中考數學二輪培優(yōu)訓練專題31 相似三角形模型（解析版）

專題31相似三角形模型相似三角形的判定方法：判定定理一：平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構成的三角形和原三角形相似。判定定理二：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若，則∽判定定理三：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判定定理四：兩個角分別相等的兩個三角形相似。

即：若，,則∽判定定理五：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似。即：在中，若或,則相似三角形的性質：1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。模型圖形結論證明過程（思路）A字模型①?ADE~?ABC②AD1)已知DE∥BC則∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以?ADE~?ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以?ADE~?ABC共邊反A字模型①?ABC~?ACD②AB③AC2=AB?AD剪刀反A字模型①?ABC~?ADE②AB證明過程參照按照2）8字模型正8字模型①?AOB~?COD②AO反8字模型①?AOB~?DOC②AO3)已知AB∥DC則∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以?AOB~?COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以?AOB~?DOC射影定理①?ABC~?ADB~?BDC②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）③AB?BC=BD?AC（面積法）5)已知∠ABC=∠ADB=90°∠ABD=∠C∠A=∠DBC∴?ABC~?ADB~?BDC一線三垂直①?ABC~?CDE②AB③當點C為BD中點時，?ABC~?CDE~?ACE6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°則∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE7)∵?ABC~?CDE∴ABCD=AC則ABBC=AC∴?ABC~?ACE則?ABC~?CDE~?ACE一線三等角①?ABC~?CDE②AB③當點C為BD中點時，?ABC~?CDE~?ACE8）∵∠B=∠D=∠ACE=α∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α則∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE結論③證明過程參照7）線束模型(一)①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）9）∵DE∥BC∴?ADF~?ABG，?AFE~?AGC∴DFBG∴DF同理右圖結論DF:FG:EG=BH:HI:CI線束模型(二)①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）10）∵AB∥CD∴?AOE~?DOF，?BOE~?COF∴AEDF∴AE同理右圖結論AE:EF:BF=DH:HG:CG三角形內接矩形①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=AMAN則xBC=AN?xAN若已知B11)∵四邊形DEFG為矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴?ABC~?ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB三平行模型①1②112)∵AB∥EF∥CD∴?ABC~?EFC，?BEF~?BDC∴EFAB①+②得EFAB+兩邊同除EF得,13)作AM⊥BC于點M,EN⊥BC于點N,DP⊥BC于點P同理可得1則1AM∴1旋轉相似模型①?ABD~?ACE∵?ADE~?ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴?ABD~?ACE【總結】三角形相似就意味著對應線段的比值相等，所以就能建立等式關系。因此，題目中只要看到線段比例已知，就要首先考慮構建三角形相似來利用這個已知條件，為進一步完成解題創(chuàng)下基礎。口訣：線段比例若知道，三角相似解題巧。【專項練習】【A字模型】1．（四川省遂寧市2020年中考數學試題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、角平分線的性質、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質及定理是解題的關鍵．2．（2021年陜西省寶雞市金臺區(qū)中考一模數學試題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據相似三角形的性質和AE＝2ED即可得結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質進行解題．3．（江蘇省南通市2020年中考數學試題）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．【答案】（1）；（2）BF＝3．【分析】（1）如圖①中，取DE的中點M，連接PM．證明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性質求解即可．（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設EG=x，則BG=4-x．證明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再證明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：（1）如圖①中，取DE的中點M，連接PM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．則四邊形AGHD是矩形，設EG＝x，則BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（負值已經舍棄），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．【點睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．4．（2020年浙江省金華市、麗水市中考數學試題）如圖，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數．②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長．【答案】（1）4;（2）①90°；②【分析】（1）如圖1中，過點A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．（2）①證明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解決問題．②如圖3中，由（1）可知：AC=，證明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1，過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ABD中，==4.（2）①如圖2，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.

又∵AE＝BE，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠AEP＝90°.

②如圖3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，則∠AFE＝∠B.又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△EAF∽△CAB，∴＝，即＝，∴AF＝,在Rt△AFP中，AF＝PF，則AP＝＝.【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應用，翻折變換，全等三角形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【答案】見詳解【分析】先證明，即有，再結合，即可證明．【詳解】∵、分別是、邊上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，掌握三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．6（遼寧省丹東市東港市2021-2022學年九年級上學期期中數學試題）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面積是△ABD面積的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有，即，解得t＝，答：當t＝3或時，以A、M、N為頂點的三角形與△ABD相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質和一元二次方程的應用，正確進行分類討論是解題的關鍵．7．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈的高度．如圖，當李明走到點處時，張龍測得李明直立時身高與影子長正好相等；接著李明沿方向繼續(xù)向前走，走到點處時，李明直立時身高的影子恰好是線段，并測得，已知李明直立時的身高為，求路燈的高的長．（結果精確到．【答案】路燈的高CD的長約為6.1m【分析】根據，，，得到，從而得到，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式求解即可．【詳解】解：設長為m，，，，，，m，，，即，解得：．經檢驗，是原方程的解，且符合題意，路燈高的長約為6.1m【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是根據已知條件得到平行線，從而證得相似三角形．【8字模型】1．如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝__________．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質及相似三角形的判定與性質綜合，解題關鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質得出對應邊成比例求出答案．2．（山西省2021年中考數學真題）如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為__________．【答案】．【分析】延長BE交AC于點F，過D點作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點且，則，在等腰中，根據勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．【詳解】如下圖，延長BE交AC于點F，過D點作，∵，，∴，，為等腰．由題意可得E為CD的中點，且，∴，在等腰中，，，又∵，在，∴（AAS）∴，∵，，∴，∴，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理求對應邊的長度，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，構造合適的相似三角形，綜合運用以上性質是解題的關鍵．3．（廣東省2020年中考數學試題）如圖，點是反比例函數（）圖象上一點，過點分別向坐標軸作垂線，垂足為，，反比例函數（）的圖象經過的中點，與，分別相交于點，．連接并延長交軸于點，點與點關于點對稱，連接，．（1）填空：_________；（2）求的面積；（3）求證：四邊形為平行四邊形．【答案】（1）2

（2）3

（3）見解析【分析】（1）根據題意設點B的坐標為（x，），得出點M的坐標為（，），代入反比例函數（），即可得出k；（2）連接，根據反比例函數系數k的性質可得，，可得，根據，可得點到的距離等于點到距離，由此可得出答案；（3）設，，可得，，根據，可得，同理，可得，，證明，可得，根據，得出，根據，關于對稱，可得，，，可得，再根據，即可證明是平行四邊形．【詳解】解：（1）∵點B在上，∴設點B的坐標為（x，），∴OB中點M的坐標為（，），∵點M在反比例函數（），∴k=·=2，故答案為：2；（2）連接，則，，∵，∴，∵，∴點到的距離等于點到距離，∴；（3）設，，，，又∵，∴，同理，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，關于對稱，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴是平行四邊形．【點睛】本題考查了反比例函數系數的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，平行線的性質，靈活運用知識點是解題關鍵．4．（安徽省2020年中考數學試題）如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點求證：；若，求的長；如圖2，連接，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進而證得∠EGB=90o即可證得結論；（2）設AE=x，利用矩形性質知AF∥BC，則有，進而得到x的方程，解之即可；（3）在EF上截取EH=DG，進而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結論．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90o，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，，∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90o，∴∠E+∠ABD=90o，∴∠EGB=90o，∴BG⊥EC；（2）設AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴，又AF=AB=1，∴即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，在△EAH和△DAG，，∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90o，∴∠DAG+∠DAH=90o，∴∠HAG=90o，∴△GAH是等腰直角三角形，∴即，∴GH=AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、直角定義、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，涉及知識面廣，解答的關鍵是認真審題，提取相關信息，利用截長補短等解題方法確定解題思路，進而推理、探究、發(fā)現和計算．5．（遼寧省鞍山市2021年中考真題數學試卷）如圖，在中，，，過點A作射線AM交射線BC于點D，將AM繞點A逆時針旋轉得到AN，過點C作交直線AN于點F，在AM上取點E，使．（1）當AM與線段BC相交時，①如圖1，當時，線段AE，CE和CF之間的數量關系為．②如圖2，當時，寫出線段AE，CE和CF之間的數量關系，并說明理由．（2）當，時，若是直角三角形，直接寫出AF的長．【答案】（1）①；②，理由見解析；（2）或【分析】（1）①結論：．如圖1中，作交AM于T．想辦法證明，，可得結論．②結論：．過點C作于Q．想辦法證明，，可得結論．（2）分兩種情形：如圖3－1中，當時，過點B作于J，過點F作于K．利用勾股定理以及面積法求出CD，再證明，可得結論．如圖3－2中，當時，，解直角三角形求出AK，可得結論．【詳解】解：（1）①結論：．理由：如圖1中，作交AM于T．，，是等邊三角形，，，，，四邊形AFCT是平行四邊形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，．故答案為：．②如圖2中，結論：．理由：過點C作于Q．，，，，，四邊形AFCQ是矩形，，，，，，，，，，，，，．（2）如圖3－1中，當時，過點B作于J，過點F作于K．在中，，，，，，，，，，，，，，，四邊形CDKF是平行四邊形，，四邊形CDKF是矩形，，，，，．如圖3－2中，當時，同理可得：，，，在中，，，，，，，，，，，，．綜上所述，滿足條件的AF的值為或．【點睛】此題是幾何變換綜合題．考查了等邊三角形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，銳角三角函數，此題是一道幾何綜合題，掌握各知識點并掌握推理能力是解題的關鍵．6．（四川省廣元市2021年中考數學試題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據E是邊DC的中點，可以得到，再根據四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據相似三角形的性質得出，，進而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點E為DC的中點，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴，，∴，，∴，∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【母子型】（含射影定理）1．（安徽省阜陽市阜陽實驗中學2021-2022學年九年級上學期期中數學試題）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為________；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為_______．【答案】【分析】（1）根據AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據正方形的性質，可以得到AE的長，再根據平行線的性質和角平分線的性質，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點G為CD邊的中點，根據三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．【詳解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；故答案為：﹣1；（2）證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，設CD＝2a，則CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，熟練運用相關性質進行推理解答．2．（江蘇省南京市聯合體2021-2022學年九年級上學期期末數學試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質得，即可求出CD的長．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定定理與性質是解題的關鍵．3．（上海市金山初級中學2021-2022學年九年級上學期第一次月考數學試題）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進而求出，再利用相似三角形的性質得出答案即可；（2）由可證，進而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關系．【詳解】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及重心的性質等知識，根據已知得出是解題關鍵．4（遼寧省葫蘆島市連山區(qū)2020-2021學年九年級上學期期末數學試題）如圖：中，，以為直徑作交于點，交于點，點在的延長線上，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接AD，根據直角所對圓周角是直角可得∠BAD與ABD的和是90°，再根據等腰三角形的性質可得∠BAD是∠BAC的一半，結合已知條件即可得到結論；（2）連接BE，設AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的長，再證，得到AE的長，即可得到CE的長；【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．（2）設，則，在中，∵，∴，解得，∴，，連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．【點睛】本題考查圓周角定理、切線的判定，相似三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識，綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．5．（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學2021-2022學年八年級下學期期中考試數學試題）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當在上時，是邊上的高，根據面積法可求長度；當在上時，，對應邊成比例即可求長度；不可能在上．（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當時，，，，即是邊上的高，當時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解“理想點”的定義．【一線三等角】1．（2022年湖北省襄陽市初中畢業(yè)生“新中考”文化課模擬（一模）數學試題）如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為______．【答案】【分析】根據△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，可證△BDF∽△CFE，根據BF=4CF，可得CF=4，根據AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，可得DE⊥AF，根據S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，進而可求．【詳解】解：如圖，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC為等邊三角形，△ADE與△FDE關于DE成軸對稱，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，設CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF為軸對稱圖形對應點的連線,DE為對稱軸，∴AD=DF，△ADF為等腰三角形，DE⊥AF，∴S四邊形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案為:．【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質，一線三等角證明k型相似，以及“垂美四邊形”的性質：對角線互相垂直的四邊形的面積＝對角線乘積的一半．2．（江蘇省宿遷市2020年中考數學試題）【感知】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．【探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點E在邊CD上，點F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點H．求證：BH=GH．【拓展】（3）如圖③，點E在四邊形ABCD內，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點F，若∠EFA=∠AEB，延長FE交BC于點G．求證：BG=CG．【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性質得出，則可得出結論；（2）過點G作GM⊥CD于點M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結論；（3）在EG上取點M，使∠BME=∠AFE，過點C作CN∥BM，交EG的延長線于點N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質可得出結論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴；（2）如圖1，過點G作GM⊥CD于點M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點M，使∠BME=∠AFE，過點C作CN∥BM，交EG的延長線于點N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，平行線的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．3．如圖，在中，點分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當點D在上運動時（點D不與重合），且是等腰三角形，求此時的長．【答案】(1)理由見詳解；（2）或，理由見詳解．【分析】（1）根據題目已知條件易得：，，所以得到，問題得證．（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當是等腰三角形時，根據分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因為點D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據等腰三角形的性質“等邊對等角”及，求出問題即可．【詳解】解：（1）如圖可知：在中，又．（2），是等腰直角三角形BC=2，AB=AC=BC=①當AD=AE時，，點D在上運動時（點D不與重合）,點E在AC上此情況不符合題意．②當AD=DE時，由（1）結論可知：AB=DC=．③當AE=DE時，是等腰直角三角形，，即．綜上所訴：或．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問題，關鍵是利用“K”型相似模型及根據“等邊對等角”、等腰直角三角形的性質得到線段的等量關系，進而求解問題．4．（吉林省長春市綠園區(qū)2021-2022學年九年級上學期期末考試數學試題）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；拓展：證明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據相似三角形的性質計算即可．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．5．（山東省泰安市東平縣2019-2020學年八年級下學期期末數學試題）如圖，四邊形是正方形，點是邊上動點(不與重合)．連接過點作交于點．求證：；連接，試探究當點在什么位置時，，請證明你的結論．【答案】（1）證明見解析；（2）點在中點位置時，，證明見解析．【分析】（1）先根據正方形的性質可得，再根據直角三角形的性質、角的和差可得，然后根據相似三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據正方形的性質、平行線的性質可得，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據等腰三角形的判定與性質可得，最后根據等量代換即可得．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，；（2）點在中點位置時，，證明如下：如圖，連接，延長于的延長線相交于點H，為中點，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，，，故當點在中點位置時，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構造全等三角形和等腰三角形是解題關鍵．【旋轉模型】1．（河南省2019年中考數學試題）在，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是．（2）類比探究如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．【答案】（1）1，（2）45°（3），【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明，即可解決問題．（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明，即可解決問題．（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明即可解決問題．②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．，，，，，，，，，，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是，故答案為1，．（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．，，，，，，，，直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為．（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，A，D，C，B四點共圓，，，，，設，則，，c．如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：，設，則，，，．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉變換，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．2．（廣東省深圳市2021年中考數學真題）在正方形中，等腰直角，，連接，H為中點，連接、、，發(fā)現和為定值．（1）①__________；②__________；③小明為了證明①②，連接交于O，連接，證明了和的關系，請你按他的思路證明①②．（2）小明又用三個相似三角形（兩個大三角形全等）擺出如圖2，，（）求：①__________（用k的代數式表示）②__________（用k、的代數式表示）【答案】（1）①；②45°；③見解析；（2）①；②【分析】（1）①通過中位線得出，再通過等腰直角三角形斜邊與直角邊的關系得出,則，在等腰Rt△OBA中得出，再結合中位線OH和正方形的性質證明∠BOH=∠BAF，即可證明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性質，對應角相等，代換角即可求出；（2）①用與（1）相似的方法可以證明出，即可得出比值；②通過添加輔助線，構造兩個直角三角形，用銳角三角函數和勾股定理表示出兩邊，即可求出比值．【詳解】（1）；②45°③證明：如圖所示：由正方形性質得：，O為的中點又∵H為的中點，則，∴是等腰直角三角形∴∴∵∴，又∵∴又∴，又∵∴∴，∴（2）①②理由如下：①如圖，連接，與交于O點，連接由題可知四邊形ABCD為平行四邊形，∴O為AC和BD的中點，又∵H為CE中點，∴，,又∵,∴,即，,即，∵OH是△ACE的中位線，∴OH∥AE，∴,又∵是△AOD的外角，∴,又∵,∴,∴,又∵，∴∴②：由得：，則在中，，不妨令，，如圖作則：，則由勾股定理解得：∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，等腰直角三角形的性質，正方形的性質，平行四邊形的性質，銳角三角函數，涉及知識點較多，難度較大，能夠通過已知條件找出判定相似三角形的條件是解題關鍵．3．（山東省威海市2020年中考數學試題）發(fā)現規(guī)律：（1）如圖①，與都是等邊三角形，直線交于點．直線，交于點．求的度數（2）已知：與的位置如圖②所示，直線交于點．直線，交于點．若，，求的度數應用結論：（3）如圖③，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，為軸上一動點，連接．將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，，求線段長度的最小值【答案】（1）的度數為；（2）的度數為；（3）線段長度的最小值為【分析】（1）通過證明可得，再由三角形內角和定理進行求解即可；（2）通過證明可得，，可證，可得，由外角性質可得，再有三角形內角和定理進行求解即可；（3）由旋轉的性質可得是等邊三角形，可得，，如圖③將繞點M順時針旋轉，得到，連接OQ，可得，OK=NQ，MO=MQ，則當NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當軸時，NQ有最小值，由直角三角形的性質即可求解．【詳解】（1）∵與是等邊三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴∴∵∴∴；（2）∵，∴∴，∴，∴∴∵∴∵∴∴；（3）∵將線段MN繞點M逆時針旋轉得到線段MK∴，∴是等邊三角形∴，如下圖，將繞點M順時針旋轉，得到，連接OQ∴，∴OK=NQ，MO=MQ∴是等邊三角形∴∴∵OK=NQ∴當NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當軸時，NQ有最小值∵點的坐標為∴∵軸，∴∴線段OK長度的最小值為．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，旋轉的性質，三角形內角和定理等知識，靈活運用這些性質進行推理是解決本題的關鍵．4．（河南省周口市西華縣2021-2022學年九年級上學期期末數學試題）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數量關系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結論；（2）也可以通過證明，得出結論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據，，得到，從而判定，得出結論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質證明結論．【三角形內接矩形模型】1．（人教版九年級27.7相似三角形的應用舉例）如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長________．【答案】【分析】設AM交GF于H點，然后根據相似三角形的判定與性質求解即可．【詳解】解：如圖，設高AM交GF于H點，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設正方形的邊長為，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，理解相似三角形的基本性質是解題關鍵．2．（【區(qū)級聯考】吉林省長春市南關區(qū)2019屆九年級上學期期末考試數學試題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點B運動．過點P作PD⊥AB交折線AC﹣CB