【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學試題分類解析匯編(12月第一期)：D5單元綜合

D5單元綜合【數(shù)學理卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（202211）】21.（本題滿分12分）如圖，、、…、是曲線：上的個點，點（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標原點）．（1）寫出、、；（2）求出點（）的橫坐標關于的表達式并證明.【學問點】單元綜合D5【答案解析】（1）（2）（1）（2）依題意，得，由此及得，即．由（Ⅰ）可猜想：．下面用數(shù)學歸納法予以證明：（1）當時，命題明顯成立；（2）假定當時命題成立，即有，則當時，由歸納假設及得，即，解之得（不合題意，舍去），即當時，命題成立．由（1）、（2）知：命題成立．【思路點撥】構(gòu)造新數(shù)列求出表達式，利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論?！緮?shù)學理卷·2021屆遼寧省沈陽二中高三上學期期中考試（202211）】15.若數(shù)列是等差數(shù)列，對于，則數(shù)列也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，對于，則=時，數(shù)列也是等比數(shù)列.【學問點】單元綜合D5【答案解析】在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當bn=（a1+a2+..+an），時，數(shù)列{dn}也是等差數(shù)列．類比推斷：若數(shù)列{cn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當dn=時，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．故答案為【思路點撥】本題考查的學問點是類比推理，在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則當bn=（a1+a2+..+an），時，數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當dn=時，數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．【數(shù)學理卷·2021屆湖南省岳陽一中高三上學期第三次月考（202211）】20.（本小題滿分13分）若數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和【學問點】數(shù)列的求和；對數(shù)的運算性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合．B7D4D5【答案】【解析】（1）；（2）解析：(1)由，得，解得．…………2分由……=1\*GB3①，當時，有……=2\*GB3②，…………3分=1\*GB3①－=2\*GB3②得：，…………4分數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列…………5分，…………6分（2）由（1）知．…………7分所以…………9分當為偶數(shù)時，…………11分當為奇數(shù)時，所以…………13分【思路點撥】（1）由，得，解得，當時，有，兩式相減可得數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，進而得到通項公式；（2）依據(jù)條件得到的通項，然后對n分類爭辯即可得到.【數(shù)學理卷·2021屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（202211）】19、（本小題滿分12分）設不等式組所表示的平面區(qū)域，記內(nèi)整點的個數(shù)為（橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點）。（1）式，先在平面直角坐標系中做出平面區(qū)域，在求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）記數(shù)列的前n項和為，試證明：對任意，恒有成立?！緦W問點】數(shù)列的應用.D5【答案】【解析】(1)25(2)10n+5(3)略解析：解：（1）D2如圖中陰影部分所示，∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個整點，對角線上有5個整點，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），據(jù)題意有an==10n+5．（6分）（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==?＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路點撥】（1）在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個整點，對角線上有5個整點，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點P（4，4n），即可求數(shù)列{an}的通項公式；（3）利用裂項法，放縮，求和即可證明結(jié)論【數(shù)學理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學期期中聯(lián)考（202211）】20.（本小題滿分13分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，已知，且對于任意的有，，成等差數(shù)列；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知（），記，若對于恒成立，求實數(shù)的范圍。【學問點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合.D3D4D5【答案】【解析】(1)；(2)解析：（1）…………4分（2），………10分若對于恒成立，則，，，令，所以為減函數(shù)，…………13分【思路點撥】(1)設出等比數(shù)列的公比，利用對于任意的有，，成等差得代入首項和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首項，則數(shù)列{an}的通項公式可求；(2)把（1）中求得的an和已知代入整理，然后利用錯位相減法求Tn，把Tn代入后分別變量m，使問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，分析函數(shù)的單調(diào)性時可用作差法．【數(shù)學理卷·2021屆四川省成都外國語學校高三11月月考（202211）(1)】20.（13分）已知數(shù)列中,且點在直線上。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；(3)設表示數(shù)列的前項和.試問:是否存在關于的整式,使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說明理由?！緦W問點】已知遞推公式求通項；求數(shù)列的最小值；數(shù)列綜合.D1D5【答案】【解析】(1)(2)(3)略解析：（1）∵點在直線x-y-1=0上，即，且=1∴數(shù)列是以1為首項1為公差的等差數(shù)列.∴，=1也滿足，∴（2）由（1）知，則，∴∴是的增函數(shù)，∴函數(shù)的最小值是；（3）∵，∴即，∴，∴∴，∴.故存在關于n的整式使等式對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.法二：先由n=2,n=3的狀況，猜想出g(n)=n，再用數(shù)學歸納法證明.【思路點撥】（1）由已知得，數(shù)列是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）推斷是的增函數(shù)即可得結(jié)論；（3）構(gòu)造新的遞推式，然后用累加法求得結(jié)論.【數(shù)學文卷·2021屆四川省成都外國語學校高三11月月考（202211）】20.（13分）已知數(shù)列中,且點在直線上。(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若函數(shù),求函數(shù)的最小值；(3)設表示數(shù)列的前項和.試求出關于的整式,使得對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立.(不用證明)【學問點】已知遞推公式求通項；求數(shù)列的最小值；數(shù)列綜合.D1D5【答案】【解析】解析：（1）∵點在直線x-y-1=0上，即，且=1∴數(shù)列是以1為首項1為公差的等差數(shù)列.∴，=1也滿足，∴（2）由（1）知，則，∴∴是的增函數(shù)，∴函數(shù)的最小值是；（3）∵