信號與系統(tǒng)4電子課件

第4章離散時間傅里葉分析4.1周期序列的傅里葉級數分析4.2非周期序列的傅里葉變換分析4.3離散傅里葉變換（DFT）4.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)*4.5數字濾波器——FIR濾波器4.1周期序列的傅里葉級數分析4.1.1離散傅里葉級數(DFS)DFS展開式任意一個連續(xù)周期信號都可以分解為正弦信號的疊加。對于離散周期信號而言，這個結論仍然成立，即任意一個離散周期信號都可以分解成離散正弦信號的疊加，這就是離散傅里葉級數。先看一個具體例子，圖4.1(a)是由兩個單位樣值和零樣值構成的周期為4的離散周期方波信號4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/142/994.1周期序列的傅里葉級數分析不難驗證該周期序列可以由圖4.1(b)(c)(d)所示的三個序列疊加而成，即有4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/143/994.1周期序列的傅里葉級數分析為了便于理論分析，通常將離散周期信號展開成復指數序列形式。為此，利用歐拉公式可將該例的展開式改寫為復指數序列的形式：

一般情況，任一周期為N的離散周期序列xN[n]可展開為有限項復指數序列的和，即上式即為DFS展開式。其中ck是展開式系數，求和下標k=<N>表示求和范圍可取任意一個周期。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/144/994.1周期序列的傅里葉級數分析展開式系數的確定為了確定DFS展開式系數ck，將展開式兩邊同乘，并在一個周期內對n求和稍后將證明當k≠m時,當k=m時。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.4[交換求和順序]

2025/1/145/994.1周期序列的傅里葉級數分析因此，上式對k的求和只有k=m一項非零，其余各項均為零。將該結論帶入上式中可得移項并將變量m換用k表示，則有上式即為DFS展開式系數的確定公式。通常情況下，系數ck是復數，可以表示為模和幅角的形式

|ck|隨k的變化規(guī)律稱為幅頻特性，θk隨k的變化規(guī)律稱為相頻特性。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/146/994.1周期序列的傅里葉級數分析

【例4-1】用前面的系數確定公式求解圖4.1(a)所示周期方波序列的DFS展開式。

【解】周期N=4，求和范圍取[0,3]，可得分別令k=0,1,2,…，可計算出可以看到，DFS展開式系數呈周期變化規(guī)律。取任意一個周期進行疊加4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.4[歐拉公式]

2025/1/147/994.1周期序列的傅里葉級數分析4.1.2DFS的性質

周期序列頻譜ck的特點性質1.周期序列的DFS展開式系數是的周期函數且周期為N

（l為整數）

【證明】根據ck的計算公式有

正是因為的周期性導致DFS的一個重要概念：離散周期序列的傅里葉級數只含有有限項頻率分量。4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/148/994.1周期序列的傅里葉級數分析性質2.若xN[n]為實數周期序列，則ck具有共軛對稱性，即

性質3.

若xN[n]為實數周期序列，則ck的模為k的偶函數，ck的相位（幅角）為k的奇函數，即

性質4.

周期序列xN[n]若為實偶函數，則ck為k的實偶函數。

4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/149/994.1周期序列的傅里葉級數分析4.1.3復指數諧波序列

及其性質性質1.是k的周期函數，且周期為N。

性質2.

是n的周期函數，且周期為N。

性質3.

在任一周期內對n的求和滿足

性質4.當m

≠k

時，和相互正交，即4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1410/994.1周期序列的傅里葉級數分析4.1.4周期序列的頻譜及其特征這里以方波序列為例，討論周期序列頻譜的基本特征。

【例4-2】求圖4.2(a)所示對稱周期方波序列的傅里葉級數系數?！窘狻恐髦祬^(qū)間設為對稱區(qū)間，主值區(qū)間內的xN[n]可表示為

4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.5圖4.2(a)離散周期方波序列(b)離散周期方波序列傅里葉級數系數2025/1/1411/994.1周期序列的傅里葉級數分析

由ck的定義式可知即4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1412/994.1周期序列的傅里葉級數分析由上例和前面介紹的相關性質可以得到以下基本概念。(1)ck隨k的變化描述的是離散時間周期信號的頻域特性(2)離散時間周期信號的頻譜為離散譜(3)離散時間周期信號的頻譜是頻率的周期函數4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1413/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.1離散時間傅里葉變換(DTFT)DTFT正變換任意一個離散時間非周期信號也可以分解為正弦信號的疊加。與連續(xù)時間情況類似，一個周期序列xN[n]在周期N→∞時，將變成非周期序列x[n]，如圖4.3所示。同時xN[n]的譜線間隔(2π/N)→0，即離散譜將趨于連續(xù)譜。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.3(a)周期序列xN[n](b)非周期序列x[n]

2025/1/1414/994.2非周期序列的傅里葉變換分析當N→∞時，ck趨于零(但不等于零)。因而對于非周期序列定義考慮到N→∞時，kΩ1(k2π/N)趨于連續(xù)變量Ω，xN[n]→x

[n]，所以上式變?yōu)?/p>

此式即為非周期序列的離散時間傅里葉變換。它對應于連續(xù)時間信號的傅里葉變換，是離散時間信號的頻域描述，即離散時間信號的頻譜。上式可簡記為4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1415/994.2非周期序列的傅里葉變換分析DTFT逆變換將周期序列傅里葉級數展開式配

Ω1N

/

2π以（乘積為1）：當N→∞時，k2π/N=kΩ1→

Ω，kΩ1→

dΩ，Nck→

X(ejΩ)

，xN[n]→x[n]。同時，由于k的取值周期為N，k2π/N(Ω)的取值周期為2π，上式的求和變?yōu)樵?π區(qū)間上對Ω的積分。因此，當時上式變?yōu)榇耸郊礊榉侵芷谛蛄械碾x散時間傅里葉逆變換，簡記為

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1416/994.2非周期序列的傅里葉變換分析DTFT的收斂條件DTFT正變換是無窮區(qū)間上的求和，存在求和是否收斂的問題。由于因此，如果滿足則求和一定收斂，即x[n]絕對可和是DTFT收斂的充分條件。與連續(xù)時間傅里葉變換的收斂性類似，DTFT的收斂一般有三種情況：(1)當是能量有限信號時，滿足絕對可和條件，DTFT一定收斂。(2)當為功率有限信號時，不滿足絕對可和條件，DTFT不收斂，但引入沖激函數后，存在用沖激函數表示的DTFT。(3)當為增長過快的信號時，DTFT不收斂且也無法表示。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1417/994.2非周期序列的傅里葉變換分析【例4-4】單個對稱方波序列x[n]=u[n+N1]-

u[n

-(N1+1)]的DTFT。

【解】前面求解過周期方波序列的DFS，這里考察單個方波序列的DTFT。是一個實偶函數，當取時其幅相特性曲線如下圖所示。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.4方波序列的DTFT2025/1/1418/994.2非周期序列的傅里葉變換分析【例4-5】單邊指數衰減序列x1[n]=anu[n](|a|<1)的DTFT?！窘狻吭撍p序列是絕對可和的，因此可直接利用DTFT定義式求解。其模和相位分別為

圖4.5繪出了a>0和a<0時的幅頻特性示意圖

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.5單邊指數衰減序列的幅頻特性2025/1/1419/994.2非周期序列的傅里葉變換分析【例4-6】頻域周期沖激函數的DTFT逆變換?！窘狻吭擃l域周期沖激序列如圖4.6所示。由逆變換定義式可得

即，直流序列和頻域周期沖激函數是一對DTFT變換對

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.6頻域周期單位沖激函數δ2π(Ω)

2025/1/1420/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.2DTFT的性質

頻譜函數X(ejΩ)的特點

性質1.周期性

X(ejΩ)是的周期函數，周期為2π，即【證明】在X(ejΩ)的定義式中用Ω±2πl(wèi)替換Ω可得4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1421/994.2非周期序列的傅里葉變換分析

性質2.共軛對稱性若x[n]為實數序列，則X(ejΩ)具有共軛對稱性，即【證明】在X(ejΩ)的定義式兩邊取共軛可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1422/994.2非周期序列的傅里葉變換分析

性質3.

若x[n]是實數序列，則

(1)|X(ejΩ)|為Ω

的偶函數，φ(Ω)是Ω

的奇函數，即

(2)XR(ejΩ)為Ω

的偶函數，XI(ejΩ)是Ω

的奇函數，即

性質4.

若x[n]為n的實偶函數，則X

(ejΩ)為Ω

的實偶函數。

性質5.

若x[n]為n的實奇函數，則X

(ejΩ)為Ω

的虛奇函數。*性質6.若x[n]為n的純虛函數且為奇函數，則

(1)|

X(ejΩ)|仍為Ω

的偶函數，φ(Ω)仍為Ω

的奇函數(2)XR(ejΩ)是Ω的奇函數，XI(ejΩ)是Ω

的偶函數。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1423/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.3DTFT的性質

變換的性質

性質1.線性若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，則

性質2.時移特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則

*性質3.時域差分特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則*性質4.時域求和特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1424/994.2非周期序列的傅里葉變換分析*性質5.時域反轉特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則

性質6.時域卷積定理若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，則【證明】由DTFT和卷積和的定義可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1425/994.2非周期序列的傅里葉變換分析性質7.頻移特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則*性質8.頻域微分特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則*性質9.頻域卷積定理若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，則*性質10.帕斯瓦爾定理若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，則4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1426/994.2非周期序列的傅里葉變換分析*【例4-7】求下列指數序列的DTFT。(1)x2[n]=anu[n-1],|a|<1, (2)x3[n]=x2[n]-x2[-n](3)

x4[n]=x3[n]+δ[n]【解】將例4-5的單邊指數衰減序列和該例的各序列波形繪制于圖4.7中，以便比較它們之間的區(qū)別和相互關系。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.7單邊和雙邊指數衰減序列2025/1/1427/994.2非周期序列的傅里葉變換分析(1)比較圖4.7(a)和(b)的序列波形可知x2[n]=x1[n]-δ[n]，因此

(2)由于x3[n]=x2[n]-x2[-n]，利用線性和時域反轉特性可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1428/994.2非周期序列的傅里葉變換分析(3)由于x4[n]=x3[n]+δ[n]，兩邊取DTFT變換得4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1429/994.2非周期序列的傅里葉變換分析*【例4-8】求離散時間符號函數的DTFT?！窘狻恳蚍柡瘮挡皇墙^對可和序列，直接由定義求解會有困難。考查例4-7中雙邊指數衰減序列。可以看到當a→1時，x4[n]→sgn[n],因此

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1430/994.2非周期序列的傅里葉變換分析*【例4-9】求單位階躍序列u[n]的DTFT。

【解】單位階躍序列可以用直流信號和符號函數表示，即上式兩邊取DTFT4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1431/994.2非周期序列的傅里葉變換分析*【例4-10】DTFT時域求和特性的證明，即證明【解】序列求和等于序列與階躍函數的卷積，即上式兩邊取DTFT，并注意代入例4-9結果，則有4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1432/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.4非周期序列的頻譜及其特征

(1)離散時間非周期信號的頻譜X(ejΩ)為連續(xù)譜“時域的非周期性對應于頻域的連續(xù)性”

(2)離散時間非周期信號的頻譜X(ejΩ)為周期函數，周期為2π“時域的離散性對應于頻域的周期性”

(3)離散非周期信號為實信號時，其頻譜X(ejΩ)具有共軛對稱性“時域的某種對稱性對應于頻域的某種對稱性”

(4)|X(ejΩ)|值的大小不反映頻率分量的幅度大小的絕對值，只反映相對大小。各個頻率分量的實際幅度為無窮小，除非該頻點上出現(xiàn)沖激函數δ(Ω-Ω0)

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1433/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.8方波序列分解為無窮多個幅度無窮小的正弦序列的疊加2025/1/1434/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.5周期序列的傅里葉變換周期復指數序列ejΩ0n的傅里葉變換由例4-6可知，單位直流信號的傅里葉變換為

根據離散傅里葉變換的頻移性質得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1435/994.2非周期序列的傅里葉變換分析一般周期序列的傅里葉變換任意周期序列可以展開為傅里葉級數。上式兩邊同取傅里葉變換得令則4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1436/994.2非周期序列的傅里葉變換分析將上式和連續(xù)時間周期信號的傅里葉變換式比較，可以看見兩式非常相似，但需注意以下幾點。(1)X0(ejΩ)不是離散周期序列的DTFT頻譜，而是其頻譜在[0,π]主值區(qū)間內的函數值。將進行的周期延拓，才構成離散周期序列的頻譜X

(ejΩ)

。ck,X0(ejΩ)和X

(ejΩ)之間的關系參見圖4.9。(2)若要考察周期序列的傅里葉變換頻譜，可以先按照式(4-57)獲得其主值區(qū)間內的頻譜X0(ejΩ)，再進行的周期延拓（即式(4-56)）。(3)X0(ejΩ)的周期延拓事實上就是將主值區(qū)間的ck進行周期延拓。ck本身就是周期的，因此式(4-56)可以用單重求和表達式等價地寫為

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1437/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.9周期序列傅里葉級數系數和傅里葉變換2025/1/1438/994.2非周期序列的傅里葉變換分析傅里葉級數和傅里葉變換之間的關系設x[n]為非周期序列，其傅里葉變換為X

(ejΩ)。將x[n]作周期延拓，則可得一個周期序列xN[n]，重復周期為N，參見圖4.10。周期序列的傅里葉級數系數為非周期序列的傅里葉變換為比較上面兩式知

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.10(a)非周期序列(b)延拓后構成的周期序列2025/1/1439/994.2非周期序列的傅里葉變換分析【例4-11】求圖4.11(a)所示周期單位樣值序列的DTFT?！窘狻渴紫惹笃涓道锶~級數展開式系數根據前面的結論有4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.11(a)周期單位樣值序列(b)周期單位樣值序列的傅里葉變換2025/1/1440/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.6序列內插零和序列抽取的頻譜分析序列內插零和抽取的定義內插零對于給定序列x[n]，M倍內插零后構成的新序列xi[n]定義為

(2)抽取對于給定序列x[n]，M倍抽取后構成的新序列xd[n]定義為x[n]，xi[n]和xd[n]分別如圖4.12(a)，(b)和(c)所示x[n]={…,3,2,1,3,2,1,3,2,1,…}

（M=3）4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1441/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.12序列內插和抽取(a)原序列(b)內插零后序列(c)抽取后序列2025/1/1442/994.2非周期序列的傅里葉變換分析序列內插零后的頻譜由DTFT的定義有

即上式表明，倍內插零后序列的頻譜是原序列頻譜的倍壓縮

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1443/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.13(a)原序列及其頻譜(b)2倍內插零后序列及其頻譜(c)3倍內插零后序列及其頻譜2025/1/1444/994.2非周期序列的傅里葉變換分析序列丟棄零后的頻譜如果將圖4.12(b)中的xi[n]看作原序列，則圖4.12(a)中的x[n]是將xi[n]每丟棄(M-1)個零后取一個樣點而形成的序列。按習慣將原序列記為x[n]，丟棄零后的序列可記為x1[n]

，即有此時x[n]是x1[n]

的M倍內插零，不難由M倍內插零的頻譜可知即倍丟棄零后序列的頻譜是原序列頻譜的倍擴展。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1445/994.2非周期序列的傅里葉變換分析序列“抽樣”后的頻譜定義周期沖激序列p[n]

作為離散時間系統(tǒng)中的理想抽樣函數則抽樣后的信號可以表示為xs[n]=x[n]p[n]

，根據DTFT的頻域卷積定理，抽樣后信號的頻譜為其中p[n]

的DTFT為，由于卷積積分僅包含[0,2π]區(qū)間，因此其求和限可改寫為

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1446/994.2非周期序列的傅里葉變換分析

將P

(Ω)代入頻域卷積式中可得即信號抽樣后頻譜Xs(ejΩ)和抽樣前頻譜X

(ejΩ)之間的關系為原信號x[n]，理想抽樣信號p[n]，抽樣后信號xs[n]，以及抽取去零信號xd[n]的時域及頻域波形如圖4.15所示。如果抽樣間隔M過大，或者x[n]非帶限信號，抽樣后頻譜會發(fā)生混疊。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1447/994.2非周期序列的傅里葉變換分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5圖4.15離散序列的“理想抽樣”(a)原序列x[n]及其頻譜(b)抽樣信號及其頻譜(M=5)(c)抽樣后序列及其頻譜

(d)抽取后序列及其頻譜2025/1/1448/994.2非周期序列的傅里葉變換分析序列抽取后的頻譜序列抽取可以視為分兩步實現(xiàn)的：第一步是序列的“理想抽樣”，即由圖4.15(a)中x[n]的得到圖(c)中的xs[n]；此時的頻譜為：第二步將抽樣后序列xs[n]中介于兩次抽樣之間的零值丟棄，即由圖(c)中xs[n]的得到圖(d)中的抽取序列xd[n]。此時頻譜為：4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5頻譜以間隔2π/M作(M-1)次周期延拓頻譜作M倍的拉伸2025/1/1449/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.1序列頻譜的離散化和DFT的定義長度為N的有限長序列x[n]的頻譜X

(ejΩ)是一個連續(xù)函數，難以用計算機計算，為此可對其進行抽樣。X

(ejΩ)是以2

為周期的周期函數，因此將[0,2

)區(qū)間進行N等分，則實現(xiàn)了間隔為2

/N的等間隔頻域抽樣，參見圖4.16。從而形成如下的離散傅里葉變換（DFT，DiscreteFourierTransform）定義。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.16DTFT的離散化2025/1/1450/994.3離散傅里葉變換(DFT)DFT正變換假定x[n]是僅在[0,N-1]區(qū)間有非零值的有限長序列，其頻譜為X

(ejΩ)。根據前面的思路對其進行離散化，得到的離散抽樣值為：由于對X

(ejΩ)的離散化只產生N個樣點，因此明確的取值范圍后的DFT正變換表達式如下，可簡記為X[k]=DFT{x[n]}

。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1451/994.3離散傅里葉變換(DFT)注意到N點x[n]的DFT結果X[k]也為N點，幾點說明如下

(1)

譜線間隔為2

/N。去除后X[0]的其余譜線關于Ω=

點對稱。(2)X[0]是有限長序列的直流分量，X[1]是基波分量，X[2]是二次諧波分量，依次類推。(3)x[n]含有的最高頻率分量是最靠近但不超過的

譜線X[k]。(4)(

,2

)開區(qū)間內的X[k]是(-

,0)開區(qū)間內負頻率分量平移2

所得。(5)x[n]頻譜的主值區(qū)間不包括Ω=2

處的譜線，因為Ω=2

就是直流分量X[0]。(6)如果x[n]是由連續(xù)時間信號x(t)抽樣而得，抽樣頻率為fs=1/Ts。X(ω)中的模擬頻率ω和X

(ejΩ)中數字頻率Ω之間的關系為Ω=

ωTs，兩條譜線X[k]之間對應的模擬信號頻率間隔為Δf

=fs

/N

。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1452/994.3離散傅里葉變換(DFT)DFT逆變換

將DFT正變換定義式兩邊同乘，并對k值在[0,N-1]區(qū)間內求和，則有變量符號m換為n，并考慮到x[n]只在[0,N-1]區(qū)間取值，可得DFT逆變換表達式如下，可簡記為x[n]=IDFT{X[k]}

。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1453/994.3離散傅里葉變換(DFT)【例4-12】求x[n]=u[n]-u[n-2]的4點DFT?！窘狻吭撔蛄性趎=0和n=1處等于1，其余為0。因此是一個含有兩個樣值的方波序列。根據DFT定義并注意到這里N=4，于是有代入k值得將本例和例4-1比較，可以看到：(1)例4-1中的周期方波序列就是本例單個方波序列作周期為4的周期延拓。注意也恰好是這里計算DFT的點數。(2)本例和例4-1中DFS系數有如下關系DFT和DFS關系的討論將給出上述結論的解釋。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1454/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.2DFT和DFS的關系在DFS性質1的討論中曾給出下式將xN[n]在求和區(qū)間[0,N-1]內的序列記為x[n]，則DFT的定義式為比較上面兩式，可以看到

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1455/994.3離散傅里葉變換(DFT)幾點重要概念和結論

(1)DFT本質上就是DFS（定義式具有相同的形式，只差一個系數）。(2)DFT是利用周期延拓序列xN[n]在[0,2

)區(qū)間內的DFS系數表征連續(xù)頻譜X

(ejΩ)，只是在幅度上相差一個系數。(3)X[k]表面上與非周期序列x[n]構成一對變換對（DFT和IDFT），事實上直接關聯(lián)的是周期序列xN[n]。（DFT的隱含周期性）(4)X[k],X

(ejΩ)和ck之間的關系歸納如下。

DFT和DFTF:

DFT和DFS:DFS和DTFT:

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1456/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.18DFT,DFS及DTFT之間的關系2025/1/1457/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.3周期卷積與圓周卷積引入頻域分析的一個重要成果是將時域的卷積轉變?yōu)轭l域的乘積，即當采用計算機實現(xiàn)數字信號和系統(tǒng)時，自然也希望對DFT也有相應的定理成立。

DFT實質上對應的是x[n]的周期延拓序列xN[n]，并非有限長序列?？梢灶A判X[k]H[k]不可能對應于xN[n]和hN[n]的卷積。因為按照第2章給出的卷積定義（線性卷積）當參與上式計算的兩序列為周期序列時，該卷積是不收斂的。因此，需要重新定義卷積，使得DFT也有相應的時域卷積定理成立。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1458/994.3離散傅里葉變換(DFT)周期序列移位的主值區(qū)間表示當將一個周期序列向左或右平移時，會導致樣值移出或移進DFT定義的[0,N-1]區(qū)間。為了表示主值區(qū)間內的樣值，可用窗函數限定，即

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.24周期序列的移位和取主值2025/1/1459/994.3離散傅里葉變換(DFT)周期卷積如果將兩個周期序列卷積的求和區(qū)間定義為[0,N-1]，顯然求和是收斂的。因此，對于兩個周期均為N的周期序列，可定義如下的卷積運算上述兩個周期序列的卷積常簡稱為周期卷積，可以證明上兩式計算結果相同（即滿足交換律）。周期卷積和線性卷積計算過程相同（反轉、平移、乘積、求和），只是將無窮長周期序列乘積后的求和區(qū)間限定為[0,N-1]，圖4.26示意了周期卷積過程。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1460/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.26周期卷積的說明2025/1/1461/994.3離散傅里葉變換(DFT)周期卷積性質

性質1.周期性

周期卷積后序列仍為周期為N的周期序列，即

性質2.周期卷積與線性卷積的關系

周期卷積等于主值區(qū)間內有限長序列線性卷積的周期延拓，即上式中y[n]為xN[n]和hN[n]主值區(qū)間信號x[n]和h[n]的線性卷積，長度為2N-1，非零值區(qū)間為[0,2N-2]。這意味著，上式中的周期延拓通常都會產生混疊。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1462/994.3離散傅里葉變換(DFT)圓周卷積如果對周期卷積后的周期序列yN[n]取主值區(qū)間[0,N-1]內的樣值，所構成的有限長序列記為yc[n]，即則稱上式為圓周卷積，其中R[n]是前面定義的主值區(qū)間窗函數。性質3.圓周卷積等于線性卷積的條件

設有限長序列x[n]和h[n]的長度分別為Nx和Nh，通過補零構成長度為N且定義在區(qū)間[0,N-1]上的兩個等長序列，則圓周卷積(xN[n]*hN[n])R[n]等于線性卷積x[n]*h[n]的條件為4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1463/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.4DFT的性質

X[k]的特性性質1.周期性X[k]是以N為周期的“周期函數”，即有性質2.共軛對稱性設X[k]=DFT{x[n]}，x[n]若為實數序列，則x[n]若為復數序列，則

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1464/994.3離散傅里葉變換(DFT)性質3.奇偶性若x[n]為實數序列，則X[k]的模是k的偶函數，X[k]的相位是k的奇函數；X[k]的實部是的偶函數，X[k]的虛部是k的奇函數。性質4.帕斯瓦爾定理4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1465/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.5DFT的性質

變換的性質性質1.時域圓周卷積定理

若yc[n]

=

(xN[n]*hN[n])R[n]，則從圓周卷積與線性卷積相等條件的討論可以知道，如果要用DFT求解系統(tǒng)響應，應該遵照下列步驟：(1)取N≥Nx+Nh-1，補零將x[n]和h[n]變成長度為的兩個等長序列；(2)分別求補零后兩個等長序列的N點DFT；(3)求乘積X[k]H[k]；(4)求yc[n]

=

IDFT{X[k]H[k]};(5)在yc[n]中取前Nx+Nh-1個樣值，即為所求響應序列y[n]。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1466/994.3離散傅里葉變換(DFT)性質2.頻移性質

設X[k]=DFT{x[n]}，則在對頻域數據進行移位操作時，多采用上式進行分析。然而，當對時域數據進行形如x[n]ejΩ0n的序列乘法運算時，Ω0很可能小于2/N，即上式中m<1。顯然不再適用，因m必須取整數。對此需重新考慮，即

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5頻域周期位移2025/1/1467/994.3離散傅里葉變換(DFT)DFT的求和范圍限定在[0,N-1]區(qū)間，參與求和計算的非零樣值在平移前后就有可能發(fā)生變化，

需要對不同情況進行討論。x[n]在[0,N-1]區(qū)間內的非零樣值集合表示為set{x[n]}。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.32時域序列右移(a)周期序列，樣值不變；(b)非周期序列，樣值不變；(c)非周期序列，樣值改變；2025/1/1468/994.3離散傅里葉變換(DFT)性質3.時移特性(1)若set{x[n-m]}=set{x[n]}(m>0)(參見圖4.32(b))，則

(2)若set{x[n-m]}≠set{x[n]}(參見圖4.32(c))，則(3)周期序列恒有

set{x[n±m(xù)]}≠set{x[n]}(參見圖4.32(a))，則4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1469/994.3離散傅里葉變換(DFT)性質4.線性性質5.頻域圓周卷積定理性質6.頻域反轉性質

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1470/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.6DFT的譜線間隔分析

X(ejΩ)的頻域抽樣有限長序列x[n]的N點DFT是將X(ejΩ)以間隔為2/N進行的頻域抽樣，本小節(jié)在此基礎上對DFT的譜線間隔作一分析。假設對x[n]的頻譜X(ejΩ)進行理想抽樣，抽樣間隔為Ωs，則頻域理想抽樣信號可表示為：則理想抽樣后頻譜Xs(ejΩ)為

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1471/994.3離散傅里葉變換(DFT)對上式兩邊進行DTFT逆變換，由DTFT的時域卷積定理得上式表明，對x[n]的頻譜X(ejΩ)以間隔Ωs進行理想抽樣，則時域將作周期為2/Ωs的周期延拓。欲使周期延拓后不發(fā)生時域重疊，Ωs應滿足DFT是以剛好不產生時域混疊的抽樣間隔對x[n]的頻譜進行抽樣。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1472/994.3離散傅里葉變換(DFT)4.3.7快速傅里葉變換(FFT)

如果直接按照DFT定義式計算N點的DFT，其運算量一般約需N2次復數乘和N(N-1)次復數加，計算量正比于N2。當N較大時，計算量很大。FFT算法的核心思想利用復指數序列的性質將DFT定義式進行并項和化簡，從而將N點的DFT計算分解為兩個N/2點的DFT計算，并且這種分解可以依次進行下去，直至分解為2點DFT。在闡述FFT算法時，習慣上將復指數序列用稍簡單的符號表示，即令

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1473/994.3離散傅里葉變換(DFT)N點DFT計算分解為兩個N/2點的DFT計算設N為偶數，所有為偶數的點構成一序列x1[n]，所有為奇數的點構成另一序列x2[n]，即根據DFT定義，并考慮到上述的分組，有

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1474/994.3離散傅里葉變換(DFT)即其中X1[k]和X2[k]分別是奇數點序列x1[n]和偶數點序列x2[n]的N/2點DFT。由于DFT的周期性，當k≥N/2時有因此上式將一個N點的DFT分解為兩個N/2點的DFT。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1475/994.3離散傅里葉變換(DFT)蝶形運算結構將這一周期性代入的后半段序列計算中，并進一步化簡有因此，前面的式子可以改寫為

將上式用下列圖形表示，稱之為蝶形運算符。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.33蝶形運算符2025/1/1476/994.3離散傅里葉變換(DFT)引入蝶形運算符后，可以將N點FFT的分解過程用圖形進行描述。N/2點的DFT計算還可以進一步分解為兩個N/4點的DFT，直至分解為2點DFT。可以證明N=2M點的FFT計算量為4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5圖4.36按時間抽取8點FFT算法流程圖2025/1/1477/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.1離散時間系統(tǒng)頻率響應離散時間系統(tǒng)頻率響應的定義離散時間系統(tǒng)的頻率響應定義為系統(tǒng)沖激響應h[n]的DTFT,即由DTFT的時域卷積定理知因此H(ejΩ)是在頻域中對離散時間LTI系統(tǒng)的充分描述。離散LTI系統(tǒng)在指數序列AejΩ0n激勵下的響應仍然是指數序列，只是模和相角受到H(ejΩ0)的修正。因此H(ejΩ)稱為離散時間系統(tǒng)的頻率響應特性。將其寫為極坐標形式則稱|H(ejΩ)|為幅頻特性，稱φ

(Ω)為相頻特性。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1478/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)理想傳輸特性和理想濾波特性理想傳輸是指系統(tǒng)輸入-輸出滿足下列關系兩邊取DTFT有

因此在理想傳輸要求下，系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性應分別滿足理想傳輸要求系統(tǒng)具有恒幅特性和線性相位特性（即相頻特性是過原點的負斜率直線）。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1479/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)理想濾波器當系統(tǒng)能夠對一部分頻段信號實現(xiàn)理想傳輸（即所謂通帶），而對其他頻段信號能徹底地阻斷（即所謂阻帶），則構成所謂的理想濾波器。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5圖4.38離散時間系統(tǒng)的理想特性2025/1/1480/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.2連續(xù)時間頻率和離散時間頻率連續(xù)時間信號的數字處理系統(tǒng)有三個主要環(huán)節(jié)：抽樣、數字處理（廣義數字濾波器）、模擬低通濾波（恢復模擬信號），如圖4.43(a)所示。怎樣理解圖(a)中數字濾波能夠實現(xiàn)與圖(b)中模擬濾波完全等效的功能，包含三個關鍵問題：(1)連續(xù)時間頻率和離散時間頻率之間的關系；(2)連續(xù)時間信號頻譜和離散時間信號頻譜之間的關系；(3)連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應和離散時間系統(tǒng)頻率響應之間的關系。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5圖4.43模擬系統(tǒng)的等效2025/1/1481/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間角頻率的概念可從連續(xù)正弦信號的抽樣過程直接獲得。若以間隔Ts對連續(xù)時間正弦信號sinωt進行抽樣，則抽樣后離散正弦序列為sinωTsn=

sinΩn，因此有如果離散序列來源于對連續(xù)時間信號的抽樣，離散時間頻率的物理含義是連續(xù)時間頻率和抽樣頻率之比。上式在連續(xù)信號頻率和離散信號頻率之間建立了一個映射。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1482/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)

根據最高信號頻率fmax和抽樣頻率fs之間關系，這一映射會出現(xiàn)圖4.44所示的三種情況，其中只有當Ωmax≤

（fmax

≤fs

/2）時（即圖(a)和(b)）才滿足模擬信號數字處理的必要條件：不失真抽樣。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5圖4.44連續(xù)時間頻率和離散時間頻率之間的映射2025/1/1483/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.3連續(xù)時間和離散時間信號頻譜之間的關系設連續(xù)時間信號x(t)帶限于[-ωm,ωm]，理想抽樣后信號xs(t)為兩邊取傅里葉變換得再考慮x(t)抽樣點上樣值構成的離散序列x[n]=x(nTs)（參見圖4.46(a)(e)），其頻譜為比較上面兩式可以看出，序列x[n]的頻譜與對應的連續(xù)時間抽樣后信號xs(t)的頻譜有如下關系4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1484/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5圖4.46連續(xù)信號頻譜和對應的離散序列頻譜之間的關系2025/1/1485/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)由前面3.5節(jié)分析可知理想抽樣后信號xs(t)的頻譜是x(t)頻譜的周期延拓于是有上式即為x(t)頻譜和其抽樣后序列x[n]頻譜之間的關系。由該關系式可以得出如下重要概念：(1)x[n]的頻譜是x(t)頻譜作周期為的周期延拓后，再進行ω=Ω/Ts變量代換構成的。(2)如果x(t)的抽樣滿足不失真抽樣要求，則在x[n]的頻譜中包含一個完整且不失真的頻譜結構，如圖4.46(b)和(f)所示。(3)頻率映射關系ω=Ω/Ts即為連續(xù)時間頻率和離散時間頻率之間的關系。抽樣角頻率ωs映射到2

，最高模擬頻率ωm映射到Ωm。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1486/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.4連續(xù)時間和離散時間頻率響應函數之間的關系如果x(t)和x[n]分別用連續(xù)和離散系統(tǒng)的沖激響應h(t)和h[n]替換，結論同樣成立，即其中H(ω)是連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應，Hs(ω)是對h(t)理想抽樣后信號hs(t)的頻譜，H(ejΩ)是h(t)的抽樣點序列h[n]的頻譜。

在實際應用中，若已知模擬濾波器的H(ω)，不宜用上式確定對應的數字濾波器的?？梢园凑障铝羞^程可以從模擬濾波器得到對應的數字濾波器，這就是數字濾波器設計中的沖激響應不變法的基本原理。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1487/994.4離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5圖4.47連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應和離散時間系統(tǒng)頻率響應之間的關系2025/1/1488/994.5數字濾波

FIR濾波器4.5.1數字濾波的核心原理

脈沖響應不變法數字濾波器的頻率響應函數是對應的模擬濾器頻率響