冪級數(shù)的應(yīng)用

冪級數(shù)的應(yīng)用一、歐拉公式之前我們討論過級數(shù)當(dāng)x為任何實(shí)數(shù)時，級數(shù)的和函數(shù)為ex，即收斂域?yàn)椋?lt;x<+∞．那么當(dāng)x為復(fù)數(shù)時，情況如何呢？考察下列級數(shù)其中z=x+yi，x,y為實(shí)數(shù)，一、歐拉公式在復(fù)變函數(shù)理論中可以知道，級數(shù)

在復(fù)平面上是絕對收斂的，其和函數(shù)定義為ez，即當(dāng)y=0時，z=x，這時

表示函數(shù)ex．當(dāng)x=0時，z=yi，這時有一、歐拉公式由于一、歐拉公式因此有這就是歐拉（Euler）公式．同理可得將兩式分別相加，相減可推出這兩個公式也稱為歐拉公式．二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用如果函數(shù)f(x)有展開式則在區(qū)間(x0-R,x0+R)上，有求得多項(xiàng)式Pn(x)的函數(shù)值，即為f(x)函數(shù)值的近似值．二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用我們可以采取下列步驟來計(jì)算某數(shù)A的近似值：（1）選擇一個函數(shù)f(x)，使A=f(x1)；（2）選取某點(diǎn)x0，使f(k)(x0)容易求出(k=0，1，2，…)，并使|x1－x0|盡可能的??；（3）令t=x－x0，即x=x0+t，把f(x0+t)展成t的冪級數(shù)，設(shè)為二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用當(dāng)t=t1=x1－x0時，得（4）根據(jù)精確度的要求，適當(dāng)選定n，按計(jì)算A的近似值．這里，A與Pn(t1)相差余項(xiàng)

稱為用Pn(t1)表示A的截?cái)嗾`差．在計(jì)算A的值時，還有因四舍五入而產(chǎn)生的舍入誤差．因此，求A的近似值時，應(yīng)使這兩種誤差之和滿足精確度的要求．二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用求

的近似值，誤差不超過10－4．解令

，則A=f(245)．因35=243，故取x0=243．令t=x－243，t1=x1－x0=2，【例1】二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用利用二項(xiàng)展開式，有當(dāng)t=t1=2時，得取前兩項(xiàng)的和作為A的近似值，由于這是一個交錯級數(shù)，故截?cái)嗾`差二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用計(jì)算取5位小數(shù)，再四舍五入，保證計(jì)算誤差小于10－4，得A≈3.00494≈3.0049．二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用計(jì)算積分

的近似值，精確到0.00001．

解先求積分

的冪級數(shù)展開．

由ex的冪級數(shù)展開得【例3】二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用計(jì)算sin18°的近似值，誤差不超過10－4．分析可以用sinx的冪級數(shù)計(jì)算sin18°的近似值．首先應(yīng)將18°化為弧度在sinx的冪級數(shù)展開式中，取

，并結(jié)合允許誤差取有限項(xiàng)，即可得到的sin18°的近似值．【例2】二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用

解解這是一個交錯級數(shù)．若取前兩項(xiàng)，得截?cái)嗾`差為最后得出二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用在上式兩邊逐項(xiàng)積分，得在上式中令x=0.2得因?yàn)榈谒捻?xiàng)所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值．二、冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算上的應(yīng)用思考