專題6.6 線段與動(dòng)點(diǎn)、角的旋轉(zhuǎn)-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（人教版2024）（解析版）

第第頁專題6.6線段與動(dòng)點(diǎn)、角的旋轉(zhuǎn)【八大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1距離和差】 1【題型2距離倍分】 5【題型3距離相等】 10【題型4動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)位置突變】 16【題型5雙動(dòng)點(diǎn)位置突變】 22【題型6單角突變——一邊旋轉(zhuǎn)】 28【題型7單角突變——兩邊旋轉(zhuǎn)】 34【題型8圖形旋轉(zhuǎn)】 41【題型1距離和差】【例1】（2024七年級(jí)·全國·競賽）如圖，A,B分別是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為a,b，那么MN=．【答案】b?a【分析】本題主要考查了線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，明確各線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由中點(diǎn)的定義可得：MC=12AC,CN=【詳解】解：∵點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，∴MC=1∵點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為a,b，∴AB=b?a∴MN=MC+CN=12AC+故答案為：b?a2【變式1-1】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為?3、1，若BC=2，則AC等于（）A．6 B．2 C．3或5 D．2或6【答案】D【分析】此題畫圖時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為?3、1，∴AB=4．第一種情況：C在線段AB的延長線上，如圖，∵BC=2，∴AC=4+2=6；

第二種情況：C在線段AB上，如圖，AC=4?2=2．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差運(yùn)算，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·天津和平·期末）已知線段AB=a，CD=b，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)）．(1)若a、b①當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AC=；②M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，當(dāng)BC=4時(shí)，求MN的長；(2)當(dāng)線段CD運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)距離B點(diǎn)一個(gè)單位長度時(shí)，若有一點(diǎn)P在D點(diǎn)右側(cè)且位于線段AB的延長線上，試求PA+PB?PC?PD的值．【答案】(1)①AC=6；②MN=9；(2)8或4【分析】（1）①本題考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平方非負(fù)性求出a，b得值；②本題考查了線段得和差，解題的關(guān)鍵是正確畫圖，注意兩種情況；（2）本題考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是正確畫圖，注意兩張情況．【詳解】（1）解：a?122∴a?12=0,b?6=0，∴a=12,b=6，①當(dāng)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，∴AC=AB?CD=6；②如下圖1，∵M(jìn)、N分別為線段AC,BD的中點(diǎn)，∴AM=1∴MN=AD?AM?DN=12+6+4?8?5=9；如上圖2，∵M(jìn)、N分別為線段AC,BD的中點(diǎn)，∴AM=1∴MN=AD?AM?DN=12+6?4?4?1=9；（2）如下圖，由題意得：∵PA=AB+BP=12+BP,PC=CD?BD+BP=6?1+BP=5+BP,PD=BP?BD=BP?1，∴PA+PB?PC?PD=12+BP+BP?BP?5?BP+1=8；如下圖，∵PA=AB+BP=12+BP,PC=CD+BD+BP=6+1+BP=7+BP,PD=BP+BD=BP+1，∴PA+PB?PC?PD=12+BP+BP?BP?7?BP?1=4．【變式1-3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）已知線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動(dòng)，M為AC的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)，線段MN的長為b，則線段CD的長為（用a，b的式子表示）．【答案】a?2b/?2b+a【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段CD的長度即可．【詳解】解：∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)，∴MA=MC=12AC∵線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動(dòng)，∴分以下5種情況說明：①當(dāng)DC在AB左側(cè)時(shí)，如圖1，MN=DN?DM==即2MN=BD?2DC?AC，2MN=BD?DC?AC?DC，∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，MN=MC+CN==即2MN=AC+AB?2DC2MN=DC+AB?2DC∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；③當(dāng)DC在AB內(nèi)部時(shí)，如圖3，MN=MC+CN==即2MN=AC?BD+2BC2MN=AC+BC?BD+BC∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；④當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得：CD=a?2b；⑤當(dāng)DC在AB右側(cè)時(shí)，同理可得：CD=a?2b；綜上所述：線段CD的長為a?2b．故答案為：a?2b．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出對應(yīng)情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運(yùn)用．【題型2距離倍分】【例2】（23-24七年級(jí)·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D是線段AB上兩點(diǎn)，M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①若AD=BM，則AB=3BD；②AC=BD；則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；其中正確的有【答案】①②③【分析】由AD=BM可得AD=MD+BD，再由線段的中點(diǎn)AD=2BD，即可判斷①；可得AC+CD=CD+BD，再由線段的中點(diǎn)可判斷②；由AC?BD=AD?BC結(jié)合線段的中點(diǎn)可判斷③．【詳解】解：∵AD=BM，∴AD=MD+BD，∵M(jìn)是線段AD的中點(diǎn)，∴MD=1∴AD=1∴AD=2BD，∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正確；∵AC=BD，∴AC+CD=CD+BD，∴AD=BC，∵M(jìn)、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，∴AM=1BN=1∴AM=BN，故②正確；∵M(jìn)、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，∴AD=2MD，BC=2CN，∵AC?BD=AD?BC，∴AC?BD=2MD?2CN=2=2MC?DN故③正確；故答案：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)定義，線段的和差；能根據(jù)所求線段或等式用線段和差表示，并由線段中點(diǎn)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24七年級(jí)·安徽宣城·期末）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是1、﹣3，若AB＝2AC，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（

）A．3或﹣1 B．9或﹣7 C．0或﹣2 D．3或﹣7【答案】A【分析】由已知可得AB＝4，分點(diǎn)C在A左邊和點(diǎn)C在A右邊兩種情況來解答．【詳解】解：AB＝1﹣（﹣3）＝4，當(dāng)C在A左邊時(shí)，∵AB＝2AC，∴AC＝2，此時(shí)點(diǎn)C表示的數(shù)為1﹣2＝﹣1；當(dāng)點(diǎn)C在A右邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C表示的數(shù)為1+2＝3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離；本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．【變式2-2】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，A,B,C為直線l上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，AB=2BC，動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度是點(diǎn)N的速度的3倍．在運(yùn)動(dòng)過程中，若要知道MN的長，則只要知道下列哪條線段的長，該線段是（

）

A．AM B．BN C．BM D．CM【答案】D【分析】本題考查了線段的和差關(guān)系，根據(jù)題意可設(shè)BC=a，BN=b，則AB=2a，AM=3b，可求出MN=2a?2b，BM=2a?b，CM=3a?3b【詳解】解：設(shè)BC=a，則AB=2a，∵動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度是點(diǎn)N的速度的3倍，∴AM=3BN，設(shè)BN=b，則AM=3b，∴MN=AB+BN?AM=CM=AB+BC?AM∴MN=2故選：D．【變式2-3】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知AB=24，DE=10，點(diǎn)C為線段AB的三等分點(diǎn)（BC>AC），點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)．(1)若線段DE在線段AB上運(yùn)動(dòng)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C為線段DE的中點(diǎn)時(shí)，BE=；（直接寫出結(jié)果）②M為線段AB上一點(diǎn)，且BM=2BE，CE+DM＝12(2)若線段DE在射線BA上運(yùn)動(dòng)，且2AD+CE=BD，求線段CD的長．【答案】(1)①11；②線段CE的長為4或203(2)線段CD的長為52或21【分析】（1）①利用三等分點(diǎn)的定義求出AC、BC，利用中點(diǎn)定義求出CE，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出BE；②分當(dāng)點(diǎn)D、M在點(diǎn)C的右側(cè)和點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)兩種情況，畫出圖形解答即可求解；（2）分當(dāng)線段DE在線段AB上、點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在線段AB上和線段DE在線段BA的延長線上三種情況畫出圖形解答即可求解；本題考查了中點(diǎn)定義，三等分點(diǎn)定義，線段的和差，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，畫出圖形，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①如圖1，∵點(diǎn)C為線段AB的三等分點(diǎn)（BC>AC），∴AC=13AB=∵點(diǎn)C為線段DE的中點(diǎn)，∴CE=1∴BE=BC?CE=16?5=11，故答案為：11；②如圖，當(dāng)點(diǎn)D、M在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，設(shè)BE=x，則BE=ME=x，BM=2x，CE=16?x，DM=10?x，AE=24?x，∵CE+DM＝∴16?x+10?x=1解得x=28∴BE=28∴CE=BC?BE=16?28如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，點(diǎn)M在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，設(shè)BE=x，則BE=ME=x，BM=2x，CE=16?x，DM=x?10，AE=24?x，∵CE+DM＝∴16?x+x?10=1解得x=12，∴BE=12，∴CE=BC?BE=16?12=4；∴線段CE的長為4或203（2）解：如圖，當(dāng)線段DE在線段AB上時(shí)，設(shè)AD=x，則CD=8?x，BD=24?x，∴CE=10?8?x∵2AD+CE=BD，∴2x+2+x=24?x，解得x=11∴CD=8?x=8?11如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，設(shè)AD=x，則CD=8+x，BD=24+x，∴CE=8+x?10=x?2，∵2AD+CE=BD，∴2x+x?2=24+x，解得x=13>10，不合，舍去；如圖，當(dāng)線段DE在線段BA的延長線上時(shí)，設(shè)AE=x，則AD=10+x，BD=10+x+24=34+x，CE=8+x，∵2AD+CE=BD，∴210+x解得x=3，∴CD=10+3+8=21；綜上，線段CD的長為52或21【題型3距離相等】【例3】（23-24七年級(jí)·吉林·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是－3，3和1．動(dòng)點(diǎn)P，Q兩同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿A→B→A往返運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿C→B向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少；（2）當(dāng)t=0.5時(shí)，求線段PQ的長；（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PQ的長為________（用含t的式子表示）；（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)到點(diǎn)C的距離相等時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）2；（2）1.5；（3）4-5t或5t-4；（4）47或45或8【分析】（1）先計(jì)算出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再計(jì)算出點(diǎn)Q相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程，進(jìn)而可得答案；（2）利用路程=速度×?xí)r間，分別計(jì)算出當(dāng)t=0.5時(shí)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的路程，即AP和CQ的長，再根據(jù)PQ=AQ－AP計(jì)算即可；（3）分點(diǎn)P、Q重合前與重合后兩種情況，畫出圖形，根據(jù)PQ=AQ－AP（重合前）與PQ=AP－AQ（重合后）列式化簡即可；（4）分點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況，每種情況再分點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C異側(cè)和點(diǎn)C同側(cè)，用含t的代數(shù)式分別表示出CP和CQ，即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）3?(?3)÷6=1，1×1+1=2，所以點(diǎn)Q（2）當(dāng)t=0.5時(shí)，AP=6×0.5=3，CQ=1×0.5=0.5，所以PQ=AQ－AP=AC+CQ－AP=4+0.5－3=1.5；（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)P、Q重合，則6t=t+4，解得：t=4當(dāng)0≤t≤45時(shí)，如圖1，當(dāng)45<t≤1時(shí)，如圖2，故答案為：4－5t或5t－4；（4）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，若P，Q兩點(diǎn)到點(diǎn)C的距離相等，則有如下兩種情況：①點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C兩側(cè)，如圖3，根據(jù)題意，得：4?6t=t，解得：t=4②點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C右側(cè)，此時(shí)P、Q重合，由（3）題得：t=4當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，若P，Q兩點(diǎn)到點(diǎn)C的距離相等，也有如下兩種情況：③點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C右側(cè)，此時(shí)P、Q重合，根據(jù)題意，得：2?6t?6=t，解得：④點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C兩側(cè)，如圖4，根據(jù)題意，得：6t?6?2=t，解得：t=綜上，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)到點(diǎn)C的距離相等時(shí)，t=47或45或8【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離、線段的和差關(guān)系和一元一次方程的解法等知識(shí)，正確理解題意、全面分類、靈活運(yùn)用方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】（23-24七年級(jí)·吉林白山·期末）如圖，直線l上有A，B，C三點(diǎn)，AB=8cm．直線l上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以12cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，15cm/s

(1)當(dāng)t為多少秒時(shí)，點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)？(2)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為多少秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合？(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q右側(cè)，則t為多少秒時(shí)，線段PQ與線段AQ的長度相等？【答案】(1)807(2)803(3)160秒【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，中點(diǎn)的定義，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，（1）由中點(diǎn)定義可得PB=BQ，列出方程可求解；（2）由題意可得AB+BQ=AP，列出方程可求解；（3）根據(jù)題意列出方程可求解；找到正確的數(shù)量關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)，∴PB=BQ，∴8?1解得：t=80∴當(dāng)t為807秒時(shí)，點(diǎn)B是線段PQ（2）當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合時(shí)，則AB+BQ=AP，由題意可得：8+1∴t=80∴當(dāng)t為803秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，且線段PQ與線段AQ的長度相等，∴8+1∴t=160，∴當(dāng)t為160秒時(shí)，線段PQ與線段AQ的長度相等．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期中）已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為?2和4，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x．(1)若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離之和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P(點(diǎn)P在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為1個(gè)單位長度/分、2個(gè)單位長度/分和1個(gè)單位長度/分，則經(jīng)過多長時(shí)間其中一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等．【答案】(1)0或2(2)x=?4或x=6(3)2分或5分或8分【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形即可解決問題；（2）分點(diǎn)P在線段AB的左邊或右邊兩種情況來解答，列出方程即可解決問題．（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分，根據(jù)題意得：t分后點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為?2?t，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為?t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為4?2t，然后分三種情況，列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A、B的對應(yīng)的數(shù)分別為?2，4，∴AB=6，∵P為線段AB的三等分點(diǎn)，∴點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為0或2；（2）解：存在．設(shè)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，∵P點(diǎn)到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離之和為10，∴點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)或B點(diǎn)的右側(cè)，∴?2?x+4?x=10或x+2+x?4=10，解得：x=?4或x=6；（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分，根據(jù)題意得：t分后點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為?2?t，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為?t，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為4?2t，∵點(diǎn)A和點(diǎn)P的速度相同，∴點(diǎn)P始終為點(diǎn)A的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離相等，即PA=PB時(shí)，?t??2?t解得：t=2；當(dāng)點(diǎn)B點(diǎn)A，點(diǎn)P的距離相等，即AB=BP時(shí)，4?2t?解得：t=5；當(dāng)點(diǎn)A到點(diǎn)B，點(diǎn)P的距離相等，即AB=AP時(shí)，?2?t?解得：t=8∴經(jīng)過時(shí)間2分或5分或8分時(shí)，其中一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程在數(shù)軸方面的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深刻把握題意，明確命題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出方程．【變式3-3】（23-24七年級(jí)·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)?12和15，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t>0）．(1)線段AB的長度為______；(2)動(dòng)點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為______；（用含t的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，求t的值：(4)當(dāng)點(diǎn)P，O，Q中一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)（其中兩個(gè)點(diǎn)重合時(shí)除外）的距離相等時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)27(2)15?3t(3)t=6或t=(4)t=3或t=397【分析】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有兩點(diǎn)間的距離，中點(diǎn)的定義，以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程并準(zhǔn)確解方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，即可得到答案；（3）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，列方程?12+2t?15?3t=3（4）由題意可知其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，分三種情況：①O是PQ的中點(diǎn)時(shí)；②P是OQ的中點(diǎn)；③Q是PO的中點(diǎn)；分別求解即可．【詳解】（1）解：AB=15??12故答案為：27．（2）∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，∴Q在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為15?3t，故答案為：15?3t．（3）∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，∴P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為?12+2t，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：27÷2=13.5秒，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：27÷3=9秒，當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，?12+2t?15?3t=3當(dāng)?12+2t?15?3t=3當(dāng)?12+2t?15?3t=?3綜上，當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為3時(shí)，t=6或t=24（4）當(dāng)點(diǎn)P，O，Q中一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)（其中兩個(gè)點(diǎn)重合時(shí)除外）的距離相等時(shí)，即：其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，①O是PQ的中點(diǎn)時(shí)，得15?3t+?12+2t2②P是OQ的中點(diǎn)，得15?3t+02=?12+2t③Q是PO的中點(diǎn)，得?12+2t+02=15?3t綜上，t=3或t=397或【題型4動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)位置突變】【例4】（23-24七年級(jí)·遼寧葫蘆島·期末）2023年6月30日，興城西站正式投入使用，方便了廣大市民的出行，下圖是從北京站始發(fā)，途徑興城西站，開往沈陽南站的D21次列車的部分列車時(shí)刻表，請你仔細(xì)觀察，完成下列問題：(1)興城西站和海城西站之間的車票一共有______種；(2)如圖所示，小明用數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D分別表示興城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原點(diǎn)表示盤錦站，若點(diǎn)A表示的數(shù)為?7，點(diǎn)D表示的數(shù)為5；①當(dāng)點(diǎn)B是線段AD的三等分點(diǎn)（點(diǎn)B離點(diǎn)A較近），點(diǎn)C在線段BD上時(shí)，已知CD=18AD②如果將D21次列車看作數(shù)軸上的一點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，向x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M是線段DP的中點(diǎn)，且DM=3，求點(diǎn)P【答案】(1)12(2)①BC=132；②點(diǎn)P所表示的數(shù)為【分析】本題考查了線段數(shù)量問題，線段的和差計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用；（1）轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量問題，即可求解；（2）①根據(jù)題意得出AD=12，根據(jù)點(diǎn)B是線段AD的三等分點(diǎn)（點(diǎn)B離點(diǎn)A較近），得出AB=13AD=4，進(jìn)而根據(jù)CD=18②因?yàn)辄c(diǎn)M是線段DP的中點(diǎn)，DM=3，則DP=6，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，分當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，分別列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）興城西站和海城西站之間共4個(gè)站點(diǎn)，則車票一共有2×(3+2+1)=12興城西站和海城西站之間的車票一共有12種故答案為：12（2）①因?yàn)辄c(diǎn)A表示的數(shù)為?7，點(diǎn)D表示的數(shù)為5所以AD=12因?yàn)辄c(diǎn)B是線段AD的三等分點(diǎn)（點(diǎn)B離點(diǎn)A較近）所以AB=因?yàn)镃D=1所以CD=因?yàn)锳D=AB+BC+CD所以BC=AD?AB?CD=12?4?3②因?yàn)辄c(diǎn)M是線段DP的中點(diǎn)，DM=3所以DP=6設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，由題意可列方程為：5?x=6解得：x所以點(diǎn)P所表示的數(shù)為?1當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，由題意可列方程為：x?5=6解得：x=11所以點(diǎn)P所表示的數(shù)為11綜上所述，點(diǎn)P所表示的數(shù)為?1或11【變式4-1】（23-24七年級(jí)·河南周口·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為?3和9．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：直接寫出線段AB=__________．(2)情境探究：情境①：當(dāng)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，請你借助直尺在圖1中畫出相應(yīng)的圖形，并寫出線段MN=__________；情境②：當(dāng)點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖2，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，試通過計(jì)算判斷MN的長度是否發(fā)生變化？(3)遷移類比：當(dāng)點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，如圖3，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，直接寫出線段MN的長．【答案】(1)12(2)情境①：圖見解析，6；情境②：MN的長度不變．(3)6【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)，理解中點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求解即可；（2）情境①：先根據(jù)點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)求出AP=BP=6，再根據(jù)M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)求出MP=3，NP=3，然后相加即可；情境②：根據(jù)M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)求出MP=12AP（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義得PM=12AP，PN=【詳解】（1）MN=9??3故答案為：12；（2）情境①：如圖，

∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，∴AP=BP=1∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，∴MP=12AP=3∴MN=MP+NP=6．故答案為：6；情境②：∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，∴MP=12AP∴MN=MP+NP=6．∴MN=MP+NP=1∴MN的長度不變；（3）∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，∴PM=12AP∴MN=PN?PM=1【變式4-2】（23-24七年級(jí)·河南南陽·期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是?4，點(diǎn)B表示的數(shù)是8，P是數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)線段AB的長是________________；(2)如果點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段PB的中點(diǎn)．求MN的長；(3)若點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)且與點(diǎn)A之間的距離是3，當(dāng)點(diǎn)P滿足PC=2PB時(shí)，請直接寫出在數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)．【答案】(1)12(2)6(3)17或5【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出MP=12AP，NP=（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，兩種情況，根據(jù)PC=2PB列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：線段AB的長是8??4（2）∵點(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段PB的中點(diǎn)，∴MP=12AP∴MN=MP+NP=1（3）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，∵點(diǎn)C在點(diǎn)A右側(cè)且與點(diǎn)A之間的距離是3，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為?4+3=?1，∵PC=2PB，∴點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)，∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，x??1解得：x=5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，x??1解得：x=17，綜上：點(diǎn)P表示的數(shù)為17或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程，數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·福建福州·期末）如圖，線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)．點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)若x=5時(shí)，求BM的長；(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2BM?PB是定值嗎?如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由；(3)當(dāng)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，求MN的長度．【答案】(1)19(2)2BM?PB是定值，定值為24(3)12【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和與差．明確線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)x=5時(shí)，AP=2×5=10，則AM=12AP=5（2）由題意知，AM=12AP，BM=AB?AM（3）由題意知，分當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，根據(jù)MN=MP+NP=12AP+BP=12AB【詳解】（1）解：當(dāng)x=5時(shí)，AP=2×5=10，∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，∴AM=1∴BM=AB?AM=19，∴BM的長為19．（2）解：當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2BM?PB是定值；由題意知，AM=12AP∴2BM?PB=2AB?AM∴2BM?PB是定值，定值為24；（3）解：當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1，

圖1由題意知，PN=1∴MN=MP+NP=1當(dāng)P在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，

圖2由題意知，PN=1MN=MP?NP=1綜上所述，MN的長度為12cm．【題型5雙動(dòng)點(diǎn)位置突變】【例5】（23-24七年級(jí)·湖北孝感·期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C是直線l上的三個(gè)點(diǎn)，線段AB＝8厘米．（1）若AB＝2BC，求線段AC的長度；（2）若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過多少秒時(shí)線段PQ的長為5厘來？

【答案】（1）12厘米；（2），經(jīng)過13或1或3秒或9秒時(shí)線段PQ【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分即可得到結(jié)論；（2）由于BC＝4厘米，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PQ的長為5厘米時(shí)，可分四種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P向左、點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)；都可以根據(jù)線段PQ的長為5厘米列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖1，

∵AB＝8厘米，AB＝2BC，∴BC＝4厘米，∴AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4厘米；點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，如圖2，

∵AB＝8厘米，AB＝2BC，∴BC＝4厘米，∴AC＝AB+BC＝8+4＝12厘米；（2）∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴BC＝4厘米，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，PQ＝5厘米．①如果點(diǎn)P向左、點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，

由題意，得：t+2t＝5﹣4，解得t＝13②點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖4，

由題意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；③點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)，如圖5，

由題意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3；④點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)，如圖6

由題意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．綜上所述，經(jīng)過13或1或3秒或9秒時(shí)線段PQ【點(diǎn)睛】此題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系進(jìn)行列方程求解.【變式5-1】（23-24七年級(jí)·黑龍江佳木斯·期末）如圖，直線l上有A、B兩點(diǎn)，AB＝18cm，O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm．（2）若動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝3cm？【答案】（1）12，6．（2）3s或11s【分析】（1）由OA＝2OB，OA+OB＝18，即可求出OA、OB．（2）①分兩種情形當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左邊時(shí)，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝8，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊時(shí)，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AB＝18cm，OA＝2OB，∴2OB+OB＝18cm，∴OB＝6cm，OA＝12cm，故答案分別為12，6．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O左邊時(shí)，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝3，t＝3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O右邊時(shí)，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，t＝11，∴t＝3s或11s時(shí)，2OP﹣OQ＝3cm．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離的概念，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖1，已知線段AE=48cm，點(diǎn)B、C、D在線段AD上，且AB:BC:CD:DE=1:2:1:2(1)BC=__________cm，CD=__________cm；(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿A?B?C?D?E向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，以1cm/s的速度沿E?D?C?B?A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)E后立即以原速返回，直到點(diǎn)①求t為何值，線段MN的長為12cm②如圖2，現(xiàn)將線段AE折成一個(gè)長方形ABCD（點(diǎn)A、E重合），請問：是否存在某一時(shí)刻，以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形面積與以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形面積相等，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16，8(2)①t=12s或20s或36s；②存在，t=8s【分析】本題主要考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，線段等分點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，列一元一次方程解決實(shí)際問題等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是弄清運(yùn)動(dòng)的過程和畫出圖形．（1）根據(jù)比值列方程或直接列乘積式求得結(jié)果；（2）①分為相遇前，相遇后以及M點(diǎn)返回三種情形，通過線段圖列方程求得；②分為相遇前（點(diǎn)M在BC上，N在AD上），此時(shí)CM=AN即可列出方程求得，當(dāng)M點(diǎn)返回時(shí)，點(diǎn)M在AD上，點(diǎn)N在BC上，此時(shí)AM=CN，列出方程求得，【詳解】（1）解：BC=48×21+2+1+2=16故答案是：16，8；（2）①當(dāng)M、N第一次相遇時(shí)，t=48當(dāng)M到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，t=48如圖1，當(dāng)0<t<16時(shí)，2t+12+t=48，∴t=12，如圖2，當(dāng)12<t<24時(shí)，2t?12+t=48，∴t=20，如圖3，當(dāng)24<t<48時(shí)，t=2t?48+12，∴t=36，綜上所述：t=12s或20s或36s；②如圖4，當(dāng)0<t<16時(shí)，由AN=CM得，24?2t=t，∴t=8，如圖5，當(dāng)24≤t<32時(shí)，2t?48=t?24，∴t=24，此時(shí)不構(gòu)成四邊形，舍去綜上所述：t=8s．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，直線l上有AB兩點(diǎn)，AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，

(1)OA=_______cm，OB=_______cm；(2)若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且滿足AC=CO+CB，求CO的長；(3)若動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，P①當(dāng)t為何值時(shí)，2OP?OQ=4；②當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以3cm/s的速度也向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)Q后立即返回，以3cm/s的速度向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)P后再立即返回，以3cm/s的速度向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，如此往返，直到點(diǎn)P，Q停止時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．在此過程中，點(diǎn)M【答案】(1)8，4(2)4(3)①t=85或t=8【分析】本題考查線段的和與差，一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離：（1）由于AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=2OB，則OA+OB=3OB=AB=12（2）根據(jù)圖形可知，點(diǎn)C是線段AO上的一點(diǎn)，可設(shè)CO的長是xcm，根據(jù)AC=CO+CB（3）①分P在線段AO上和P在線段AO的延長線上時(shí)，兩種情況討論求解即可；②求出點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)O到點(diǎn)P，Q停止時(shí)的時(shí)間，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可求解．【詳解】（1）解：∵AB=12cm，OA=2OB∴AB=AO+OB=3OB=12，∴OB=4cm∴OA=2OB=8cm故答案為：8，4；（2）設(shè)CO的長是xcm當(dāng)點(diǎn)C在線段AO上時(shí)，如圖：

則：8?x=x+x+4，解得：x=4當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，如圖：

則：8+x=x+4?x，解得：x=?4（舍去）；故CO的長是43（3）①由題意，得：AP=2t，BQ=t，則：OQ=OB+BQ=4+t，當(dāng)P在線段AO上時(shí)，OP=OA?AP=8?2t，由題意，得：28?2t解得：t=8當(dāng)P在線段AO的延長線上時(shí)，OP=AP?OA=2t?8，由題意，得：22t?8?4+t綜上：t=85或②∵AO=8，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，t=82=4，此時(shí)PQ當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，所需時(shí)間為：8÷2?1∴點(diǎn)M行駛的總路程是3×8=24cm【題型6單角突變——一邊旋轉(zhuǎn)】【例6】（23-24七年級(jí)·湖北荊州·期末）如圖1，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠BOD=50°，OE平分∠BOD，∠EOF=55°，OG平分∠AOF．(1)圖中與∠BOE互補(bǔ)的角是___________；(2)求∠DOG的度數(shù)；(3)如圖2，若射線OM從射線OF的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒時(shí)，OD,OM,OG三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請你直接寫出旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．（旋轉(zhuǎn)過程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考慮小于180°的角）【答案】(1)∠AOE和∠COE(2)80°(3)1或13或25【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義，進(jìn)行判斷即可；（2）利用180°?∠BOD求出∠AOD，利用角平分線求出∠DOE，∠EOF?∠ODE求出∠DOF，∠AOD?∠FOD求出∠AOF，角平分線，求出∠GOF，∠GOF+∠DOF即可得解；（3）分OM平分∠DOG，OG平分∠DOM，OD平分∠GOM三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°,∠DOE+∠COE=180°，∴∠BOE+∠COE=180°，∴∠BOE互補(bǔ)的角是：∠AOE和∠COE；故答案為：∠AOE和∠COE；（2）解：∵∠BOD=50°，∴∠AOD=180°?∠BOD=130°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠EOD=1∵∠EOF=55°，∴∠DOF=∠EOF?∠ODE=30°，∴∠AOF=∠AOD?∠FOD=100°∵OG平分∠AOF，∴∠FOG=1∴∠DOG=∠GOF+∠DOF=80°；（3）解：①當(dāng)OM平分∠DOG時(shí)，∵∠DOG=80°，∴∠DOM=∠DOF+∠FOM=12∠DOG∴∠FOM=10°，∴t=10°÷10°=1；②OG平分∠DOM時(shí)，則：∠GOM=∠DOG=80°，∴∠FOM=∠MOG+∠FOG=80°+50°=130°∴t=130°÷10°=13；③當(dāng)OD平分∠GOM時(shí)：則：∠DOM=∠DOG=80°，∴∠FOM=∠DOF+∠DOM=110°，∴點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)的角度為：360°?∠FOM=250°，∴t=250°÷10°=25；綜上：t的值為：1或13或25．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24七年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，∠AOC=110°，B是射線OA的反向延長線上的一點(diǎn)．現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與射線OB重合為止，若射線OA旋轉(zhuǎn)的速度為每秒10°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts，則當(dāng)射線OA，射線OB，射線OC分別構(gòu)成兩個(gè)相等的角（重合除外）時(shí)，t的值是【答案】4或14.5【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次方程的定義，先根據(jù)平角的定義得到∠BOC=70°，再分當(dāng)∠AOC=∠BOC=70°時(shí)，當(dāng)∠BOA=∠COA=1【詳解】解：∵沒有旋轉(zhuǎn)前∠AOC=110°，∴∠BOC=180°?110°=70°當(dāng)∠AOC=∠BOC=70°時(shí)，則110?10t=70，解得t=4；當(dāng)∠BOA=∠COA=12∠BOC=35°時(shí)，則180°?35°=10t綜上所述，t的值為4或14.5，故答案為：4或14.5．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·浙江紹興·期末）定義：從一個(gè)角（小于180°）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個(gè)角的13，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個(gè)角的“三分角”．如圖1所示，若∠COD=13∠AOB，則

(1)如圖1，已知∠AOD=70°，∠COB=50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求∠COD的度數(shù)．(2)如圖2，已知∠AOB=60°，OD是∠AOB的平分線，射線OC從OA出發(fā)，繞點(diǎn)O以3°/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)∠COD是∠AOB的“三分角”時(shí)，求t的值．【答案】(1)∠COD=30°；(2)t=103秒或【分析】（1）根據(jù)“三分角”的定義及角的和差關(guān)系，列式計(jì)算即可求解；（2）分兩種情況討論，當(dāng)∠AOC=∠AOD?∠COD和∠AOC=∠AOD+∠COD時(shí)，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOD=70°，∠COB=50°，∴∠COD=70°+50°?∠AOB，∵∠COD是∠AOB的“三分角”，∴∠COD=1∴∠COD=120°?3∠COD，∴∠COD=30°；（2）解：∵∠AOB=60°，OD是∠AOB的平分線，∴∠AOD=30°，∵∠COD是∠AOB的“三分角”，∴∠COD=1分兩種情況討論，當(dāng)∠AOC=∠AOD?∠COD=10°，此時(shí)t=10當(dāng)∠AOC=∠AOD+∠COD=50°，此時(shí)t=50綜上，t的值為103秒或50【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差關(guān)系，“三分角”的定義，掌握新定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·河北滄州·期中）如圖1，已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個(gè)角中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．(1)一個(gè)角的平分線________這個(gè)角的奇妙線；（填“是”或“不是”）(2)如圖2，∠MPN=60°．①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數(shù)為________；②若射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3°的速度繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠FPN首次等于180°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(s)．當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是【答案】(1)是(2)①20°或30°或40°；②30或40或60【分析】（1）根據(jù)其妙線的定義進(jìn)行判斷即可；（2）①根據(jù)奇妙線的定義分三種情況討論計(jì)算即可；②射線PM是∠FPN的奇妙線，PM在∠FPN的內(nèi)部，PF在∠NPM的內(nèi)部，然后分三種情況求解即可．【詳解】（1）解：一個(gè)角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足奇妙線的定義，故答案為：是；（2）解：①∠MPN=60°，射線PQ是∠MPN的奇妙線，根據(jù)奇妙線的定義分三種情況討論：當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)，∵∠QPN+2∠MPQ=60°，∴∠QPN=60°×2當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)，∵2∠QPN+∠MPQ=60°∴∠QPN=1當(dāng)∠NPM=2∠QPN時(shí)，∵∠MPN=60°，∴∠QPN=1故答案為：20或30或40；②∵射線PM是∠FPN的奇妙線，∴PM在∠FPN的內(nèi)部，∴PF在∠NPM的內(nèi)部；分三種情況：（Ⅰ）如圖，當(dāng)∠NPM=2∠FPM時(shí)，如圖所示：∠FPM=1∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°∴t=90÷3=30s（Ⅱ）如圖，當(dāng)∠FPN=2∠MPN時(shí)，如圖所示：∴∠FPN=2×60°=120°，∴t=120÷3=40s（Ⅲ）當(dāng)∠FPN=2∠NPM時(shí)，如圖所示：∵∠FPN=2×60°=120°，∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°，∴t=180÷3=60s綜上：當(dāng)t為30或40或60時(shí)，射線PM是∠FPN的奇妙線．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下的角的計(jì)算，幾何圖形中的角度計(jì)算，理解題意，列出相應(yīng)的式子求解，是解題關(guān)鍵．【題型7單角突變——兩邊旋轉(zhuǎn)】【例7】（23-24七年級(jí)·四川成都·期末）如圖所示，OA,OB,OC是以直線EF上一點(diǎn)O為端點(diǎn)的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OP,OQ分別與射線OF,OC重合，射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)O順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)（射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止），兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t(1)當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．(2)當(dāng)射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s,t=21s(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3°/s①當(dāng)射線OQ和射線OP重合時(shí)，求∠COQ的值．②當(dāng)∠POQ=70°時(shí)，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．【答案】(1)55(2)15°(3)①135°2【分析】本題主要是考查了角的和差計(jì)算，以及一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意求得∠AOC，當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，∠AOP=∠POC=35°，此時(shí)OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=55°，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間：55÷1=55s（2）求出射線OP、射線OQ旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，畫出圖形，根據(jù)角的和差即可求解；（3）①根據(jù)OP和OQ的轉(zhuǎn)速，即可求解；②設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為ts，則分為2種情況討論：①當(dāng)OP和OQ在未重合之前；②當(dāng)OP和OQ【詳解】（1）解：∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，∴當(dāng)射線OP平分∠AOC時(shí)，∠AOP=∠POC=35°，∴此時(shí)OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∵射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s∴旋轉(zhuǎn)的時(shí)間：55÷1=55s（2）∵射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s,，射線OQ從OC處開始繞點(diǎn)∴t=21s時(shí)，∠COQ=21×4=84°，∵射線OP從OF處開始繞點(diǎn)O逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s∴t=21s時(shí)，∠FOP=21×1=21°如圖，∴∠FOQ=∠FOA+∠AOB+∠BOC?∠COQ=6°，∴∠POQ=∠FOP?∠FOQ=15°；（3）①當(dāng)射線OQ和射線OP重合時(shí)，t=10+20+60∴∠COQ=45②設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為ts當(dāng)OP和OQ在未重合之前，90?t?3t=70，t=5；當(dāng)OP和OQ在重合之后，3t+t?70=90，解得t=40；∵OQ按題目條件射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時(shí)停止，∴.t≤90÷3，即t≤30，∴t=40時(shí)，OQ早已停止運(yùn)動(dòng)，但OP未停止，因此第二種情況t=70．故當(dāng)∠POQ=70°時(shí)，射線OP旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為5秒或70秒【變式7-1】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知：如圖1，∠AOB=30°，∠BOC=4(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OP在∠AOC內(nèi)部，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∠MON的度數(shù)是多少？(3)如圖3，若射線OP從OA開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OQ從OB開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線OP到達(dá)OC后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，以相同速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時(shí)，射線OP，OQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)∠POQ=10°，試求t的值?！敬鸢浮?1)150°(2)75°(3)t的值可為5或10或654或【分析】本題主要考查角度的和差運(yùn)算，涉及一元一次方程的應(yīng)用，角平分線問題，在解題過程中根據(jù)角度的變化進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻撌墙忸}關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠AOB=30°，∠BOC=4（2）根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行求解即可；（3）分四種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OP、OQ同向運(yùn)動(dòng)追及前，當(dāng)OP、OQ同向運(yùn)動(dòng)追及后，當(dāng)OP、OQ反向運(yùn)動(dòng)相遇前，當(dāng)OP、OQ反向運(yùn)動(dòng)相遇后，分別求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵∠BOC=4∴∠AOB=1∵∠AOB=30°，∴∠AOC=5∠AOB=150°．（2）解：∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP∴∠MON=∠POM+∠PON===1∵∠AOC=150°，∴∠MON=75°．（3）解：①當(dāng)OP、OQ同向運(yùn)動(dòng)追上前，∵∠AOQ=∠BOQ+∠AOB=6t°+30°，∠AOP=10t°，∵∠POQ=10°，∴6t+30?10t=10，解得：t=5；②當(dāng)OP、OQ同向運(yùn)動(dòng)追上后，∵∠POQ=∠AOP?∠AOQ，∴10t?6t+30解得：t=10；③當(dāng)OP、OQ相向運(yùn)動(dòng)相遇前，∠POQ=∠COQ?∠COP，∠COP=10t°?150°，∠COQ=150°?30°?6t°=120°?6t°，∴120?6t?10t?150解得：t=65④當(dāng)OP、OQ相向運(yùn)動(dòng)相遇后，∠POQ=∠COP?∠COQ，10t?150?120?6t解得：t=35綜上所述，t的值可為5或10或654或35【變式7-2】（23-24七年級(jí)·江蘇無錫·期末）如圖，若∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，射線OB繞點(diǎn)O以每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞點(diǎn)O以每秒5°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O每秒15°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線OA重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線．【答案】267或17【分析】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，角度的計(jì)算，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．由題意可得，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOA=120°?15°x，∠COA=90°?5°x，∠BOA=20°+10°x，根據(jù)角平分線的定義分四種情況討論，分別解方程求解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為x秒，∵∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，∴在旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOA=120°?15°x，∠COA=90°?5°x，∠BOA=20°+10°x，令∠DOA=120°?15°x=0，∠COA=90°?5°x=0，解得：x=8，x=18．即當(dāng)x=8時(shí)，三條射線停止運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)OC為OB、OD夾角的角平分線時(shí)，∴∠BOC=∠DOC．∴90°?5°x?20°+10°x解得：x=8，此時(shí)∠BOC=∠DOC<0，不合題意；②當(dāng)OD為OC、OB夾角的角平分線時(shí)，∴∠DOC=∠DOB．∴90°?5°x?120°?15°x解得：x=26③當(dāng)OB為OC、OD夾角的角平分線時(shí)，∴∠BOC=∠BOD．∴20°+10°x?解得：x=17④當(dāng)OC為OD、OB夾角的角平分線時(shí)，∴∠BOC=∠COD．∴20°+10°x?解得：x=8；綜上可知，運(yùn)動(dòng)267或174或故答案為：267或17【變式7-3】（23-24七年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，從OA出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)10°，射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從OB出發(fā)，射線OC與OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)到與OD重合時(shí)，OC、OD都停止運(yùn)動(dòng)．(1)猜想：∠AOC+∠AOD=__________°，并說明理由；(2)已知射線OE始終平分∠BOD，射線OF在∠COD內(nèi)，且滿足∠BOD與∠EOF互余．①當(dāng)t=3秒時(shí)，∠EOF=__________°；②在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究∠BOF與∠COF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)180，理由見解析(2)①60；②∠BOF=∠COF，理由見解析【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，余角的定義：（1）根據(jù)題意可得∠AOC=∠BOD，再由∠AOD+∠BOD=180°，即可求解；（2）①根據(jù)題意可得∠AOC=∠BOD=30°，再由余角的定義，即可求解；②根據(jù)題意可得∠AOC=∠BOD=10°×t，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BOE=∠DOE=12∠BOD=5°×t，再由余角的定義，可得∠EOF=90°?∠BOD=90°?10°×t，然后分別求出∠BOF【詳解】（1）解：∠AOC+∠AOD=180°，理由如下：根據(jù)題意得：∠AOC=∠BOD，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOC+∠AOD=180°；故答案為：180（2）解：①當(dāng)t=3秒時(shí)，∠AOC=∠BOD=30°，∵∠BOD與∠EOF互余，∴∠EOF=90°?∠BOD=60°；故答案為：60②∠BOF=∠COF，理由如下：如圖，根據(jù)題意得：∠AOC=∠BOD=10°×t，∵射線OE始終平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=1∵∠BOD與∠EOF互余，∴∠EOF=90°?∠BOD=90°?10°×t，∴∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°?5°×t，∴∠COF=180°?∠AOC?∠BOE=90°?5°×t，∴∠BOF=∠COF．【題型8圖形旋轉(zhuǎn)】【例8】（23-24七年級(jí)·河南信陽·期末）將一副直角三角板按圖1所示擺放在直線AD上（直角三角板OBC直角三角板MON，∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°），保持板OBC不動(dòng)，將三角板MON繞點(diǎn)O以每秒：8°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒．(1)如圖2，當(dāng)t=____秒時(shí)，OM平分∠AOC；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板MON，如圖3，使得OM、ON同時(shí)在直線OC的右側(cè)，猜想∠NOC與∠AOM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（數(shù)量關(guān)系中不能含t）(3)直線AD的位置不變，在三角板MON開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM旋轉(zhuǎn)至射線OD上時(shí)，兩個(gè)三角板停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為多少時(shí)，∠MOC=10°？【答案】(1)2.8125(2)∠NOC?∠AOM=45°，理由見解析(3)t=356【分析】本題考查角的計(jì)算，認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得∠AOM=1（2）根據(jù)題意得∠AON=90°+8°t，進(jìn)而求得．∠NOC=90°+8°t?45°=45°+8°t,，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得∠AOB=2°t，∠AOM=8°t，求得．【詳解】（1）解：∵∠AOC=45°，OM平分∴∠AOM=1∴t=22.5÷8=2.8125，故答案為：2.8125；（2）解：∠NOC?∠AOM=45°，理由如下：∵∠AON=90°+8°t∴∠NOC=90°+8°t?45°=45°+8°t,∵∠AOM=8°t,∴∠NOC?∠AOM=45°；（3）解：∵∠AOB=2°t，∠AOM=8°t，∴∠AOC=45°+2°t∴45°+2°t?8°t=10°或8°t?45°?2°t=10°解得t=356【變式8-1】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·期末）如圖1，將一副直角三角板擺放在直線AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON），∠OBC=∠MON=90°，∠BOC=45°，∠MNO=30°，保持三角板OBC不動(dòng)，將三角板MON繞點(diǎn)O以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0<t<9）秒．

計(jì)算

當(dāng)OM平分∠BOC時(shí)，求t的值；判斷

判斷∠MOC與∠NOD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；操作

若在三角板MON開始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板OBC也繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角板MON停止時(shí)，三角板OBC也停止，直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，∠MOC與∠NOD的數(shù)量關(guān)系．【答案】計(jì)算：2.25；判斷：當(dāng)0<t≤4.5時(shí)，∠NOD?∠MOC=45°，當(dāng)4.5<t<9時(shí)，∠NOD+∠MOC=45°；操作：∠MOC=【分析】本題主要考查角度的和差關(guān)系和角平分線性質(zhì)，計(jì)算：根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠BOM=12∠BOC，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度即可