【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修五導(dǎo)學(xué)案：《數(shù)列的函數(shù)特性》

第2課時(shí)數(shù)列的函數(shù)特性1.了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系,能用函數(shù)的觀點(diǎn)爭(zhēng)辯數(shù)列.2.能推斷數(shù)列的單調(diào)性,并應(yīng)用單調(diào)性求最大(小)項(xiàng).3.會(huì)由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出其通項(xiàng)公式.寫出數(shù)列0,2,4,6,8,…的通項(xiàng)公式an=2n-2后,發(fā)覺(jué)an=2n-2與一次函數(shù)f(x)=2x-2有相像之處,只不過(guò)是自變量從x換到了n,數(shù)列也可看成一種函數(shù).問(wèn)題1:數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)?或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的挨次依次取值時(shí),對(duì)應(yīng)的一列.

問(wèn)題2:假如數(shù)列{an}的第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)已知,并且數(shù)列{an}的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)式子就叫作這個(gè)數(shù)列的,一般記作為.

問(wèn)題3:一般地,一個(gè)數(shù)列{an},假如從起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng),即,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列.假如從起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng),即,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列.假如數(shù)列{an}的各項(xiàng),那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列.

問(wèn)題4:任意數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)若Sn=a1+a2+a3+…+an,則an=.

1.下面四個(gè)結(jié)論:①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域在正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù);②數(shù)列若用圖像表示,從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn);③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的;④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.其中正確的是().A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n,則數(shù)列{an}各項(xiàng)中最小項(xiàng)是().A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng) C.第6項(xiàng) D.第7項(xiàng)3.在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中,自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀看表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白()內(nèi).

年齡(歲)3035404550556065收縮壓(水銀柱/毫米)110115120125130135()

145舒張壓(水銀柱/毫米)707375788083()

884.數(shù)列{an}中,已知an=2n+1-3.(1)寫出a3,a4;(2)253是否是數(shù)列的項(xiàng)?假如是,是第幾項(xiàng)?考查數(shù)列的函數(shù)特性對(duì)于數(shù)列{an},a1=4,an+1=f(an),n∈N+,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2021.已知Sn求an已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式,分別求{an}的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.數(shù)列中的最值問(wèn)題設(shè)an=-n2+10n+11(n∈N+),則數(shù)列{an}從首項(xiàng)起到第幾項(xiàng)的和最大?給定函數(shù)y=f(x),并且對(duì)任意an∈(0,1),由關(guān)系式an+1=f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an+1>an(n∈N+),則該函數(shù)的圖像可能是().已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-2n2(n∈N+).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)n≥2時(shí),比較Sn,na1,nan的大小.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(n+1)(1011)n(n∈N+),試問(wèn)數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若無(wú),說(shuō)明理由1.已知an+1-an-3=0,則數(shù)列{an}是().A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)列 D.不能確定2.已知數(shù)列{an}的圖像在函數(shù)y=1x的圖像上,當(dāng)x取正整數(shù)時(shí),則其通項(xiàng)公式為()A.an=1x(x∈R) B.an=1n(n∈NC.an=1x(x∈N) D.an=1n(n∈3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,an+1=Sn+1,n∈N+,則a6=.

4.已知數(shù)列{an}中,an=nn-15.6(n∈N+),求數(shù)列{(2021年·陜西卷)觀看下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.

考題變式(我來(lái)改編):第2課時(shí)數(shù)列的函數(shù)特性學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:正整數(shù)集N+函數(shù)值問(wèn)題2:遞推公式an=f(an-1)(n≥2)問(wèn)題3:第2項(xiàng)an+1>an第2項(xiàng)an+1<an都相等問(wèn)題4:S基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A由數(shù)列的概念及數(shù)列的函數(shù)特性知,①②正確,故應(yīng)選A.2.B由an=3n2-28n知通項(xiàng)公式是一個(gè)二次函數(shù),對(duì)稱軸是-b2a=--282×3=143=423,5離43.14085觀看上表規(guī)律,收縮壓每次增加5,舒張壓相應(yīng)增加3或2,且是間隔消滅的,故應(yīng)填140,85.4.解:(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,則2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7項(xiàng).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,該數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列,所以a2021=a3=5.【小結(jié)】通過(guò)求數(shù)列的前幾項(xiàng),發(fā)覺(jué)規(guī)律,找到周期是本題的關(guān)鍵.探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-5,由于a1也適合此等式,所以an=4n-5.(2)a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2·3n-1,由于a1不適合此等式,所以an=1【小結(jié)】利用an=Sn-Sn-1(n≥2)來(lái)求an的方法也可以叫作公式法.探究三:【解析】an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴當(dāng)n=5時(shí)an最大,∴從首項(xiàng)起到第5項(xiàng)的和最大.[問(wèn)題]an最大是從首項(xiàng)起到第n項(xiàng)的和Sn最大嗎?[結(jié)論]由于審題不清,錯(cuò)把-n2+10n+11當(dāng)成Sn,從而利用二次函數(shù)學(xué)問(wèn)得到:n=5時(shí),取最大值明顯不合題意.于是,正確解答為:由an=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.即a1,a2,…,a10>0,a11=0,當(dāng)n≥12時(shí),an<0.∴從首項(xiàng)起到第10項(xiàng)或第11項(xiàng)的和最大.【小結(jié)】這是一道易錯(cuò)題,審題要清楚,深刻理解通項(xiàng)公式an是關(guān)于n(n∈N+)的函數(shù).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:A由an+1=f(an),an+1>an?f(an)>an,此式說(shuō)明白對(duì)于函數(shù)y=f(x)圖像上的任一點(diǎn),(an,f(an))都有縱坐標(biāo)f(an應(yīng)用二:(1)由an=S解得an=5-4n.(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴nan=5n-4n2,∴na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.又∵Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,∴na1>Sn>nan.應(yīng)用三:(法一:作差法)∵an+1-an=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴數(shù)列{an}有最大項(xiàng),為第9,10項(xiàng).(法二:作商法)∵an+1an=當(dāng)n<9時(shí),10n+20>11n+11,an+1an>1,即an+當(dāng)n=9時(shí),10n+20=11n+11,an+1an=1,即an+當(dāng)n>9時(shí),10n+20<11n+11,an+1an<1,即an+故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴數(shù)列{an}有最大項(xiàng),為第9,10項(xiàng).(法三:兩邊夾)假設(shè)an為最大項(xiàng),則a即(n+1∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10項(xiàng)最大.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.A∵an+1=an+3,∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.2.B數(shù)列{an}對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列為(n,an),即有an=1n(n∈N+)3.48當(dāng)n≥2時(shí),an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,兩式相減,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,則a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函數(shù)y=xx-15.6=1+1