【全程復(fù)習(xí)方略】2020年北師版數(shù)學(xué)文(陜西用)課時(shí)作業(yè)：第七章-第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(四十一)一、選擇題1.(2021·西安模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(A)相交 (B)異面 (C)平行 (D)垂直2.已知命題:①若點(diǎn)P不在平面α內(nèi),A,B,C三點(diǎn)都在平面α內(nèi),則P,A,B,C四點(diǎn)不在同一平面內(nèi);②兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi);③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.(2021·渭南模擬)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AC⊥BD，則四邊形EFGH是()(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形 (D)正方形4.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(guò)()(A)點(diǎn)A(B)點(diǎn)B(C)點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)M(D)點(diǎn)C和點(diǎn)M5.給出下列命題:①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線平行;②相互垂直的兩條直線是相交直線;③既不平行也不相交的直線是異面直線;④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(2021·漢中模擬)下列命題中正確的是()①兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影必相交;②與一條直線成等角的兩條直線必平行;③與一條直線都垂直的兩條直線必平行;④與同一個(gè)平面平行的兩條直線必平行.(A)①② (B)①③(C)②④ (D)以上都不對(duì)7.設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線,α,β表示兩個(gè)平面,給出下列命題,其中正確的命題是()①P∈a,P∈α?aα;②a∩b=P,bβ?aβ;③a∥b,aα,P∈b,P∈α?bα;④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b.(A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④8.(力氣挑戰(zhàn)題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線(A)不存在 (B)有且只有兩條(C)有且只有三條 (D)有很多條二、填空題9.已知異面直線a,b所成角為60°,P為空間任意一點(diǎn),過(guò)P點(diǎn)作直線l使l與a,b都成60°角,則這樣的直線l有條.10.已知線段AB,CD分別在兩條異面直線上,M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn),則MN

QUOTE(AC+BD)(填“>”“<”或“=”).11.對(duì)于四周體ABCD,下列命題正確的是(寫(xiě)出全部正確命題的編號(hào)).①相對(duì)棱AB與CD所在直線異面;②由頂點(diǎn)A作四周體的高,其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn);③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高,則這兩條高所在的直線異面;④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線,所得的三條線段相交于一點(diǎn).12.(2021·延安模擬)如圖，正三棱錐A-BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，且QUOTE=QUOTE=λ(λ>0)，設(shè)α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值為.三、解答題13.如圖,在四周體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長(zhǎng)線交于M,RQ,DB的延長(zhǎng)線交于N,RP,DC的延長(zhǎng)線交于K,求證:M,N,K三點(diǎn)共線.14.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2QUOTE,E,F分別是BC,AA1的中點(diǎn).求異面直線EF和A1B所成的角.15.(力氣挑戰(zhàn)題)在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠DAB=60°,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.若E是PB的中點(diǎn),求異面直線DE與PA所成角的余弦值.答案解析1.【解析】選A.直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.2.【解析】選A.當(dāng)A,B,C三點(diǎn)都在平面α內(nèi),且三點(diǎn)共線時(shí),P,A,B,C四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),故①錯(cuò)誤;三棱錐的三條側(cè)棱所在的直線兩兩相交,但三條直線不在同一平面內(nèi),故②錯(cuò)誤;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形也可能是空間四邊形,故③錯(cuò)誤.3.【解析】選C.∵空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，且EH=QUOTEBD，同理可證FG∥BD，EF∥AC，且FG=QUOTEBD，EF=QUOTEAC，∴EHFG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴∠HEF=90°，∴四邊形EFGH為矩形.4.【解析】選D.∵ABγ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.依據(jù)公理3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點(diǎn)C也在γ與β的交線上.5.【解析】選B.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行或異面,故命題①錯(cuò);相互垂直的兩條直線相交或異面,故命題②錯(cuò);既不平行也不相交的直線是異面直線,不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線,命題③④正確,故選B.6.【解析】選D.在正方體A′B′C′D′-ABCD中,AA′與B′C′是異面直線,AA′在平面ABCD中的射影是點(diǎn)A,B′C′在平面ABCD內(nèi)的射影是直線BC,故①錯(cuò);AB,AD與AA′所成的角都是90°,但AB,AD相交于點(diǎn)A,故②③錯(cuò);直線A′D′,A′B′都平行于平面ABCD,但它們相交,故④錯(cuò).7.【解析】選D.當(dāng)a∩α=P時(shí),P∈a,P∈α,但aα,∴①錯(cuò);當(dāng)a∩β=P時(shí),②錯(cuò);如圖,∵a∥b,P∈b,∴P?a,∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α.又a∥b,由a與b確定唯一平面β,但β過(guò)直線a與點(diǎn)P,∴β與α重合,∴bα,故③正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故④正確.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)對(duì)平面性質(zhì)不熟、不擅長(zhǎng)舉出反例是致錯(cuò)的主要緣由.8.【思路點(diǎn)撥】以A1D1,EF,CD為棱構(gòu)造平行六面體解決.【解析】選D.先說(shuō)明“對(duì)于空間內(nèi)任意三條兩兩異面的直線a,b,c,與直線a,b,c都相交的直線有很多條”這個(gè)結(jié)論的正確性.無(wú)論兩兩異面的三條直線a,b,c的相對(duì)位置如何,總可以構(gòu)造一個(gè)平行六面體ABCD-A1B1C1D1,使直線AB,B1C1,DD1分別作為直線a,b,c,在棱DD1的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)M,由點(diǎn)M與直線a確定一個(gè)平面α,平面α與直線B1C1交于點(diǎn)P,與直線A1D1交于點(diǎn)Q,則PQ在平面α內(nèi),直線PM不與a平行,設(shè)直線PM與a交于點(diǎn)N.這樣的直線MN就同時(shí)與直線a,b,c相交.由于點(diǎn)M的取法有無(wú)窮多種,因此在空間同時(shí)與直線a,b,c相交的直線有很多條.依題意,不難得知題中的直線A1D1,EF,CD是兩兩異面的三條直線,由以上結(jié)論可知,在空間與直線A1【變式備選】如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是(A)A,M,O三點(diǎn)共線(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面【解析】選A.連接A1C1,AC,則A1C1∴A1,C1,A,C四點(diǎn)共面,∴A1C平面ACC1A1∵M(jìn)∈A1C,∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1∴A,M,O三點(diǎn)共線.9.【解析】由于l與a,b所成角都是60°,而60°>30°,且120°角的一半也為60°,故這樣的直線l有3條.答案:310.【解析】如圖所示,四邊形ABCD是空間四邊形,而不是平面四邊形,要想求MN與AC,BD的關(guān)系,必需將它們轉(zhuǎn)化到平面來(lái)考慮.取AD的中點(diǎn)為G,再連接MG,NG,在△ABD中,M,G分別是線段AB,AD的中點(diǎn),則MG∥BD,且MG=QUOTEBD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=QUOTEAC,又依據(jù)三角形的三邊關(guān)系知,MN<MG+NG,即MN<QUOTEBD+QUOTEAC=QUOTE(AC+BD).答案:<11.【解析】由四周體的概念可知,AB與CD所在的直線為異面直線,故①正確;由頂點(diǎn)A作四周體的高,當(dāng)四周體ABCD的對(duì)棱相互垂直時(shí),其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn),故②錯(cuò)誤;當(dāng)DA=DB,CA=CB時(shí),這兩條高線共面,故③錯(cuò)誤;設(shè)AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)依次為E,F,M,N,易證四邊形EFMN為平行四邊形,所以EM與FN相交于一點(diǎn),易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線也過(guò)它們的交點(diǎn),故④正確.答案:①④12.【解析】如圖，取線段BC上一點(diǎn)H，使QUOTE=λ，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又∵AC平面AOC，∴BD⊥AC，∵QUOTE=QUOTE=λ，∴EH∥AC，又QUOTE=QUOTE=λ，∴HF∥BD.∴∠HEF就是異面直線EF與AC所成的角，∠HFE就是異面直線EF與BD所成的角，∠EHF就是異面直線BD與AC所成的角，∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=QUOTE，∴α+β=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】(2021·揭陽(yáng)模擬)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1面邊長(zhǎng))都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF與側(cè)棱C1是()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)2【解析】選B.如圖,取AC中點(diǎn)G,連接FG,EG,則FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=QUOTEBC,故∠EFG即為EF與C1C所成的角(或補(bǔ)角),在Rt△EFG中,cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE.13.【證明】∵M(jìn)∈PQ,直線PQ平面PQR,M∈BC,直線BC平面BCD,∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn),即M在平面PQR與平面BCD的交線l上.同理可證:N,K也在l上,∴M,N,K三點(diǎn)共線.14.【解析】取AB的中點(diǎn)D,連接DE,DF,則DF∥A1B,∴∠DFE(或其補(bǔ)角)即為所求.由題意易知,DF=QUOTE,DE=1,AE=QUOTE,由DE⊥AB,DE⊥AA1得DE⊥平面ABB1A1∴DE⊥DF,即△EDF為直角三角形,∴tan∠DFE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴∠DFE=30°,即異面直線EF和A1B所成的角為30°.15.【解析】取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF,∵E為PB中點(diǎn),∴EF∥PA,∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或補(bǔ)角).在Rt△AOB中