微積分基本定理

微積分基本定理微積分基本定理通過第一節(jié)的例子可知，如果按定義來計算定積分，那是十分困難的.本節(jié)將介紹一種計算定積分的簡便有效的方法——微積分基本定理，它把定積分與不定積分兩個不同的概念聯(lián)系起來，把定積分的計算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的原函數(shù).這很好地解決了定積分的計算問題，從而使定積分得到了十分廣泛的應用.一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系為了討論質(zhì)點在變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)間的聯(lián)系，有必要沿質(zhì)點的運動方向建立坐標軸.設時刻t時質(zhì)點所在位置st，速度vtvt≥0.

已知質(zhì)點在時間間隔T1,T2內(nèi)經(jīng)過的路程可以用速度函數(shù)vt在T1,T2上的定積分一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系來表示；另一方面，這段路程又可通過位置函數(shù)st在區(qū)間T1,T2上的增量sT2－sT1

來表示.由此可見，位置函數(shù)st與速度函數(shù)vt有如下關(guān)系：因為s′t=vt，所以上式表示，速度函數(shù)vt在區(qū)間T1,T2上的定積分等于vt的原函數(shù)st在區(qū)間T1,T2上的增量.

上述從變速直線運動這個特殊問題中得出來的關(guān)系，在一定條件下具有普遍性.請看下面的分析.

二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，x是［a,b］上的一點，則由(6-1)

所定義的函數(shù)稱為積分上限的函數(shù)(或變上限的函數(shù)).

式(6-1)中積分變量和積分上限有時都用x表示，但它們的含義并不相同，為了區(qū)別它們，常將積分變量改用t來表示，即

二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)Φ(x)的幾何意義是：右側(cè)直線可移動的曲邊梯形的面積.如圖6-6所示，曲邊梯形的面積Φ(x)隨x的位置的變動而改變，當x給定后，面積Φ(x)就隨之確定.圖6-6二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)定理3若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

Φ(x)=∫xaf(t)dt

在［a,b］上可導，且(6-2)二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)又函數(shù)f(x)在點x處連續(xù)，而Δx→0時，ξ→x,所以若x為區(qū)間［a,b］的端點,則只需將上面證明中的x換成a或b,再分別限制Δx>0或Δx<0,即能證明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).

綜上所述,即有這個定理指出了一個重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)f(x)取變上限x的定積分然后求導，其結(jié)果還原為f(x)本身.

二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例5】【例6】二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例7】二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例8】設f(x)在區(qū)間I上連續(xù),且u(x),v(x)皆可導,證明三、牛頓-萊布尼茲公式

定理3是在被積函數(shù)連續(xù)的條件下證明的，因此有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)，也可得如下定理.

三、牛頓-萊布尼茲公式定理4若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)Φ(x)=∫xaf(t)dt就是f(x)在［a,b］上的一個原函數(shù).

由定理4知，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，并且可以通過原函數(shù)來計算定積分.三、牛頓-萊布尼茲公式定理5若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的一個原函數(shù)，則

∫baf(x)dx=F(b)－F(a).(6-3)

式(6-3)稱為牛頓-萊布尼茲公式.三、牛頓-萊布尼茲公式證已知函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)定理2知，

Φ(x)=∫xaf(t)dt

也是f(x)的一個原函數(shù)，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而

Φ(a)=∫aaf(t)dt=0，所以F(a)=C，故

∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)，在上式中再令x=b，即得公式(6-3).該公式也常記為

∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)－F(a).三、牛頓-萊布尼茲公式當a>b時，牛頓-萊布尼茲公式仍成立.注由于f(x)的原函數(shù)F(x)一般可通過求不定積分求得，因此，牛頓-萊布尼茲公式巧妙地把定積分的計算問題與不定積分聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個原函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的增量問題