【創(chuàng)新設(shè)計】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第9篇-第1講-隨機(jī)抽樣

第1講隨機(jī)抽樣[最新考綱]1．理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性．2．會用簡潔隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.知識梳理1．簡潔隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡潔隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)編號：先將總體的N個個體編號；(2)分段：確定分段間隔k，對編號進(jìn)行分段，當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；(3)確定首個個體：在第1段用簡潔隨機(jī)抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；(4)獵取樣本：依據(jù)肯定的規(guī)章抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獵取整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．辨析感悟1．對簡潔隨機(jī)抽樣的生疏(1)(教材思考問題改編)在簡潔隨機(jī)抽樣中，某一個個體被抽到的可能性與第幾次抽取有關(guān)，第一次抽到的可能性最大．(×)(2)從100件玩具中隨機(jī)拿出一件，放回后再拿出一件，連續(xù)拿5次，是簡潔隨機(jī)抽樣．(×)2．對系統(tǒng)抽樣的理解(3)系統(tǒng)抽樣適用于元素個數(shù)較多且分布均衡的總體．(√)(4)要從1002個同學(xué)中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個同學(xué)，這樣對被剔除者不公正．(×)3．對分層抽樣的理解(5)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．(×)(6)(2022·鄭州模擬改編)某校即將召開同學(xué)代表大會，現(xiàn)從高一、高二、高三共抽取60名代表，則可用分層抽樣方法抽?。?√)(7)(2021·湖南卷改編)某學(xué)校有男、女同學(xué)各500名．為了解男、女同學(xué)在學(xué)習(xí)愛好與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體同學(xué)中抽取100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，則宜接受的抽樣方法是分層抽樣．(√)[感悟·提升]兩點(diǎn)提示一是簡潔隨機(jī)抽樣(抽簽法和隨機(jī)數(shù)法)都是從總體中逐個地進(jìn)行抽取，都是不放回抽樣，如(2)．二是三種抽樣方法在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、(5).考點(diǎn)一簡潔隨機(jī)抽樣【例1】下列抽取樣本的方式是否屬于簡潔隨機(jī)抽樣？(1)從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本．(2)盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里．(3)從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．(4)某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽．解(1)不是簡潔隨機(jī)抽樣．由于被抽取的樣本總體的個體數(shù)是無限的，而不是有限的．(2)不是簡潔隨機(jī)抽樣．由于它是放回抽樣．(3)不是簡潔隨機(jī)抽樣．由于這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽?。?4)不是簡潔隨機(jī)抽樣．由于指定個子最高的5名同學(xué)是56名中特指的，不存在隨機(jī)性，不是等可能抽樣．規(guī)律方法(1)簡潔隨機(jī)抽樣需滿足；①抽取的個體數(shù)有限；②逐個抽??；③是不放回抽取；④是等可能抽?。?2)簡潔隨機(jī)抽樣常有抽簽法(適用總體中個體數(shù)較少的狀況)、隨機(jī)數(shù)表法(適用于個體數(shù)較多的狀況)．【訓(xùn)練1】下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的有()．A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案B考點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣【例2】接受系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機(jī)編號為1,2，…，960，分組后在第一組接受簡潔隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()．A．7B．9C．10D．15解析從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，由于第一組抽到的號碼為9，則其次組抽到的號碼為39，第n組抽到的號碼為an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得eq\f(236,15)≤n≤eq\f(257,10)，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，選C.答案C規(guī)律方法(1)系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大．(2)使用系統(tǒng)抽樣時，若總體容量不能被樣本容量整除，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個個體，從而確定分段間隔．(3)起始編號的確定應(yīng)用簡潔隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定．【訓(xùn)練2】(1)從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取5枚來進(jìn)行放射試驗(yàn)，若接受每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導(dǎo)彈的編號可能是()．A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32(2)(2022·臨沂模擬)某班共有52人，現(xiàn)依據(jù)同學(xué)的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()．A．10B．11C．12D．16解析(1)間隔距離為10，故可能編號是3,13,23,33,43.(2)由于29號、42號的號碼差為13，所以3＋13＝16，即另外一個同學(xué)的學(xué)號是16.答案(1)B(2)D考點(diǎn)三分層抽樣【例3】(2022·蘭州模擬)某學(xué)校三個愛好小組的同學(xué)人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參與一個小組)(單位：人)籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對這三個小組的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按小組分層抽樣的方法，從參與這三個愛好小組的同學(xué)中抽取30人，結(jié)果籃球組被抽出12人，則a的值為________．解析由于eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)＝eq\f(12,45＋15)，所以解得a＝30.答案30規(guī)律方法進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．【訓(xùn)練3】(1)(2022·江蘇卷)某學(xué)校高一、高二、高三班級的同學(xué)人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個班級的同學(xué)中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二班級抽取________名同學(xué)．(2)某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了了解該單位職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為________．解析(1)高二班級同學(xué)人數(shù)占總數(shù)的eq\f(3,3＋3＋4)＝eq\f(3,10).樣本容量為50，則高二班級抽取：50×eq\f(3,10)＝15(名)同學(xué)．(2)由題意知，青年職工人數(shù)∶中年職工人數(shù)∶老年職工人數(shù)＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由樣本中青年職工為7人得樣本容量為15.答案(1)15(2)151．三種抽樣方法的聯(lián)系三種抽樣方法的共同點(diǎn)都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公正性．若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是eq\f(n,N).2．各種抽樣方法的特點(diǎn)(1)簡潔隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：總體中的個體性質(zhì)相像，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小；用簡潔隨機(jī)抽樣法抽取的個體帶有隨機(jī)性，個體間無固定間距．(2)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機(jī)會均等；總體分組后，在起始部分抽樣時，接受簡潔隨機(jī)抽樣．(3)分層抽樣的特點(diǎn)：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的狀況；分層后，在每一層抽樣時可接受簡潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣．創(chuàng)新突破8——抽樣方法與概率的交匯問題【典例】(2022·天津卷)某地區(qū)有學(xué)校21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)接受分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對同學(xué)進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從學(xué)校、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出全部可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為學(xué)校的概率．突破1：確定分層抽樣中的每層所占的比例．突破2：用列舉法列出全部可能抽取的結(jié)果．突破3：利用古典概型的計算公式計算．解(1)由分層抽樣的定義知，從學(xué)校中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從高校中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.則從學(xué)校、中學(xué)、高校分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所學(xué)校分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，高校記為A6，則抽取2所學(xué)校的全部可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為學(xué)校(記為大事B)的全部可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).[反思感悟]分層抽樣與概率結(jié)合的題目多與實(shí)際問題緊密聯(lián)系，計算量和閱讀量都比較大，且一般會有圖表，求解時簡潔造成失誤，平常需留意多訓(xùn)練此類型的題目．【自主體驗(yàn)】(2022·潮州模擬)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進(jìn)行年齡狀況和接受訓(xùn)練程度(學(xué)歷)的調(diào)查，其結(jié)果(人數(shù)分布)如下表：學(xué)歷35歲以下35～50歲50歲以上本科803020爭辯生x20y(1)用分層抽樣的方法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人學(xué)歷為爭辯生的概率；(2)在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機(jī)抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為eq\f(5,39)，求x，y的值．解(1)用分層抽樣的方法在35～50歲中抽取一個容量為5的樣本，設(shè)抽取學(xué)歷為本科的人數(shù)為m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.抽取的樣本中有爭辯生2人，本科生3人，分別記作S1，S2；B1，B2，B3.從中任取2人的全部等可能基本大事共有10個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至少有1人的學(xué)歷為爭辯生的基本大事有7個：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴從中任取2人，至少有1人學(xué)歷為爭辯生的概率為eq\f(7,10).(2)由題意，得eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.∴35～50歲中被抽取的人數(shù)為78－48－10＝20，∴eq\f(48,80＋x)＝eq\f(20,50)＝eq\f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分別為40,5.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．某中學(xué)進(jìn)行了該學(xué)年度期末統(tǒng)一考試，該校為了了解高一班級1000名同學(xué)的考試成果，從中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成果單，就這個問題來說，下面說法正確的是()．A．1000名同學(xué)是總體B．每個同學(xué)是個體C．1000名同學(xué)的成果是一個個體D．樣本的容量是100解析1000名同學(xué)的成果是總體，其容量是1000,100名同學(xué)的成果組成樣本，其容量是100.答案D2．(2021·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)為了解某地區(qū)的中學(xué)校生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中學(xué)校生中抽取部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)學(xué)校、學(xué)校、高中三個學(xué)段同學(xué)的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()．A．簡潔隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣D．系統(tǒng)抽樣解析由于男女生視力狀況差異不大，而學(xué)段的視力狀況有較大差異，所以應(yīng)按學(xué)段分層抽樣，故選C.答案C3．(2022·東北三校聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3∶5∶7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量n＝()．A．54B．90C．45D．126解析依題意有eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，由此解得n＝90，即樣本容量為90.答案B4．(2021·江西卷)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開頭由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為().7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01解析由題意知前5個個體的編號為08,02,14,07,01.答案D5．(2022·石家莊模擬)某學(xué)校高三班級一班共有60名同學(xué)，現(xiàn)接受系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6名同學(xué)做“早餐與健康”的調(diào)查，為此將同學(xué)編號為1,2，…，60.選取的這6名同學(xué)的編號可能是()．A．1,2,3,4,5,6B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32D．3,9,13,27,36,54解析系統(tǒng)抽樣是等間隔抽樣．答案B二、填空題6．(2022·成都模擬)某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應(yīng)城市數(shù)分別為4,12,8.若用分層抽樣抽取6個城市，則甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為________．解析甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為eq\f(6,24)×4＝1.答案17．某校高級職稱老師26人，中級職稱老師104人，其他老師若干人．為了了解該校老師的工資收入狀況，按分層抽樣從該校的全部老師中抽取56人進(jìn)行調(diào)查，已知從其他老師中共抽取了16人，則該校共有老師________人．解析設(shè)其他老師為x人，則eq\f(56,26＋104＋x)＝eq\f(16,x)，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．答案1828．(2022·青島模擬)某班級有50名同學(xué)，現(xiàn)要實(shí)行系統(tǒng)抽樣的方法在這50名同學(xué)中抽出10名同學(xué)，將這50名同學(xué)隨機(jī)編號1～50號，并分組，第一組1～5號，其次組6～10號，…，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的同學(xué)，則在第八組中抽得號碼為________的同學(xué)．解析由于12＝5×2＋2，即第三組抽出的是其次個同學(xué)，所以每一組都相應(yīng)抽出其次個同學(xué)，所以第8組中抽出的號碼為5×7＋2＝37號．答案37三、解答題9．某初級中學(xué)共有同學(xué)2000名，各班級男、女生人數(shù)如下表：初一班級初二班級初三班級女生373xy男生377370z已知在全校同學(xué)中隨機(jī)抽取1名，抽到初二班級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名同學(xué)，問應(yīng)在初三班級抽取多少名？解(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19.∴x＝380.(2)初三班級人數(shù)為y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名同學(xué)，應(yīng)在初三班級抽取的人數(shù)為：eq\f(48,2000)×500＝12名．10．某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實(shí)施抽?。庥梅謱映闃臃椒ǔ槿。唧w實(shí)施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4，∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．(2)因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后接受抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人接受00,01,02，…，69編號，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．(3)將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本．力量提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．某工廠在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，打算接受分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a，b，c，且a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則其次車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為()．A．800B．1000C．1200D．1500解析由于a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，即其次車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的三分之一，依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知，其次車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的三分之一，即為1200雙皮靴．答案C2．將參與夏令營的600名同學(xué)編號為：001,002，…，600，接受系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003.這600名同學(xué)分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()．A．26,16,8B．25,17,8C．25,16,9D．24,17