【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)必修四課時(shí)作業(yè)：3.1.3

3．1．3兩角和與差的正切課時(shí)目標(biāo)1．能利用兩角和與差的正、余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．2．把握兩角和與差的正切公式及變形運(yùn)用．1．兩角和與差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________．(2)T(α－β)：tan(α－β)＝_____________________________________________________．2．兩角和與差的正切公式的變形(1)T(α＋β)的變形：tanα＋tanβ＝____________________________________________________________．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝__________________________________________．tanαtanβ＝_____________________________________________________________．(2)T(α－β)的變形：tanα－tanβ＝____________________________________________________________．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝__________________________________________．tanαtanβ＝______________________________________________________________．一、選擇題1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值等于()A．eq\f(1,7)B．7C．－eq\f(1,7)D．－72．若sinα＝eq\f(4,5)，tan(α＋β)＝1，且α是其次象限角，則tanβ的值是()A．eq\f(4,3)B．－eq\f(4,3)C．－7D．－eq\f(1,7)3．已知tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，則α＋β的值是()A．eq\f(π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(5π,4)D．eq\f(7π,4)4．A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△ABC是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．無法確定5．化簡tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于()A．1B．2C．tan10°D．eq\r(3)tan20°6．在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，則tanAtanB的值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,3)二、填空題7．eq\f(1＋tan75°,1－tan75°)＝________．8．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，則eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值為________．9．假如tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0兩根，則eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝________．10．已知α、β均為銳角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，則tan(α＋β)＝________．三、解答題11．在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，試推斷△ABC的外形．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5)．求tan(α＋β)的值；力氣提升13．已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知銳角三角形ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，sin(A－B)＝eq\f(1,5)．(1)求證：tanA＝2tanB；(2)設(shè)AB＝3，求AB邊上的高．1．公式T(α±β)的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知α、β、α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要留意常值代換如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．要特殊留意tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，tan(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)．3．公式T(α±β)的變形應(yīng)用只要見到tanα±tanβ，tanαtanβ時(shí)，有機(jī)敏應(yīng)用公式T(α±β)的意識(shí)，就不難想到解題思路．3．1．3兩角和與差的正切答案學(xué)問梳理1．(1)eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(2)eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)2．(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β)1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1作業(yè)設(shè)計(jì)1．A2．C3．C4．A[tanA＋tanB＝eq\f(5,3)，tanA·tanB＝eq\f(1,3)，∴tan(A＋B)＝eq\f(5,2)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(5,2)，∴C為鈍角．]5．A[原式＝tan10°tan20°＋eq\r(3)tan20°＋eq\r(3)tan10°＝eq\r(3)(tan10°＋tan20°＋eq\f(\r(3),3)tan10°tan20°)＝eq\r(3)tan30°＝1．]6．B[tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝eq\r(3)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\r(3)，即eq\f(\f(2\r(3),3),1－tanAtanB)＝eq\r(3)，解得tanAtanB＝eq\f(1,3)．]7．－eq\r(3)8．eq\f(2,3)解析∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3)．∴eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq\f(\f(1,9)＋1,\f(2,3)＋1)＝eq\f(2,3)．9．－eq\f(3,2)解析eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3,1＋－3)＝－eq\f(3,2)．10．1解析tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)．∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα．∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1．∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ．∴eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1，∴tan(α＋β)＝1．11．解由tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，得tanB＋tanC＝eq\r(3)(1－tanBtanC)．∴tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝eq\r(3)，又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝eq\f(π,3)．又eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，∴tanA＋tanB＝－eq\f(\r(3),3)(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，又∵A＋B＋C＝π，∴A＝eq\f(2π,3)，B＝C＝eq\f(π,6)．∴△ABC為等腰三角形．12．解由條件得cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5)．∵α，β為銳角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\f(\r(5),5)．因此tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝7，tanβ＝eq\f(sinβ,cosβ)＝eq\f(1,2)．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3．13．解tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(1,3)>0．而α∈(0，π)，故α∈(0，eq\f(π,2))．∵tanβ＝－eq\f(1,7)，0<β<π，∴eq\f(π,2)<β<π．∴－π<α－β<0．而tan(α－β)＝eq\f(1,2)>0，∴－π<α－β<－eq\f(π,2)．∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝1，∴2α－β＝－eq\f(3π,4)．14．(1)證明∵sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，sin(A－B)＝eq\f(1,5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinAcosB＋cosAsinB＝\f(3,5),sinAcosB－cosAsinB＝\f(1,5)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinAcosB＝\f(2,5),cosAsinB＝\f(1,5)))?eq\f(tanA,tanB)＝2，所以tanA＝2tanB．(2)解∵eq\f(π,2)<A＋B<π，sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(3,4)，即eq\f(tanA＋tan