2020年新高考數題型詳解：73 組合人教選修

7.3組合

思維導圖

一般地，從n個不同元素中取出m(msn)個元素合成一組,

定義

叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合

(1)組合的恃點是只取不排

組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的，

即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.

(2)組合的特性

特點元素的無序性，即取出的m個元素不講究順序，沒有位置的

要求

(3)相同的組合

根據組合的定義，只要兩個組合中的元素完全相同(不管II原序

如何)，就是相同的組合.

組合

從〃個不同元素中取出必小，加個元素的所

組合散定義及表示有不同組合的個數，叫做從“個不同元素中取

出m個元素的組合數，用符號C麋示.

n(n-iXn-/n+1)

JU積形式c?=

組合數m!

組合數

公式n\

階乘形式cr=

m\(n-m)\

4=CL

備注

題型講解1

題型一組合數及其運用

[例1](1)(2020?浙江高三專題練習)已知用一C+0!=4,則m=()

A.0B.1C.2或3D.3

(2)：2019?廣東高二期末(理))Cf+《+《+...+&：的值等于()

A.7351B.7355C.7513D.7315

(3)：2019?上海財經大學附屬北郊高級中學高二期末)滿足方程的解為

(4)設左〃wN*,且〃之2,求證：kC：=〃C3；

1O

(5)求滿足一C：+-C^+...+-C；<100的正整數/;的最大值；

nnn

【答案】(1)C(2)D(3)x=2或x=5,(4)略;(5)7

【解析】(1)==6當帆=2時成立；當加=3時也成立；

故選：C.

(2)原式等于C+C+G+……+喘=?=7315,故選以

(3)因為C?=6；2,所以根據組合數的性質可得21=X+2或2x+x+2=17,

解得x=2或工=5,經檢驗均符合題意.故答案為：x=2或x=5.

*n\n\

(4)\n-k)\k\~[n-k)\{k-^\

=〃?(〃f!=川

〃T(〃一1一人+1)!(女一1)!

.??當時，kC：=獻丈：

1o

(5)+HP：C；+2C：+…十幾C：vl00〃

nnn

又C：+2C：+…+幾C；；=+<-1+…+"C二:+七二；=〃?2"T

〃?2〃T<100?,即2”T<100又"為正整數..n<7,即正整數n的最大值為：7

【舉一反三】

1.（2019?云南省瀘西縣第一中學高二期中（理））若&=3《|,則〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

3（〃一1）（〃一2）

【解析】因為￡=3C；T，所以〃（〃—1）=，即〃=6故選：C

2

2.（2019?上海高二期末）已知〃，加EN*,下面哪一個等式是恒成立的（）

加

A.黑哈B.A；

（n-m）l

c.c+c-yD.cr+cry

【答案】B

n\

【解析】由組合數的定義可知c：=版八選項錯誤;

n\

由排列數的定義可知A：二E'B選項正確;

由組合數的性質可知G；+￡>=C；,則C、D選項均錯誤.故選B.

3.（2019?上海市延安中學高二期末）計算：。+C；+C；+L+嘲=

【答案】2039190

【解析】C：+C”=C：：；5wV,kwN,k口+1）,

「C+C+C+L+嘲=UW+L+嘲=G+C；++。就=嗡=2039190.

故答案為：2039190.

4.（2919?林芝市第二高級中學高二期末（理））若$=苦”-3,則x的值為

【答案】3或4

【解析】由組合數的公式和性質得彳=2%-3,或產2才-3=9,

得x=3或x=4,經檢驗*=3或x=4都成立，

故答案為：3或4.

%/2=3（,求〃的值.

5.（2017?湖北省松滋市第一中學高二課時練習）（1）已知

C”_35

ex

(2)已知〈求"'〃的值.

【答案】(1)〃=9(2)x=5,w=15

r54

【解析】(1)原方程化為毋+1=3不，變形得5GT=14C3,展開可得:

J.33

(n-l)(?-2)(/?-3)(n-4)(n-5)(;?-3)(?-4)(?-5)

解得(九一=56即n?-3n-54=0,解

5x4x3x2xl-3x2x1

得〃=9或〃=一6(舍去).

(2)?.?3之0,%+1之0,工一120,.?.xNl,由C；=G：7=Cf,J〃一x=2x,〃=3x,由C："=￡c；:

得3(1一3+1)(〃一月=11(%+1)］將〃=3%代入得％=5,則〃=15.

題型二組合概念的判斷

【例2】給出下列問題：

(I)從a6,c,d四名學生中選2名學生完成一件工作,有多少種不同的選法？

(2)從a,b,c,d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作,有多少種不同的選法？

(3)a,仇d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽,共需賽多少場？

(4)&6,c,d四支足球隊爭奪冠亞軍,有多少種不同的結果？

⑸某人射擊8槍,命中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,不同的結果有多少種？

(6)某人射擊8槍,命中4槍,且命中的4槍中恰有3槍連中,不同的結果有多少種？

在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？

【答案】見解析

【解析】(1)2名學生完成的是同一件工作,沒有順序,是組合問題.

(2)2名學生完成兩件不同的工作，有順序,是排列問題.

(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序,是組合問題.

(4)冠亞軍是有順序的,是排列問題.

(5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素,沒有順序,是組合問題.

(6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍,有順序,是排列問題.

【舉一反三】

1.下列問題不是組合問題的是()

A.10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2015個不同的點,它們中任意三點不共線,連接任意兩點可以構成多少條線段？

C.集合｛a,…,a｝的含有三個元素的子集有多少個？

D.從高三(19)班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？

【答案】D

【解析】組合問題與次序無關，排列問題與次序有關,D項中,選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨

唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是兩個不同的選法，因此是排列問題,不是組合問題，選D.

題型三組合的運用一有限制條件

【例3】(2020?全國高三專題練習)某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現從35

種商品中選取3種.

⑴其中某一種假貨必須在內，不同的取法有多少種？

(2)其中某一種假貨不能在內，不同的取法有多少種？

(3)恰有2種假貨在內，不同的取法有多少種？

(4)至少有2種假貨在內,不同的取法有多少種？

(5)至多有2種假貨在內,不同的取法有多少種？

【答案】(1)561；(2)5984；(3)2100；(4)2555；(5)6090.

【解析】(1)從余下的34種商品中，選取2種有告生=561(種)，

???某一種假貨必須在內的不同取法有561種.

(2)從余下的34種可選商品中,選取3種,有U=5984(種).

3x2x1

???某一種假貨不能在內的不同取法有5984種.

(3)從20種真貨中選取1件,從15種假貨中選取2件有=20xl|^i=2100(種).

???恰有2種假貨在內的不同的取法有2100種.

15x1415x14x13

(4)選取2種假貨有4此=20x——=2100種,選取3種假貨叱=..,=455種,共有選取

方式Go*+0=2100+455=25551種).

???至少有2種假貨在內的不同的取法有2555種.

(5燧取3種的總數為C*=35x3;x33=6545,選取3種假貨有黑==455種，因此共有選

3x2x13x2x1

取方式啜一或=6545—455=6090(種).

???至多有2種假貨在內的不同的取法有6090種.

【思路總結】

有限制條件的抽(選)取問題,主要有兩類：

一是“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所I

指元素去掉再取，分步計數；

二是“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不

重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.

I___________________________________I

【舉一反三】

1.(2019?西藏拉薩那曲第二高級中學高二期中)男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，選派5

人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.

(1)任選5人

(2)男運動員3名，女運動員2名

(3)至少有1名女運動員

(4)隊長至少有一人參加

(5)既要有隊長，又要有女運動員

【答案】(1)252(2)120(3)246(4)196(5)191

【解析】(1)男運動員6名，女運動員4名，共10名

10x9x8x7x6

任選5人的選法為:=252

5x4x3x2xl

.?任選5人，共有252種選法.

(2)選派男運動員3名，女運動員2名.

???首先選3名男運動員，有C；種選法,再選2名女運動員，有C：種選法

根據分步計數乘法原理

選派男運動員3名，女運動員2名，共有穹?=120種選法.

(3)至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

???由分類加法計數原理可得有：CC+竊C+CC+CC=246.

至少有1名女運動員有246種選法.

(4)只有男隊長的選法為。選法,只有女隊長的選法為選法

又男、女隊長都入選的選法為C；選法.

共有2《+烯=196種選法.

???隊長至少有?人參加有：196種選法.

（5）當有女隊長，其他人選法任意，共有。種選法，

不選女隊長時,必選男隊長,共有C；種選法，

選男隊長且不含女運動員有C；種選法.

???不比女隊長時共有G種選法.

，既有隊長乂有女運動員共有：C+C-C=191種選法.

題型四分組分配

【例4-1】（2019?固鎮(zhèn)縣第一中學高二月考（理））按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配

方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本,另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15：（6）90.

【解析】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法；

再從利余5本書中選擇2本，有C；種分配方法

剩余的就是2本書,有種分配方法

所以總共有CCC=60種分配方法.

（2）由（1）可知分組后共有60種方法，分別分給甲乙丙后的方法有

CCC&=360種.

（3）從6本書中選擇2本書，有種分配方法；

再從剩余4本書中選擇2本書,有C：種分配方法;

剩余的就是2本書，有C；種分配方法;

所以有盤=90種分配方法.

但是，該過程有重復.假如6本書分別為A、B、C、D、E、F,若三個步驟分別選出的是（48）,（8）,（所）.則

所有情況為（A8,C3,EF）,（A8,E￡C。），（CD,AB,EF）,（C￡>,反,A3）,（EF,AB,CD）,

（EF,CD,AB）.

C；C：C；

所以分配方式共有=15種

（4）由（3）可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人，則分配方法為

=90種

（5）從6本書中選4本書的方法有《種

從剩余2本書中選1本書有C；種

因為在最后兩本書選擇中發(fā)生重復了隹

c4。］

所以息共有一為2=15種

4

（6）由（5）可知,將三種分配情況分別分給甲乙丙三人即可，即

-^xA：=90種.

*

【例4-2）將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子,求下列方法的種數.

（D每個盒子都不空;

（2）恰有一個空盒子；

（3）恰有兩個空盒子.

【答案】（1）10（2）40（3）30

【解析】（1）先把6個相同的小球排成一行,在首尾兩球外側放置一塊隔板,然后在小球之間5個空隙中任選

3個空隙各插一塊隔板,有煜=10（種）.

（2）恰有一個空盒子,插板分兩步進行.先在首尾兩球外側放置一塊隔板,并在5個空隙中任選2個空隙各插

一塊隔板,如010001001,有6種插法,然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒,如10100011001,

有C；種插法,故共有Cl?C；=40(種).

(3)恰有兩個空盒子，插板分兩步進行.

先在首尾兩球外側放置一塊隔板,并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板,有C；種插法,如100100001,然

后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.

①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，

如||00|00001,有點種插法.

②將兩塊板與前面三塊板之一并放,如IoolIloooo,有C種插法.

故共有(C+C；)=30(種).

【思路總結】1

一.不同元素的分組分配

一般地，〃個不同的元素分成夕組，各組內元素數目分別為股，…，咻，其中A組元素數目

C/nnCntn一陽C周〃一冊—應:砌^

相等，那么分組方法數是

AJ

二.(D隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空

隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應著小球放入

盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.

(2)將〃個相同的元素分給切個不同的對象(〃2加，有CT；種方法.可描述為〃一1個空中插入

m—l塊板.

【舉一反三】

1(2018?青海高二月考(理))按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式?

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本：

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本,另外兩份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【答案】(1)60；(2)360；(3)15：(4)90；(5)15：(6)90；(7)30

【解析】(1)無序不均勻分組問題.先選1本有種選法;再從余下的5本中選2本有C；種選法;最后余下的

3本全選有種選法.故共有C《《=6O(種)選法.

（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人，在1題的基礎上，還應考慮再分配，共有

C《《6=360.

（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應是種選法，但是這里出現了重復.不妨記六本書為A,BC

D,E,尸，若第一步取了AB,笫二步取了CO,第三步取了E尸，記該種分法為（AB,CD,￡尸），則

武《仁種分法中還有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）ACD,EF,AB）AEFtCD,AB）,（EF,

AB,CO）,共有用種情況,而這用種情況僅是AB,CD,EF的順序不同,因此只能作為一種分法,故分

配方式有年"

有序均勻分組問題.在3題的基礎上再分配給3個人,共有分配方式缺電■?聞=90（種）.

(4)

A

無序部分均勻分組問題.共有￡§^=15（種）分法.

(5)

4

有序部分均勻分組問題.在5題的基冊上再分配給3個人，共有分配方式與=9（）（種）.

(6)

（7）宜接分配問題.甲選1本有C：種選法，乙從余下5本中選1本有C；種選法，余下4本留給丙有C：種選法,

共有CC屐=30（種）選法.

2.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本，則不同的贈

送方法共有（）

A.4種B.10種

C.18種I）.20種

【答案】B

【解析】由于只剩一本書,且這些畫冊、集郵冊分別相同,可以從剩余的書的類別進行分析.又由于排列、

組合針對的是不同的元素,應從4位朋友中進行選取.

第一類：當剩余的一本是畫冊時，相當于把3本相同的集郵冊和1本畫冊分給4位朋友，只有1位朋友得到

畫冊.即把4位朋友分成人數為1,3的兩隊,有1個元素的那隊分給畫冊，另一隊分給集郵冊，有C：種分法.

第二類：當剩余的一本是集郵冊時,相當于把2本相同的畫冊和2本相同的集郵冊分給4位朋友,有2位朋

友得到畫冊，即把4位朋友分成人數為2,2的兩隊,一隊分給畫冊,另一隊分給集郵冊,有仁種分法.

因此,滿足題意的贈送方法共有C；+&=4+6=10（種）.

3.（2018?黑龍江鶴崗一中高二月考（理））按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（用數字作答）

(1)6個不同的小球放入4個不同的盒子；

(2)6個不同的小球放入4個不同的盒子,每個盒子至少一個小球:

(3)6個相同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至少一個小球;

(4)6個不同的小球放入4個不同的盒子，恰有1個空盒.

【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160

【解析】(1)1=4096；

(C；C：C；C：

⑵C；560；

<66

(3)C；+4=1()；或C；=10；

⑷(c汨C：+

+C1&=2160.

強化練習

1.(2020?云南師大附中高三月考(理))在高中階段,我們學習的數學教材有必修1?5,選修2系列3冊,

選修4系列2冊,某天晚自習小明準備從上述書中隨機取兩冊進行復習，則他今晚復習的兩本均是必修教材

的概率是()

【答案】B

【解析】???“兩本均是必修教材”包含的基本事件個數為C；=^=io,

“從上述書中隨機取兩冊”包含的基本事件總數為0；。=掾=45,

???小明今晚復習的兩本均是必修教材的概率尸=2=］，故選：B.

459

2.(2017?上海華師大二附中高三期中)若組合數。；'二7x個6x彳5，則實數機=

3x2x1

【答案】3或4

【解析】4=手京=6=e，所以，加=3或4.

3x2x13x2xlx4x3x2xl4!x3!

故答窠為：3或4.

3.(2019?江蘇啟東中學高一期中)計算:C；+C；+Cj+C；+C：+...+C：；+C：；=

【答案】1140

【解析】C/C；+C；+C；+C：+...+，

=c：+Cg++Cg++...+c*1g+Gg,

UY=C'

.?.c+《+《+…+G；=《+（《一《）一（點一《）+…+（《。?《）=以=2°：T18=ii4。,

3X4

故答案為1140.

4.（2019?上海高二期末）推廣組合數公式，定義C：='°T）L（'一〃"1）,其中x_R,「wN"，且規(guī)

ml

定C=1.

（1）求C15的值;

。3

（2）設犬＞0,當X為何值時，函數"X）=7-^取得最小值？

C：

【答案】（1）-680；（2）當]=夜時，取得最小值.

(—15)(76)(77)

【解析】（1）由題中組合數的定義得c，==-680：

%3—!寸

（2）由題中組合數的定義得/（%）=1r

因為人＞0,由基本不等式得x+-＞2人，當且僅當“應時,等號成立，

x

a

所以當％=應時，畫7取得最小值.

5.（2019?遼河油田第二高級中學高二期中（理））計算：⑴裔+。落）+解?

（2）C；+-

【答案】（1）-（2）330

6

【解析】（1）原式=（G盆+G1戶隹產小心41=%+41=1+8=]

u

(2)原式=+...+C=+...+c2=C,+Gi=C=330

6.(2019?湖北高二月考)10雙互不相同的襪子混裝在一只口袋中，從中任意抽取4只，求各有多少種情況

出現如下結果.

(1)4只襪子沒有成雙；

(2)4只襪子恰好成雙；

(3)4只襪子2只成雙,另兩只不成雙.

【答案】(1)3360；(2)45；(3)1440.

【解析】(1)*4=3360；

(2)C,；=45；

2

(3)C；OC^2=1440.

7.(2019?周口市中英文學校高二期末(理))一個口袋里裝有7個白球和1個紅球，從口袋中任取5個球.

(1)共有多少種不同的取法？

(2)其中恰有一個紅球,共有多少種不同的取法？

(3)其中不含紅球,共有多少種不同的取法？

【答案】(1)56；(2)35；(3)21

8x7x6

【解析】(1)從口袋里的8個球中任取5個球，不同取法的種數是

3x2x1

(2)從口袋里的8個球中任取5個球,其中恰有一個紅球,可以分兩步完成：

第一步,從7個白球中任取4個白球，有C；種取法；

第二步,把1個紅球取出，有C：種取法.

故不同取法的種數是：CC；=C=G=35

(3)從口袋里任取5個球，其中不含紅球，

只需從7個白球中任取5個白球即可，

7x6

不同取法的種數是C^=c^=—=21.

2x1

8.(2018?海林市朝鮮族中學高二課時練習)將四個編號為1,2,3,4的小球放入四個編號為1,2,3,4的盒

子中.

(1)有多少種放法?

(2)若每盒至多一球,則有多少種放法？

(3)若恰好有一個空盒，則有多少種放法？

(4)若每個盒內放一個球,并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則有多少種放法？

【答案】(1)256；(2)24；(3)144；(4)8

【解析】(D每個小球都可能放入四個盒子中的任何一個,將小球一個一個放入盒子，共有4X4X4X

4=4'=256(種)放法.

(2)這是全排列問題,共有Aj=24(種)放法.

(3)先取四個球中的兩個“捆”在一起,有或種選法,把它與其他兩個球共三個元素分別放入四個盒子中的三

個盒子，有種投放方法,所以共有C/A：=144(種)放法.

(4)一個球的編號與盒子編號相同的選法有C；種，當一個球與一個盒子的編號相同時,用局部列舉法可知其

余三個球的投入方法有2種,故共有C；X2=8(種)放法.

9.(2017?天津高二期末(理))從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：

(I)如果4人中男生和女生各選2人,有多少種選法？

(2)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內，有多少種選法？

(3)如果4人中必須既有男生又有女生,有多少種選法？

【答案】(1)30；(2)91種；(3)120種.

【解析】⑴C；?《二60；

⑵方法1：(間接法)

在9人選4人的選法中,把男甲和女乙都不在內的去掉,就得到符合條件的選法數為：

《—《=91(種)；

方法2：(直接法)

甲在內乙不在內有種，乙在內甲不在內有種，甲、乙都在內有種，所以男生中的甲與女生中的乙至

少有1人在內的選法共有：

2。；+。；=91(種).

(3)方法1：(間接法)

在9人選4人的選法中,把只有男生和只有女生的情況排除掉,得到選法總數為：

《一右一屐=120(種);

方法2：（直接法）

分別按含男1,2,3人分類,得到符合條件的選法總數為：

CC+c；c：+CC=12（）（種）.

10.（1）計算：①以+尊?啜）；

②U+C+c；+c；+U+以；

③C：LC3的值;

（2）某書店有11種雜志,2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志（每種至多買一本,10元

錢剛好用完），則不同買法的種數是（用數字作答）.

【答案】⑴①5006,②32,③〃2+〃；（2）266.

【解析】

⑴①《+*喘=。；+以*=^1+^^=56+4950=5006：

3x2x12x1

②e+C；+《+《+《+C：=2（C；+C+C；）=2G+C?=2X（6+|^）=32（或原式

=25=32）；

③C：'C3=ch?（C：+er）=C；?（1+C；）="+幾（或原式=&.《川=〃（〃+1）=〃2+〃）.

（2）10元錢剛好用完有兩種情況：①5和2元1本的；②4種2元1本的和2種1元1本的.

分2類完成：第1類，買5種2元1本的，有C：種不同買法；

第2類，買4種2元1本的和2種1元1本的，有C；?《種不同買法，

故共有《十仁?瑪=266種不同買法.

11.（2019?江西高安中學高二期中（理））如圖，一個正方形花圃被分成5份.

（1）若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，己知現有紅、黃、藍、綠4種顏色不同的

花,求有多少種不同的種植方法？

（2）若向這5個部分放入7個不同的盆栽,要求每個部分都有盆栽，問有多少種不同的放法？

【答案】（1）96：（2）16800

【解析】（1）先對A部分種植，有4種不同的種植方法；再對B部分種植，有3種不同的種植方法；對C部

分種植進行分類：

①C若與B相同,D有2種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4x3x1x2x2=48種；

②C若與B不同,C有2種不同的種植方法,D有1種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有

4x3x2x1x2=48種.

綜上,共有96種種植方法.

（2）將7個盆栽分成5組，有2種分法：

①若分成2-2-1-1-1的5組，有與品種分法；

②若分成3-1-1-1-1的5組,有4種分法；

將分好的5組全排列,對應5個部分，

12.（2019?北京高二期末）把6本不同的書,全部分給甲，乙,丙三人,在下列不同情形下，各有多少種分法？

（用數字作答）

（I）甲得2本;

（II）每人2本；

（III）有1人4本，其余兩人各1本.

【答案】（I）240種（II）90種（HI）90種

【解析】（I）根據題意，分2步進行分析：

①,在6本書中任選2本,分給甲,有以=15種選法，

②,將剩下的4本分給乙、丙,每本書都有2種分法,則有2X2X2X2=16種分法，

則甲得2本的分法有15X16=240種；

（n）根據題意,分2步進行分析：

C氾6

①，將6本書平均分成3組，有=15種分組方法,

②,將分好的3組全排列,分給甲乙丙三人有d=6種情況，

則有15X6=90種分法；

(III)根據題意，分2步進行分析：

①，在6本書中任選4本,分給三人中1人，有康XC?45種分法，

②,將剩下的2本全排列,安排給剩下的2人,有42=2種情況，

則有45X2=90種分法.

13.(2019?江西景德鎮(zhèn)一中高二期中(理))一次游戲有10個人參加,現將這10人分為5組，每組兩人。

(1)若任意兩人可?分為一組，求這樣的分組方式有多少種？

(2)若這10人中有5名男生和5名女生,要求各組人員不能為同性,求這樣的分組方式有多少種？

(3)若這10人恰為5對夫妻，任意兩人均可分為一組，問分組后恰有一對夫妻在同組的概率是多少？

【答案】(1)945；(2)120種；(3)45.

「2廠2廠2廠2廠2

【解析】(將人平均分為組共有=945;

1)1056

(2)將5名男生視為5個不同的小盒,5名女生視為5個不同的小球，問題轉化為將5個小球裝入5個不同

的盒子,每盒一個球,共有&=120種;

(3)先任選一對夫妻有C；種，再將剩余4對夫妻分組，再將4個丈夫視為4B,C。四個小球,4個妻子分別

視為a,b,c,d四個盒子，

則4個小球裝入4個不同的盒子,每盒一個球,且與自己的字母不同，

有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB、BCDA,DCBA,CDBA,共有9種方法,故不同的分組方法有C*X9=45.

14.按下列要求把12個人分成3個小組,各有多少種不同的分法？

(1)各組人數分別為2,4,6人；

(2)平均分成3個小組；

(3)平均分成3個小組,進入3個不同車間.

【答案】(1)13860：(2)5775：(3)34650.

【解析】(D先從12個人中任選2個人作為一組，有Ci種方法,再從余下的10人中任選4個人作為一組，

有C；0種方法，最后余下的6人作為一組，芍種方法，由分步乘法計數原理，共有C%?；o，口3860種方

法.

（2）:?平均分成3個小組，.:不同的分法有c黑::=5775種.

A；

「4次44

⑶第一步:平均分三組,第二步:讓三個小組分別進入三個不同車間，故有

%

650種不同的分法.

15.（2020?全國高三專題練習）在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到4氏。〃四個不同的

崗位服務,每個崗位至少有一名志愿者.

（1）求甲、乙兩人同時參加力崗位服務的概率；

（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；

（3）求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務的概率.

193

【答案】(1)—(2)—(3)-

40104

足1

【解析】⑴記“甲、乙兩人同時參加力崗位服務”為事件后,那么。（%）=念r=左,

即甲、乙兩人同時參加月崗位服務的概率是‘

40

441

（2）記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務”為事件E,那么尸（E）島'=6,所以甲、乙兩人不在同一

C51U

9

崗位服務的概率是一（后）=1一尸（a=記

（3）因為有兩人同時參加A崗位服務的概率P2=卷多=；,所以僅有?人參加A崗位服務的概率4=1一月

3

-4

16.（2020?浙江高三專題練習）用0,1,2,3,4這五個數字組成無重好數字的自然數.

（1）在組成的五位數中，所有奇數的個數有多少?

（2）在組成的五位數中，數字1和3相鄰的個數有多少?

（3）在組成的五位數中，若從小到大排列,30124排第幾個?

【答案】（1）36個（2）36個（2）49個

【解析】（1）在組成的五位數中，所有奇數的個數有GG6=2x3x6=36個；

（2）在組成的五位數中，數字1和3相鄰的個數有6c用=2x3x6=36個；

（3）要求在組成的五位數中，要求得從小到大排列,30124排第幾個,則計算出比30124小的五位數的情況,

比30124小的五位數,則萬位為1或2,其余位置任意排，即=2x24=48,故在組成的五位數中比

30124小的數有48個,所以在組成的五位數中，若從小到大排列,30124排第49個.

17.（2019?吉林高二期中）從1到7的7個數字中取兩個偶數和三個奇數組成沒有重生數字的五位數.

試問：（1）能組成多少個不同的五位偶數？

（2）五位數中，兩個偶數排在一起的有幾個？

（3）兩個偶數不相鄰且三個奇數也不相鄰的五位數有幾個？（所有結果均用數值表示）

【答案】（1）576；（2）576；（3）144

【解析】（1）偶數在末尾,五位偶數共有（JMA%A3=576個.

（2）五位數中，偶數排在一起的有弓肅A^A'=576個.

（3）兩個偶數不相鄰且三個奇數也不相鄰的五位數有四品^^=144.

181.〔2019?遼河油田第二高級中學高二期中（理））從8名運動員中選4人參加4x100米接力賽,在下列

條件下,各有多少種不同的排法？

（1）甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒：

（2）若甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒；

（3）若甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒；

（4）甲不在第一棒.

【答案】（1）60；（2）480；（3）180；（4）1470

【解析】（1）除甲、乙外還需選擇2人參加接力賽共有種選法

則甲、乙跑中間兩棒共有種排法；另外2人跑另外兩棒共有8種排法

甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒共有：熱片&=60種排法

（2）甲、乙只有一人入選且選另外選3人參加接力賽共有C；C：種選法

甲或乙不跑中間兩棒共有種排法；其余3人跑剩余三棒共有另種排法

???甲、乙兩人只有一人被選且不能跑中間兩棒共有：GCCH=480種排法

（3）除甲、乙外還需選擇2人參加接力賽共有C；種選法

甲乙跑相鄰兩棒,其余2人跑剩余兩棒共有尺田種排法

甲、乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒共有：《68=180種排法

（4）甲不在第?棒則需選擇?人跑第?棒，共有C；種選法

其余三棒共有七種排法

甲不在第一棒共有C；國=1470種排法

19.（2019?江蘇高二期中（理））從5本不同的科普書和4本不同的數學書中選出4本，送給4位同學，每

人1本，問：

（1）如果科普書和數學書各選2本，共有多少種不同的送法？（各問用數字作答）

（2）如果科普書甲和數學書乙必須送出，共有多少種不同的送法？

（3）如果選出的4本書中至少有3本科普書,共有多少種不同的送法？

【答案】（1）1440種（2）504種（3）1080種

【解析】（1）從5本科普書中選2本有鬣種選法,從4數學書中選2本有廢種選法,再把4本書給4位同學

有父種，

所以科普書和數學書各選2本,共有廢廢用=1440種不同的送法.

（2）因為科普書甲和數學書乙必須送出，所以再從其余7本書選2本有行種,再把4本書給4位同學有川種,

所以共有=504種不同的送法.

（3）選出4本科普書有箱種,選出3本科普書有戲盤種，再把4本書給4位同學有川種,所以至少有3本科

普書的送法為（仁+磴盤）*=1080種.

20.（2019?無錫市第一中學高二期中（理））現有4個不同的球，和4個不同的盒子，把球全部放入盒內.

（1）共有多少種不同的方法？

（2）若每個盒子不空，共有多少種不同的方法？

（3）若恰有一個盒子不放球，共有多少種放法？

（4）若恰有兩個盒子不放球，共有多少種放法？

【答案】（1）256（2）24（3）144（4）84

【解析】（1）將4個不同的球放入4個不同的盒子，則共有4二256種不同的放法,

(2)將4個不同的球放入4個不同的盒子,若沒個盒子不空,則共有A：=24種不同的放法，

(3)將4個不同的球放入4個不同的盒子,恰有一個盒子不放球,則共有C：C：&=144種不同的放法，

(4)將4個不同的球放入4個不同的盒子，恰有兩個盒子不放球,則共有C：1C：)=84種不同的放

法，

21.(2019?江蘇高二月考)A(1)AB,CD,七五人站一排，8必須站4右邊，則不同的排法有多少種；

(2)晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，