【全程復(fù)習(xí)方略】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-2)課時(shí)作業(yè)-2.3-數(shù)學(xué)歸納法

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十九)數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題(每小題3分，共18分)1.某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n(n+1)<n+1(n∈N*)”的過程如下證明：①當(dāng)n=1時(shí)，明顯命題是正確的；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N*)時(shí)，有k(k+1)<k+1，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<k2+4k+4=(k+1)+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題是正確的.由①②A.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B.假設(shè)的寫法不正確C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密D.當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體【解析】選A.分析證明過程中的②可知，從k到k+1的推理過程中沒有使用歸納假設(shè)，故該證法不能叫做數(shù)學(xué)歸納法.2.(2022·廣州高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步驗(yàn)證()A.n=1 B.n=2C.n=3 D.n=4【解析】選C.由題意知n≥3，n∈N*，第一步應(yīng)驗(yàn)證n=3.3.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，若n=k(k∈N*)時(shí)，該命題成立，那么可推得n=k+1時(shí)，該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得()A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立【解析】選C.原命題正確，則逆否命題正確.故應(yīng)選C.4.(2021·洋浦高二檢測(cè))已知f(n)=1n-1+1n+1n+1+1n+2+…+A.f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=12+B.f(n)中共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1+12+13C.f(n)中共有n2-n+2項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1+12+13D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1+12+13【解析】選C.由條件可知，f(n)共有項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1)+1=n2-n+2項(xiàng)，且n=2時(shí)，f(2)=11+12+135.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，其次步歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A.假設(shè)n=2k+1(k∈N*)時(shí)正確，再推n=2k+3時(shí)正確B.假設(shè)n=2k-1(k∈N*)時(shí)正確，再推n=2k+1時(shí)正確C.假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)正確，再推n=k+1時(shí)正確D.假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)正確，再推n=k+2時(shí)正確【解析】選B.要留意n為正奇數(shù).6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n(n≥3，n∈N)邊形的內(nèi)角和公式”時(shí)，由n=k到n=k+1時(shí)增加的是()A.π2 B.π C.3π2 【解析】選B.由n=k到n=k+1時(shí)，凸n邊形的內(nèi)角和增加的是∠1+∠2+∠3=π.二、填空題(每小題4分，共12分)7.用數(shù)學(xué)歸納法證明|n2-5n+5|≠1時(shí)，需證明的第一個(gè)n值是________.【解析】驗(yàn)證可知.n=1，2，3，4時(shí)，|n2-5n+5|=1，n=5時(shí)，|52-5×5+5|≠1，n=6時(shí)，|62-5×6+5|≠1，所以需驗(yàn)證的第一個(gè)n值應(yīng)為5.答案：58.(2022·寧波高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明：122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2【解析】從不等式結(jié)構(gòu)看，左邊n=k+1時(shí)，最終一項(xiàng)為1(k+2)2，前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù).右邊n=k+1時(shí)，式子12-1(k+1)+2.即不等式為122+132答案：122+132+…+1(k+1)9.(2022·武漢高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3時(shí)，【解析】依據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，n=k+1時(shí)，左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12，比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是(k+1)2+k2.答案：(k+1)2+k2三、解答題(每小題10分，共20分)10.用數(shù)學(xué)歸納法證明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N*).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×4=4，右邊=1×22=4，左邊=右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2，那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)·(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2，即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.依據(jù)(1)和(2)，可知等式對(duì)任意n∈N*都成立.11.(2022·莆田高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)y=f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值.(2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值.(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(n∈N*)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】(1)令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0?f(0)=0.(2)f(1)=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4，f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9，f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.(3)猜想f(n)=n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，f(1)=1滿足條件.假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)成立，即f(k)=k2，則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+1+2k=(k+1)2，從而可得當(dāng)n=k+1時(shí)滿足條件，所以對(duì)任意的正整數(shù)n，都有f(n)=n2.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2022·長(zhǎng)春高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N*)時(shí)，第一步驗(yàn)證n=1時(shí)，A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4【解析】選D.在等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+n2=n4+n22A.k2+1B.(k+1)2C.(D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2【解析】選D.當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+2+…+k2，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2，增加了2k+1項(xiàng).3.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1n+4()A.n=k+1時(shí)等式成立B.n=k+2時(shí)等式成立C.n=2k+2時(shí)等式成立D.n=2(k+2)時(shí)等式成立【解析】選B.由于k為偶數(shù)，所以利用歸納假設(shè)證明時(shí)需證n=k+2時(shí)等式成立.4.(2022·吉林高二檢測(cè))已知f(n)=(2n+7)·3n+9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*，都能使m整除f(n)，則m的最大值為()A.30 B.26 C.36 【解析】選C.由于f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，推想最大的m的值為36，再由數(shù)學(xué)歸納法可證得，對(duì)任意n∈N*，都能使36整除f(n).二、填空題(每小題5分，共10分)5.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n(n+1)!，前n項(xiàng)和為Sn，則S1=__________，S2=__________，S3=__________，S4=__________，并由此猜想出Sn=__________【解析】由于an=n(n+1)!，所以S1=a1=12，S2=a1+a2=12+13=56，S3=a1+a2+a3=12+13+18=2324，S4=a1+a2+a3+a4=12+13答案：125623246.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c對(duì)一切n∈N*成立，那么a=________，b=________，c=________.【解題指南】利用n=1，2，3，分別建立三個(gè)等式，通過解方程組可求得.【解析】把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c，可得1整理并解得a答案：1214【變式訓(xùn)練】設(shè)an=1+12+13+…+1n(n∈N*)，猜想關(guān)于n的整式g(n)=________時(shí)，使得等式a1+a2+…+an-1【解析】假設(shè)g(n)存在，探究g(n).當(dāng)n=2時(shí)，有a1=g(2)(a2-1)，即1=g(2)(1+12當(dāng)n=3時(shí)，有a1+a2=g(3)(a3-1)，即1+1+12=g(3)(1+12+當(dāng)n=4時(shí)，同樣可解得g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n∈N*，且n≥2).答案：n三、解答題(每小題12分，共24分)7.(2022·南昌高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=tannαtanα-n(n≥2，n∈N【證明】①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=tanα·tan2α.右邊=tan2αtanα-2=2tanα=21-ta=2tan2α1-tan2所以左邊=右邊，等式成立.②假設(shè)n=k(k≥2，k∈N*)時(shí)等式成立，即有tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=tankα當(dāng)n=k+1時(shí)，利用歸納假設(shè)有，tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=tankαtanα-k+tankα·=tankα[1+tanα·tan(k+1)α]=1tanα[tan(k+1)α-tanα=tan(k+1)α所以n=k+1時(shí)，等式也成立，故由①和②知，n≥2，n∈N*時(shí)等式恒成立.【變式訓(xùn)練】用數(shù)學(xué)歸納法證明12+32+52+…+(2n-1)2=13n(4n2-1)(n∈N*【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12，右邊=13×1×(4×左邊=右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即12+32+52+…+(2k-1)2=13k(4k2則當(dāng)n=k+1時(shí)，12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=13k(4k2-1)+(2k+1)=13k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)=13=13(2k+1)(2k2=13=13(k+1)(4k2=13(k+1)[4(k+1)2即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.由(1)，(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式成立.8.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值.(2)當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2(log2an+1)(n∈N*)，證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式b1+1b1·b2【解析】(1)由題意，Sn=bn+r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r，所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b>0且b≠1，所以n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.又a1=b+r，a2=b(b-1)，a2即b(b-1)(2)由(1)知an=2n-1，因此bn=2n(n∈N*).所證不等式為2+12·4+14·…·①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=32，右邊=2②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即2+12·4+14·…·2k+12k>k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，2+12·4+14要證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，只需證2k+32k+1≥k+2，即證由均值不等式知2k+32=(k+1)+(k+2)故2k+32k+1由①②可知，n∈N*時(shí)，不等式b1+1b1