隨機(jī)變量-線性規(guī)劃-粗糙集

3、隨機(jī)變量及概率

醫(yī)學(xué)中通常所說的發(fā)病率、病死率、治愈率等都是頻率，常用百分?jǐn)?shù)表示。顯然，0≤fn(A)≤l。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增多時(shí)，fn(A)在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，擺動(dòng)的幅度隨著n的增大將愈來愈小，而逐漸穩(wěn)定下來，這就是頻率的穩(wěn)定性。0≤fn(A)≤l

頻率的穩(wěn)定性充分說明隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性是事物本身固有的一種客觀屬性，因此可以對(duì)它進(jìn)行度量。2025/1/131

在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件(Randomevents)，簡稱事件。

例如，{某病患的治療結(jié)果}{某批藥丸的合格率是99％}…

都是隨機(jī)事件,隨機(jī)事件通常用字母A，B，C等表示。隨機(jī)變量2025/1/132

在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p的附近擺動(dòng)，便稱常數(shù)p為事件A的概率(Probability)，記作P(A)＝p。概率頻率表現(xiàn)為變數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多，頻率相當(dāng)穩(wěn)定時(shí)，便可把頻率作為概率的近似估計(jì)：概率則為常數(shù)

P(A)≈fn(A)2025/1/133定理1若事件A和B是兩個(gè)互不相容的事件，則概率的加法法則P(A+B)＝P(A)+P(B)【例3-2】在20片外觀相同的藥片中，有黃連素15片，穿心蓮5片。今從中任取3片，求至少有1片穿心蓮的概率。2025/1/134解：

設(shè)B＝{3片中至少有1片穿心蓮}，

Ak＝{3片中恰有k片穿心蓮}，

k＝0，1，2，3，則（書上公式錯(cuò)，結(jié)果沒錯(cuò)。）2025/1/135因?yàn)锳1，A2，A3互不相容，且B＝A1+A2+A3，所以P(B)＝P(A1+A2+A3)＝P(A1)+P(A2)+P(A3)

=

=試證明：2025/1/136Excel組合計(jì)算2025/1/137

有人提出舌癌手術(shù)治療的新方案，試行5例，有4例成功(患者生存5年以上)，據(jù)此認(rèn)為新方案的成功率為80％。該推斷可靠嗎?為什么?思考2025/1/138條件概率

在實(shí)際問題中，經(jīng)常要同時(shí)考慮幾個(gè)事件發(fā)生的概率問題，其中一類重要的問題是：

在同一隨機(jī)試驗(yàn)下，有A和B兩個(gè)事件，事件B的發(fā)生對(duì)于事件A的發(fā)生有一定的影響，當(dāng)需要計(jì)算事件A發(fā)生的概率時(shí)，已經(jīng)得到了事件B發(fā)生的信息，有時(shí)，這就是所謂的條件概率。2025/1/139

在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫做條件概率(Conditionalprobability)，記作P(A｜B)。條件概率P(A｜B)與事件B和事件AB的概率有如上關(guān)系2025/1/1310【舉例】據(jù)估計(jì)成年人口中約15%患有高血壓，而所有成年人口中約75%的人沒有感覺到血壓高。

同時(shí)估計(jì)人口中約6%患高血壓而不自覺有病。如果一成年人認(rèn)為自己沒有高血壓，問此人實(shí)際有病的概率是多少？2025/1/1311解：設(shè)A1＝{病人不覺得有病}，A2＝{此病存在}，

則

P(A1)=0.75P(A2A1)=0.06

實(shí)際上患有高血壓的人而自認(rèn)為無此病的概率為8%。2025/1/1312

在某限定條件下求解由不同變量組成的最優(yōu)目標(biāo)值是實(shí)際中常見的問題。4、線性優(yōu)化【舉例】光華制藥廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)“克感”和“清開靈”兩種中成藥品，都需要使用研磨機(jī)（A）和烘干機(jī)（B）兩種不同的設(shè)備對(duì)藥材進(jìn)行加工。

2025/1/1313

表4-1顯示了制藥廠生產(chǎn)每千克藥品“克感”和“清開靈”在各設(shè)備上所需的加工臺(tái)時(shí)數(shù)及生產(chǎn)各藥品可得的利潤。

已知設(shè)備研磨機(jī)（A）、烘干機(jī)（B）在計(jì)劃期內(nèi)有效臺(tái)時(shí)數(shù)分別是120和80?，F(xiàn)制藥廠想知道如何安排生產(chǎn)計(jì)劃可以使制藥廠的利潤最大化。2025/1/1314

制藥廠要決策的問題是生產(chǎn)多少千克的“克感”和“清開靈”藥品，使得利潤最大化。因此，要定義兩個(gè)決策變量分別表示在計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)“克感”和“清開靈”藥品的數(shù)量。決策變量表示為：定義決策變量X1——藥品Ⅰ的產(chǎn)量

X2——藥品Ⅱ的產(chǎn)量目標(biāo)函數(shù)：MaxZ=240X1+300X22025/1/13152X1+2X2≤120（臺(tái)時(shí)）X1+2X2≤80（臺(tái)時(shí)）約束條件X1≥0，X2≥0完整的線性優(yōu)化模型2025/1/1316約束條件作圖2025/1/1317約束區(qū)域2025/1/1318X1=？X2=？MaxZ=?試用圖解法求最優(yōu)點(diǎn)2025/1/1319醫(yī)院擴(kuò)大業(yè)務(wù)收益的案例康華醫(yī)院為擴(kuò)大業(yè)務(wù)決定增設(shè)口腔和耳鼻喉兩個(gè)?？?，經(jīng)過市場調(diào)研和論證：1、已知口腔科每床位需投資5千元，耳鼻喉科每床位需投資7千元，要求總投資不超過14萬元。2、口腔科床位數(shù)與工作人員的配置比例為1：0.6，耳鼻喉科床位與工作人員的比例為1：0.5，醫(yī)院要求投入這兩個(gè)科室總的工作人員不超過12人。3、投資口腔科每床位每年收益約為3萬元，耳鼻喉科約為4萬元。

試問：在確保社會(huì)效益的同時(shí)，應(yīng)如何配置這兩個(gè)科室，使總的經(jīng)濟(jì)收益最大？2025/1/1320模型求解2025/1/1321粗糙集理論，是繼概率論、模糊集、證據(jù)理論之后的又一個(gè)處理不確定性的數(shù)學(xué)工具。粗糙集（RoughSet）數(shù)據(jù)庫中的二維表2025/1/1322

A={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}二維表格的最后一列是決策屬性，評(píng)價(jià)什么樣的積木穩(wěn)定？表中的每一行表示了類似這樣的信息：我們可以把所有的記錄看成是論域“紅色的大三角積木穩(wěn)定”“****的小圓形不穩(wěn)定”…2025/1/1323條件屬性決策屬性每個(gè)積木塊都有顏色屬性，按照顏色的不同，我們能夠把這堆積木分成R1={紅，黃，藍(lán)}三個(gè)大類：紅顏色的積木構(gòu)成集合X1={x1,x2,x6}黃顏色的積木構(gòu)成集合X2={x3,x4}藍(lán)顏色的積木構(gòu)成集合X3={x5,x7,x8}。顏色屬性就是一種知識(shí)2025/1/1324一種對(duì)集合A的劃分就對(duì)應(yīng)著關(guān)于A中元素的一個(gè)知識(shí)，假如還有其他的屬性：形狀R2={三角,方塊,圓形}大小R3={大,中,小}這樣加上R1屬性對(duì)A構(gòu)成的劃分分別為：

A/R1={X1,X2,X3}={{x1,x2,x6},{x3,x4},{x5,x7,x8}}（顏色分類）

A/R2={Y1,Y2,Y3}={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}}（形狀分類）

A/R3={Z1,Z2,Z3}={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}}（大小分類）所有的分類合在一起就形成了一個(gè)基本的知識(shí)庫2025/1/1325還可以表達(dá)的知識(shí)有大三角{x1,x2,x5}∩{x1,x2}={x1,x2}藍(lán)色的小的圓形{x5,x7,x8}∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}=｛x7｝藍(lán)色的或者中的積木{x5,x7,x8}∪{x6,x8}={x5,x6,x7,x8}。

所有的這些能夠用交、并表示的概念以及加上上面的三個(gè)基本知識(shí)(A/R1,A/R2,A/R3)一起就構(gòu)成了一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)：

R=R1∩R2∩R3

它所決定的所有知識(shí)是A/R={{x1,x2},,,,,,}以及A/R中集合的并。2025/1/1326假設(shè)給定了一個(gè)A上的子集合X={x2,x5,x7}用我們的知識(shí)庫中的知識(shí)應(yīng)該怎樣描述它呢？紅色的三角？****的大圓？...都不是“藍(lán)色的大方塊或者藍(lán)色的小圓形”這個(gè)概念：{x5,x7}作為X的下近似。選擇“三角形或者藍(lán)色的”{x1,x2,x5,x7,x8}作為它的上近似。{x2,x5,x7}{x5,x7}{x1,x2,x5,x7,x8}2025/1/1327“穩(wěn)定”的集合{x1,x2,x5}“不穩(wěn)定”的集合{x3,x4,x6,x7,x8}是否所有的基本知識(shí)：顏色、形狀、大小都是必要的？他們的上下近似都是一樣。2025/1/1328去掉“顏色”屬性？知識(shí)系統(tǒng)變成A/(R-R1)={{x1,x2},{x3,x4,x7},,,}以及這些子集的并集。

如果用這個(gè)新的知識(shí)系統(tǒng)表達(dá)“穩(wěn)定”概念得到上下近似仍舊都是：{x1,x2,x5}，“不穩(wěn)定”概念的上下近似也還是{x3,x4,x6,x7,x8}，所以說顏色屬性是多余的可以刪除。去掉“大小”屬性呢？知識(shí)系統(tǒng)變成A/(R-R1-R3)=A/R2={{x1,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}}。

同樣考慮“穩(wěn)定”在知識(shí)系統(tǒng)A/R2中的上下近似分別為：{x1,x2}和{x1,x2,x5,x8}，已經(jīng)和原來知識(shí)系統(tǒng)中的上下近似不一樣了，同樣考慮“不穩(wěn)定”的近似表示也變化了，所以刪除屬性“大小”是對(duì)知識(shí)表示有影響的故而不能去掉。2025/1/1329得到化簡后的知識(shí)庫R2,R3決策規(guī)則：大三角---穩(wěn)定，大方塊---穩(wěn)定，小圓---不穩(wěn)定，中圓---不穩(wěn)定，中方塊---不穩(wěn)定，進(jìn)一步化簡得到：大---穩(wěn)定，圓---不穩(wěn)定，中方塊---不穩(wěn)定。2025/1/1330這些有用知識(shí)是從數(shù)據(jù)庫有粗糙集方法自動(dòng)學(xué)習(xí)得到的。實(shí)際上我們只要把這個(gè)數(shù)據(jù)庫輸入進(jìn)粗糙集運(yùn)算系統(tǒng)，而不用提供任何先驗(yàn)的知識(shí)，粗糙集算法就能自動(dòng)學(xué)習(xí)出知識(shí)來。(這是它能夠廣泛應(yīng)用的根源所在。而在模糊集、可拓集等集合論中我們還要事先給定隸屬函數(shù)。)

2025/1/1331(1)它能處理各種數(shù)據(jù),包括不完整(incomplete)的數(shù)據(jù)以及擁有眾多變量的數(shù)據(jù);

(2)它能處理數(shù)據(jù)的不精確性和模棱兩可(ambiguity),包括確