《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)：必修部分-開卷速查37-合情推理與演繹推理

開卷速查(三十七)合情推理與演繹推理A級基礎(chǔ)鞏固練1．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是()A．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對?x∈R恒成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數(shù)C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面積S＝πabD．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推斷：對一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論，且留意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和等于Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結(jié)論不正確．因此選A.答案：A2．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，則a－b＞0?a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”．其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：①②正確，③錯誤．由于兩個復(fù)數(shù)假如不全是實數(shù)，不能比較大小.答案：C3．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確B.大前提不正確C．小前提不正確D.全不正確解析：由于f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.答案：C4．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1個B.2個C．3個D.4個解析：①②正確；③④⑤⑥錯誤．答案：B5．觀看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)等于()A．f(x)B.－f(x)C．g(x)D.－g(x)解析：由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案：D6．觀看如圖所示的正方形圖案，每條邊(包括兩個端點)有n(n≥2，n∈N*)個圓點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.按此規(guī)律推斷出Sn與n的關(guān)系式為()A．Sn＝2nB.Sn＝4nC．Sn＝2nD.Sn＝4n－4解析：由n＝2，n＝3，n＝4的圖案，推斷第n個圖案是這樣構(gòu)成的：各個圓點排成正方形的四條邊，每條邊上有n個圓點，則圓點的個數(shù)為Sn＝4n－4.答案：D7．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，觀看上述結(jié)果，可推想一般的結(jié)論為__________．解析：由前四個式子可得，第n個不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f(2n)，右邊應(yīng)當(dāng)為eq\f(n＋2,2)，即可得一般的結(jié)論為f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)8．觀看下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第n個等式為__________．解析：每行最左側(cè)數(shù)分別為1、2、3、…，所以第n行最左側(cè)的數(shù)為n；每行數(shù)的個數(shù)分別為1、3、5、…，則第n行的個數(shù)為2n－1.所以第n行數(shù)依次是n、n＋1、n＋2、…、3n－2.其和為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)29．在平面上，我們假如用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標(biāo)邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN，假如用S1，S2，S3表示三個側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是__________．解析：將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al(2,4).答案：Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)＝Seq\o\al(2,4)10．某同學(xué)在一次爭辯性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解析：方法一：(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).方法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°－2α,2)－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1,4)(1－cos2α)＝1－eq\f(1,4)cos2α－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)cos2α＝eq\f(3,4).B級力氣提升練11．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(a＋\f(7,t))＝aeq\r(\f(7,t))(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推想a，t的值，則t－a＝()A．31B.41C．55D.71解析：觀看所給的等式，等號左邊是eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，…，等號的右邊是2eq\r(\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))，…，則第n個式子的左邊是eq\r(n＋1＋\f(n＋1,n＋12－1))，右邊是(n＋1)·eq\r(\f(n＋1,n＋12－1))，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，選B.答案：B12．觀看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B.76C．123 D.199解析：記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11；f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.即a10＋b10＝123.答案：C13．對于命題：若O是線段AB上一點，則有|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點，則有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，將它類比到空間情形應(yīng)當(dāng)是：若O是四周體ABCD內(nèi)一點，則有__________．解析：將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知若O為四周體ABCD內(nèi)一點，則有VO-BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO-ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO-ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO-ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.答案：VO-BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO-ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO-ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO-ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝014．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖①②③④所示為她們刺繡的最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多，刺繡越秀麗．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．①②③④(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并依據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…由上式規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(