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是()[答案]A[解析]由函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.∴f(x)＝ax－a－x.又f(x)在R上是減函數(shù)，∴0<a<1.∴g(x)＝loga(x＋2)的圖象應是A.3．要將函數(shù)y＝1＋eq\r(x－1)的圖象變換成冪函數(shù)y＝xeq\f(1,2)的圖象，需要將y＝1＋eq\r(x－1)的圖象()A．向左平移一個單位，再向上平移一個單位B．向左平移一個單位，再向下平移一個單位C．向右平移一個單位，再向上平移一個單位D．向右平移一個單位，再向下平移一個單位[答案]B[解析]可運用逆向思維．假如由y＝xeq\s\up10(\f(1,2))的圖象得到y(tǒng)＝1＋eq\r(x－1)的圖象，需要將y＝xeq\s\up10(\f(1,2))的圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位即可．現(xiàn)在是反過來的問題，因此，要得到函數(shù)y＝xeq\s\up10(\f(1,2))的圖象，需要將y＝1＋eq\r(x－1)的圖象向下平移一個單位，再向左平移一個單位，故選B.[點評]畫函數(shù)圖象是學習和爭辯函數(shù)的基本功之一．變換法作圖是應用基本函數(shù)的圖象，通過平移、伸縮、對稱等變換，作出相關函數(shù)的圖象．應用變換法作圖，要求我們熟記基本函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，精確?????把握基本函數(shù)的圖象特征，嫻熟地進行平移、伸縮、對稱變換．(1)平移變換①左右平移：y＝f(x－a)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個單位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的圖象，可由y＝f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位而得到．(2)對稱變換①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關于y軸對稱．②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關于x軸對稱．③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱．④y＝f－1(x)與y＝f(x)的圖象關于直線y＝x對稱．⑤y＝|f(x)|的圖象可將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分不變．⑥y＝f(|x|)的圖象可將y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函數(shù)的圖象關于y軸的對稱性，作出x＜0的圖象．(3)伸縮變換①y＝Af(x)(A＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上全部點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，橫坐標不變而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上全部點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,a)倍，縱坐標不變而得到．1°利用平移識圖函數(shù)y＝eq\f(x－2,x－1)的圖象是()[答案]B[解析]∵y＝eq\f(x－2,x－1)＝1－eq\f(1,x－1)，∴將y＝eq\f(－1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移一個單位，即可得到函數(shù)y＝1－eq\f(1,x－1)的圖象．2°利用對稱變換畫圖函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a恰有三個零點，則a＝________.[答案]4[解析]f1(x)＝|4x－x2|，f2(x)＝a，則函數(shù)圖象恰有三個不同的交點．如圖所示，當a＝4時滿足條件．4．(文)(2022·盱眙中學月考)當0<x<1時，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關系是()A．f(x)<g(x)<h(x) B．f(x)<h(x)<g(x)C．h(x)<g(x)<f(x) D．g(x)<h(x)<f(x)[答案]A[解析]用特殊值法求解．令x＝eq\f(1,2)，則f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))1.1，g(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))0.9，h(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))－2.由指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x的單調(diào)性知f(eq\f(1,2))<g(eq\f(1,2))<h(eq\f(1,2))，故選A.(理)已知a＝lneq\f(1,2021)－eq\f(1,2021)，b＝lneq\f(1,2022)－eq\f(1,2022)，c＝lneq\f(1,2021)－eq\f(1,2021)，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a[答案]A[解析]記f(x)＝lnx－x，則f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，當0<x<1時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)．∵1>eq\f(1,2021)>eq\f(1,2022)>eq\f(1,2021)>0，∴a>b>c，選A.5．(文)(2022·長春模擬)函數(shù)f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)與g(x)在同一坐標系下的圖象可能是()[答案]C[分析]依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷a的取值范圍，再作出推斷．[解析]∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0，∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此圖象為C.(理)(2022·安徽合肥三模)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象如圖．則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能是()[答案]A[分析]依據(jù)圖象可知f(x)和g(x)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，結合函數(shù)的其他性質(zhì)，如最值點及其他特殊值即可做出推斷．[解析](1)從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)·g(x)是奇函數(shù)，排解B.又∵g(x)的定義域為{x|x≠0}，故排解C，D.應選A.6．(2021·哈爾濱模擬)冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m可能等于A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴3m－5<0，∴m<eq\f(5,3)，∵m∈N，∴m＝0或1.又f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴m＝1，故選B.二、填空題7．(文)若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，則它在A點處的切線方程為________．[答案]16x－8y＋1＝0[解析]設f(x)＝xα，∵f(x)的圖象過點A，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))α＝eq\f(1,4)，∴α＝eq\f(1,2).∴f(x)＝xeq\f(1,2)，∴f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝2，故切線方程為y－eq\f(1,4)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,16)))，即16x－8y＋1＝0.(理)冪函數(shù)y＝(p∈Z)為偶函數(shù)，且f(1)<f(4)，則實數(shù)p＝________.[答案]1[解析]∵f(1)<f(4)，∴－eq\f(1,2)p2＋p＋eq\f(3,2)>0，∴－1<p<3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，又此冪函數(shù)為偶函數(shù)，∴p＝1.8．(2022·江蘇鹽城模擬)若關于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案](－eq\f(9,4)，2)[解析]在同一坐標系中畫出函數(shù)f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的圖象，如圖所示．若a≤0，則其臨界狀況為g(x)＝|x－a|的圖象與拋物線f(x)＝2－x2相切．由2－x2＝x－a可得x2＋x－a－2＝0，由Δ＝1＋4·(a＋2)＝0，解得a＝－eq\f(9,4)；若a>0，則其臨界狀況為兩函數(shù)圖象的交點為(0,2)，此時a＝2.結合圖象可知，實數(shù)a的取值范圍是(－eq\f(9,4)，2)．9．(文)已知函數(shù)f(x)＝x－1，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍是________[答案](－∞，－1)∪(3,5)[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,10－2a>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,10－2a<0，,a＋1>10－2a，))∴a<－1或3<a<5.(理)(2021·衡陽聯(lián)考)設f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，滿足f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是________．[答案](0,2)[解析]∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.10．(文)(2021·成都七中期中)已知指數(shù)函數(shù)y＝f(x)，對數(shù)函數(shù)y＝g(x)和冪函數(shù)y＝h(x)的圖象都過P(eq\f(1,2)，2)，假如f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.[答案]eq\f(3,2)[解析]設f(x)＝ax，g(x)＝logbx，h(x)＝xα，則f(eq\f(1,2))＝aeq\f(1,2)＝2，g(eq\f(1,2))＝logbeq\f(1,2)＝2，h(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))α＝2，∴a＝4，b＝eq\f(\r(2),2)，c＝－1.由f(x1)＝4x1＝4得x1＝1，由g(x2)＝logeq\f(\r(2),2)x2＝4得x2＝eq\f(1,4)，由h(x3)＝xeq\o\al(－1,3)＝4得x3＝eq\f(1,4)，∴x1＋x2＋x3＝eq\f(3,2).(理)(2022·浙江杭州一模)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋6，x≥0，,3x＋4，x<0，))若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則x1＋x2＋x3的取值范圍是________．[答案](eq\f(11,3)，6)[解析]由于y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，所以對稱軸為x＝3.當3x＋4＝－3時，x＝－eq\f(7,3)，所以要使互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，則有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如圖所示．不妨設x1<x2<x3，則有－eq\f(7,3)<x1<0，eq\f(x2＋x3,2)＝3，x2＋x3＝6，所以eq\f(11,3)<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范圍是(eq\f(11,3)，6)．[點評]1.解決本類題的思路是：先在同一坐標系下畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，然后假設x1，x2，x3的大小關系，結合圖象求出x1，x2，x3的大致范圍，進而求出答案．2．應用函數(shù)圖象可解決下列問題(1)利用函數(shù)的圖象爭辯函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象爭辯，但確定要留意性質(zhì)與圖象特征的對應關系．(2)利用函數(shù)的圖象爭辯方程根的個數(shù)當方程與基本函數(shù)有關時，可以通過函數(shù)圖象來爭辯方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸的交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點的橫坐標．(3)利用函數(shù)的圖象爭辯不等式當不等問題不能直接用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下位置關系問題，從而利用數(shù)形結合求解.一、選擇題11．設函數(shù)y＝x3與y＝(eq\f(1,2))x－2的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(2,3)C．(1,2) D．(3,4)[答案]C[解析]設f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，則f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以x0在區(qū)間(1,2)內(nèi)．12．(文)(2022·山東濟南質(zhì)檢)函數(shù)y＝eq\f(log2|x|,x)的圖象大致是()[答案]C[解析]由于eq\f(log2|－x|,－x)＝－eq\f(log2|x|,x)，所以f(－x)＝－f(x)，函數(shù)y＝eq\f(log2|x|,x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排解B.當x>1時，y>0，當x<－1時，y<0.排解A；當x>0時，y＝eq\f(log2x,x).又y′＝eq\f(\f(1,ln2)－log2x,x2)，由y′＝0得x＝2eq\f(1,ln2)，當0<x<2eq\f(1,ln2)時，y′>0，當x>2eq\f(1,ln2)時，y′<0，∴原函數(shù)在(0,2eq\f(1,ln2))上是增函數(shù)，在(2eq\f(1,ln2)，＋∞)上是減函數(shù)．結合選項可知選C.(理)(2022·河北石家莊調(diào)研)函數(shù)f(x)＝sinx·ln|x|的部分圖象為()[答案]A[解析]∵f(－x)＝sin(－x)ln|－x|＝－sinxln|x|＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故C，D錯；令f(x)＝0，則sinx＝0或ln|x|＝0，∴x＝kπ(k∈Z)或x＝±1，∴當x＝eq\f(π,6)時，f(x)＝sineq\f(π,6)×ln|eq\f(π,6)|<0，∴選A.13．(文)函數(shù)y＝lncosx(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))的圖象是()[答案]A[解析]由已知得0<cosx≤1，∴l(xiāng)ncosx≤0，排解B、C、D.故選A.(理)(2022·甘肅部分示范學校調(diào)研)函數(shù)f(x)＝ln(x－eq\f(1,x))的圖象是()[答案]B[解析]自變量x滿足x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)>0，當x>0時可得x>1，當x<0時可得－1<x<0，即函數(shù)f(x)的定義域是(－1,0)∪(1，＋∞)，據(jù)此排解選項A、D.函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)＝ln(x－eq\f(1,x))在(－1,0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故選B.14．(文)(2022·福建福州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋sinx B．f(x)＝eq\f(cosx,x)C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x(x－eq\f(π,2))(x－eq\f(3π,2))[答案]C[解析]解法1：留意到題中所給曲線關于原點對稱，因此相應的函數(shù)是奇函數(shù)，選項D不正確；對于A，f′(x)＝1＋cosx≥0，因此函數(shù)f(x)＝x＋sinx是增函數(shù)，選項A不正確；對于B，由于f(x)的圖象過原點，因此選項B不正確．綜上所述知選C.解法2：由圖象過點(eq\f(π,2)，0)，(0,0)，(－eq\f(3π,2)，0)，依次排解A、B、D選項，選C.(理)已知直線x＝2及x＝4與函數(shù)y＝log2x圖象的交點分別為A，B，與函數(shù)y＝lgx圖象的交點分別為C，D，則直線AB與CD()A．相交，且交點在坐標原點B．相交，且交點在第Ⅰ象限C．相交，且交點在第Ⅱ象限D(zhuǎn)．相交，且交點在第Ⅳ象限[答案]A[解析]易求得兩直線方程分別為AB：y＝eq\f(1,2)x、CD：y＝eq\f(lg2,2)x，則其交點為坐標原點．如圖所示．15．(文)(2021·銀川市唐徠回中月考)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如下圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()[答案]A[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)的兩個零點為a和b且a>b，由圖象知0<a<1，b<－1，∴g(x)＝ax＋b單調(diào)減，排解C、D，且g(0)＝1＋b<0，排解B，故選A.(理)(2021·沈陽鐵路試驗中學期中)在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝ax，y＝sinax的部分圖象，其中a>0且a≠1，則下列所給圖象中可能正確的是()[答案]D[解析]若a>1，則y＝ax的圖象應為A，C，此時y＝sinax的周期T<2π，故排解A、C；∴0<a<1，∴T>2π，故排解B，選D.二、填空題16．已知實數(shù)a，b滿足等式log2a＝log3b，給出下列五個關系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能的關系式是________[答案]②④⑤[解析]由已知log2a＝log3b，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝log2x，y＝log3x的圖象，當