2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第11講 矩形的判定（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5大考點(diǎn)舉一反三+過(guò)關(guān)測(cè)試）

第11講矩形的判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.探索并證明矩形的判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

2.通過(guò)矩形的判定定理以及相關(guān)問(wèn)題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

知識(shí)點(diǎn)：矩形的判定有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三各直角的四邊形是矩形?？键c(diǎn)一：添一條件使四邊形是矩形例1.（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明準(zhǔn)備用一根繩子檢查一個(gè)書(shū)架是否為矩形．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列驗(yàn)證方法中錯(cuò)誤的為（

）A．OA=OB B．AC=BD C．OA=OC D．OA=OD【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·江西上饒·期中）如圖，已知?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列條件能使?ABCD成為矩形的是（A．AB=AD B．AC=AB C．AC=BD D．AC⊥BD【變式1-2】（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接EB，BC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（

）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DE∥AB,DF∥AC．請(qǐng)你再添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：考點(diǎn)二：證明四邊形是矩形例2.（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，D為AB中點(diǎn)，四邊形DBCE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠COE=60°，CE=2，求DE【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖：在△ABC中，AB=AC，AD是中線，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)連接DE，交AC于點(diǎn)F，若DF=3，求AB的長(zhǎng)度．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．(1)求證：BD=CD．(2)如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ACED是矩形；(2)連接BF，若∠ABC=60°，CF=5，求BF的長(zhǎng)．考點(diǎn)三：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度例3.（22-23八年級(jí)下·福建廈門·期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小輝將一塊矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF．把紙片展開(kāi)，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在N上，得到折痕BM．

(1)若點(diǎn)N剛好落在折痕EF上時(shí)，①如圖1，過(guò)N作NG⊥BG，求證：NG=1②如圖2，求∠AMN的度數(shù)；(2)如圖3，當(dāng)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，已知AB=3，BC=5，若△BNC的直角三角形時(shí)，求AM的長(zhǎng)．【變式3-1】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°，則∠OAB的度數(shù)為．【變式3-2】（2023·廣東梅州·一模）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度數(shù)．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=CO=10，BO=DO，且AB=12，BC=16．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC于點(diǎn)E，求∠BDF的度數(shù)．考點(diǎn)四：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)例4.（23-24八年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，且FC=AE，連接AF,BF．

(1)求證：四邊形DEBF是矩形；(2)若AF平分∠DAB，F(xiàn)C=3，DF=5，求BF的長(zhǎng)．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）如圖，在△ABC中AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=60°，AE=4，求AD的長(zhǎng)．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·陜西寶雞·期末）（1）如圖①，已知?ABCD，點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得EF平分?ABCD的面積，并直接寫出AE與CF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的條件下，若∠B=60°,AB=6,BC=8,AE=2．求EF的長(zhǎng)度．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖，在?ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BO交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，BD，∠BDC=90(1)求證：四邊形ABDE是矩形；(2)連接OC，若AB=4，BD=8，求OC的長(zhǎng)．考點(diǎn)五：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積例5.（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且O是BD(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若△OAB是等邊三角形，且AB=4，求四邊形ABCD的面積．【變式5-1】（21-22八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC=8,BD=6，則四邊形EFGH的面積為（

）A．48 B．24 C．32 D．12【變式5-2】23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，CE∥

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB=60°，AB=2，求四邊形OBEC的面積．【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·上海奉賢·期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=1,CD=2,AB=BC．求

一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（

）A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACD=∠CDB2．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）工人師傅在沒(méi)有測(cè)量角度工具的情況下，下列測(cè)量方案中，能確定四邊形桌面為矩形的是（

）A．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等D．測(cè)量對(duì)角線是否相等3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=55°，則∠OBA的度數(shù)為（

）

A．35° B．40° C．45° D．50°4．（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·期中）將6張寬為1的小長(zhǎng)方形如圖擺放在平行四邊形ABCD中，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A．32 B．16 C．12 D．165．（2024·福建南平·一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=9，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．則EF的長(zhǎng)為（A．4 B．103 C．23 二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，點(diǎn)G在矩形ABCD的對(duì)角線AC上，且不與A，C重合，過(guò)點(diǎn)G分別作邊AB,BC平行線交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)M，N，則圖中陰影部分S1，S2面積之間的關(guān)系是7．（23-24八年級(jí)下·河南平頂山·期中）如圖：∠C=90°，將Rt△ABC沿著射線BC方向平移4cm，得到△A'B'C'8．（23-24八年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥BC交AC于點(diǎn)E，作PF∥AC交BC于點(diǎn)F．則EF的最小值為9．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，DE交AC于F，當(dāng)∠CFE＝2∠ACB時(shí)，線段DF的長(zhǎng)為．三、解答題10．（23-24九年級(jí)下·北京西城·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形ACED是矩形；(2)連接BF，若∠ABC=60°，CE=3，求

第11講矩形的判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.探索并證明矩形的判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

2.通過(guò)矩形的判定定理以及相關(guān)問(wèn)題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

知識(shí)點(diǎn)：矩形的判定有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三各直角的四邊形是矩形?？键c(diǎn)一：添一條件使四邊形是矩形例1.（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明準(zhǔn)備用一根繩子檢查一個(gè)書(shū)架是否為矩形．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列驗(yàn)證方法中錯(cuò)誤的為（

）A．OA=OB B．AC=BD C．OA=OC D．OA=OD【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，∴OA=OC=1∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；由OA=OC無(wú)法判斷平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C符合題意；∵平行四邊形ABCD，∴OA=OC=1∵OA=OD，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選C【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·江西上饒·期中）如圖，已知?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列條件能使?ABCD成為矩形的是（A．AB=AD B．AC=AB C．AC=BD D．AC⊥BD【答案】C【分析】本題考查矩形的判定，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，有一個(gè)角時(shí)直角的平行四邊形為矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：A、AB=AD，四邊形ABCD是菱形，不能判定是矩形，故不符合題意；B、AC=AB，不能判定是矩形，故不符合題意；C、AC=BD，四邊形ABCD是矩形，故符合題意；D、AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形，不能判定是矩形，故不符合題意；故選：C．【變式1-2】（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接EB，BC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（

）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定等，熟練掌握相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．先證明四邊形DBCE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行解答．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A.∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)符合題意；C.∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意，故選：B．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，DE∥AB,DF∥AC．請(qǐng)你再添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：【答案】∠A=90°【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定；根據(jù)已知可得四邊形AFDE是平行四邊形，然后添加∠A=90°可得四邊形AFDE為矩形．【詳解】解：添加條件∠A=90°，∵DE∥∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵∠A=90°，∴四邊形AFDE為矩形．故答案為：∠A=90°．考點(diǎn)二：證明四邊形是矩形例2.（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，D為AB中點(diǎn)，四邊形DBCE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠COE=60°，CE=2，求DE【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）先根據(jù)四邊形DBCE是平行四邊形和D為AB中點(diǎn)判定四邊形ADCE是平行四邊形，再結(jié)合CA=CB，推出CD⊥AD，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠COE=60°和矩形的對(duì)角線相等且互相平分，得出△COE為等邊三角形，即可求出OE的長(zhǎng)，從而得到矩形DE【詳解】（1）證明：∵四邊形DBCE是平行四邊形，∴CE∥BD，CE=BD.∵D為AB中點(diǎn)，∴BD=AD，∴CE∥AD，CE=AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形.∵CA=CB，D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AD，即∠ADC=90°∴?ADCE（2）∵四邊形ADCE是矩形，∴OA=OC=OD=OE，∵∠COE=60°∴△COE是等邊三角形.∵CE=2，∴OE=2，∴DE=4.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖：在△ABC中，AB=AC，AD是中線，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)連接DE，交AC于點(diǎn)F，若DF=3，求AB的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，結(jié)合AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，可得出∠CAD+∠CAN=90°，又由CE⊥AN即可得到∠AEC=90°，然后根據(jù)矩形的判斷即可得證；（2）利用矩形的性質(zhì)可求AC=DE=2DF=6，即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，AD是中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN=∠CAN，∴∠CAD+∠CAN=1即∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，∴AC=DE，DF=EF=1又∵AB=AC，∴AB=DE，∴DF=1∴AB=6．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．(1)求證：BD=CD．(2)如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形AFBD是矩形【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識(shí)．（1）先由AF∥BC，利用平行線的性質(zhì)可證∠AFE=∠DCE，而E是AD中點(diǎn)，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可證△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，從而有（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．【詳解】（1）∵AF∥∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCEAE=DE∴△AEF≌△DEC(AAS∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）四邊形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°∵AF=BD，∵過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，即AF∥∴四邊形AFBD是平行四邊形，又∵∠ADB=90°，∴四邊形AFBD是矩形．【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ACED是矩形；(2)連接BF，若∠ABC=60°，CF=5，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明AC∥DE及△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，得AD∥CE，則四邊形ACED是平行四邊形，即可由∠ACE=90°，根據(jù)矩形的定義證明四邊形ACED是矩形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得AE=CD=AB，AF=EF，AD=CE=CB=5，因?yàn)椤螦BC=60°，所以△ABE是等邊三角形，則AB=AE=BE=2CE=2CF=2×5=10，∠AFB=90°，所以AF=12AE=【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∴AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵∠ACE=90°，∴四邊形ACED是矩形．（2）解：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE=CD=AB，AF=EF=CF=DF=5，∵∠ABC=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△CEF是等邊三角形，∴BF⊥AE，AB=AE=BE=2CE=2CF=2×5=10，∴∠AFB=90°，AF=1∴BF=A∴BF的長(zhǎng)是53考點(diǎn)三：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度例3.（22-23八年級(jí)下·福建廈門·期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小輝將一塊矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF．把紙片展開(kāi)，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在N上，得到折痕BM．

(1)若點(diǎn)N剛好落在折痕EF上時(shí)，①如圖1，過(guò)N作NG⊥BG，求證：NG=1②如圖2，求∠AMN的度數(shù)；(2)如圖3，當(dāng)M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，已知AB=3，BC=5，若△BNC的直角三角形時(shí)，求AM的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②120°(2)1或9【分析】（1）①證明四邊形FCGN是矩形，得到NG=FC，根據(jù)折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，得到FC=12CD=②根據(jù)折疊的性質(zhì)，求解即可．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，判定∠NCB,∠NBC不可能是直角，只有∠BNC=90°，分直角在矩形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①∵矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF，∴四邊形FCBE是矩形，F(xiàn)C=1∵NG⊥BG，∴四邊形FCGN是矩形，∴NG=FC，∴NG=1根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,BN=AB，∴NG=1②過(guò)點(diǎn)G作NG⊥BG于點(diǎn)G，∵矩形紙片ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF，∴四邊形FCBE是矩形，F(xiàn)C=1∵NG⊥BG，∴四邊形FCGN是矩形，∴NG=FC，∴NG=1根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,BN=AB，∴NG=1根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∠GBN=30°,∠NBM=∠ABM，∠NMB=∠AMB，∴∠GBN=∠NBM=∠ABM=30°，∠NMB=∠AMB=60°，

∴∠AMN=∠NMB+∠AMB=120°．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，∴∠BNC=90°，∵矩形紙片ABCD，∴∠BNM=∠BAM=90°，∵∠BNM+∠BNC=180°，∴C,N,M三點(diǎn)共線，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，∵矩形紙片ABCD，∴AD∥CB，∴∠CBM=∠AMB，∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，∴CB=CM，∵AB=3，BC=5，∴BN=AB=3,CN=C∴NM=AM=CM?CN=1；根據(jù)矩形的性質(zhì)，故∠NCB,∠NBC不可能是直角，∴∠BNC=90°，∵矩形紙片ABCD，∴∠BNM=∠BAM=90°，∵∠BNC=90°，∴C,N,M三點(diǎn)共線，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∴∠NMB=∠AMB，NM=AM，∵矩形紙片ABCD，∴AD∥CB，∴∠CBM=∠AMB，∴∠NMB=∠AMB=∠CBM，∴CB=CM，∵AB=3，BC=5，∴BN=AB=3,CN=C∴NM=AM=CM+CN=5+4=9；故AM=9或AM=1．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形與折疊，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°，則∠OAB的度數(shù)為．【答案】40°【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定以及性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD，即可證明四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠DAB=90°，進(jìn)一步即可求出∠OAB．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∵∠OAD=50°，∴∠OAB=∠DAB?∠OAD=40°，故答案為：40°．【變式3-2】（2023·廣東梅州·一模）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)27°【分析】（1）先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，繼而根據(jù)已知條件推導(dǎo)出AC=BD，然后根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可得證；（2）由矩形的性質(zhì)得到AB∥CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠ABO=∠CDO，然后由三角形的內(nèi)角和求出【詳解】（1）證明：∵AO=OC，BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵∠AOB:∠ODC=6:7，∴∠AOB:∠ABO=6:7，∴∠BAO:∠AOB:∠ABO=7:6:7，∴∠ABO=180°×7∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°?63°=27°．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明AC=BD是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=CO=10，BO=DO，且AB=12，BC=16．(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠ADF:∠FDC=3:2，DF⊥AC于點(diǎn)E，求∠BDF的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18°【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，利用勾股定理逆定理，得到∠ABC=90°，即可得證；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后根據(jù)OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=CO=10，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AC=AO+CO=20，∵AB=12，BC=16，∴AB∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，∵∠ADF:∠FDC=3:2，∠ADF+∠FDC=∠ADC，∴∠FDC=2∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°?36°=54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO=OD，∴∠ODC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠ODC?∠FDC=18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形考點(diǎn)四：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)例4.（23-24八年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，且FC=AE，連接AF,BF．

(1)求證：四邊形DEBF是矩形；(2)若AF平分∠DAB，F(xiàn)C=3，DF=5，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形DEBF是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，即可得證；（2）先證明AD=DF，由平行四邊形的性質(zhì)，得到BC=AD，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∴AB∥CD,AB=CD，∴DF∥BE，∵FC=AE，∴DF=BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形DEBF是矩形；（2）∵平行四邊形ABCD，∴CD∥AB，AD=BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF=5，∴BC=5，由（1）知：四邊形DEBF是矩形，∴∠DFB=90°，∴∠BFC=90°，在Rt△BFC中，BF=【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）如圖，在△ABC中AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形，AC，DE相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=60°，AE=4，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)43【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABDE是平行四邊形和D為BC的中點(diǎn)，判定四邊形ADCE是平行四邊形，再結(jié)合AB=AC，推出∠ADC=90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠AOE=60°和矩形的對(duì)角線相等且互相平分，得出△AOE為等邊三角形，即可求出AO的長(zhǎng)，從而得到矩形ADCE對(duì)角線的長(zhǎng)，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD∥AE，∵D為BC中點(diǎn)，∴DC=AE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴平行四邊形ADCE是矩形；（2）解：∵四邊形ADCE是矩形，∴AO=CO=DO=EO，DC=AE，∵∠AOE=60°，AE=4，∴△AOE是等邊三角形，∴AO=EO=AE=4，∴AC=2OA=8，∵∠ADC=90°，∴AD=A【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·陜西寶雞·期末）（1）如圖①，已知?ABCD，點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得EF平分?ABCD的面積，并直接寫出AE與CF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的條件下，若∠B=60°,AB=6,BC=8,AE=2．求EF的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析，AE=CF；（2）2【分析】（1）連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)EF平分?ABCD的面積，由梯形的面積公式得到S梯形ABFE=12AE+BF?AH=S梯形（2）在（1）圖基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，證明四邊形AHGE是矩形，得到HG=AE=2，AH=EG，根據(jù)含30度角的直角三角形的特征，求出BH=12AB=3，進(jìn)而求出GF=1，再利用勾股定理求出AH=33，推出【詳解】解：（1）連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接EO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∵EF平分?ABCD的面積，∴S梯形∴AE+BF=CF+DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠CBD=∠ADB，∵∠BOF=∠DOE，∴△DOE≌∴DE=BF，∴AD?DE=BC?BF，即AE=CF；（2）在（1）圖基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，由（1）知DE=BF，AE=CF，∵AE=2，AD=BC=8，∴DE=BF=AD?AE=6，AE=CF=2，∵AH⊥BC,EG⊥BC，∴AH∥∵AE∥∴四邊形AHGE是平行四邊形，∵∠AHG=∠EGH=90°，∴四邊形AHGE是矩形，∴HG=AE=2，AH=EG，∵∠B=60°,∠BHA=90°，AB=6，∴∠BAH=30°，∴BH=1∴GF=BF?BH?HG=1，∴AH=A∴EG=AH=33∴EF=E【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級(jí)下·貴州黔南·期中）如圖，在?ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BO交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，BD，∠BDC=90(1)求證：四邊形ABDE是矩形；(2)連接OC，若AB=4，BD=8，求OC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）先證明四邊形ABDE是平行四邊形，再證明∠BDE=90°，然后根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”即可得四邊形ABDE是矩形．（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OD=OE，根據(jù)“等腰三角形三線合一”可得DF=EF=12DE=2．再證明OF為△BDE的中位線，則可得OF=12BD=4．再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD=AB=4，則可得【詳解】（1）證明：∵O為AD的中點(diǎn)，∴AO=DO．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠BAO=∠EDO．又∵∠AOB=∠DOE，∴△AOB≌△DOEASA∴AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∵∠BDC=90∴∠BDE=90°，∴四邊形ABDE是矩形．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F．∵四邊形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，OD=12AD，OB=OE=∴OD=OE．∵OF⊥DE，∴DF=EF=1∴OF為△BDE的中位線，∴OF=1∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=4，∴CF=CD+DF=6．在Rt△OCF中，由勾股定理，得OC=即OC的長(zhǎng)為213【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五：根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積例5.（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且O是BD(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若△OAB是等邊三角形，且AB=4，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)16【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握矩形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABO=∠CDO，再證明△AOB≌△COD可得AB=CD人然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA=OC、OB=OD，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得?ABCD是矩形；再根據(jù)勾股定理求得BC=43【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠ABO=∠CDO．又∵OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD(ASA∴AB=CD．又∵AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形．??（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD．∵△OAB是等邊三角形，且AB=4，∴OA=OB=AB=4，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=2OA=8，∴BC=A∴四邊形ABCD的面積=AB×BC=4×43【變式5-1】（21-22八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，點(diǎn)E、F、G、H分別為邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)．若AC=8,BD=6，則四邊形EFGH的面積為（

）A．48 B．24 C．32 D．12【答案】D【分析】利用中位線定理可得出四邊形EFGH矩形，根據(jù)矩形的面積公式解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，∴EF∥BD，且同理：GH∥BD，∴EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同理：EH=GF=12AC=4又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG．∴四邊形EFGH是矩形．∴四邊形EFGH的面積=EF?EH=3×4=12，即四邊形EFGH的面積是12．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形的含義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）已知：如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC，CE∥

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB=60°，AB=2，求四邊形OBEC的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件得出∠OBC=∠OCB，進(jìn)而得到OB=OC，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得出AC=BD，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證△OAB是等邊三角形，進(jìn)而得到AC=2AB=4，BC=23，再證明四邊形OBEC是平行四邊形，從而推出S【詳解】（1）證明：∵∠BOC+2∠OBC=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=2，∠OAB=60°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，BC=A∵BE∥AC，∴四邊形OBEC是平行四邊形，∴S△BOC∴S△AOB∴S四邊形【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·上海奉賢·期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AD=1,CD=2,AB=BC．求

【答案】7【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，梯形的面積．正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出梯形下底長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，先證明四邊形ADCE是矩形，得AE=CD=2，CE=AD=1，再用勾股定理求出BE長(zhǎng)，從而求得梯形下底BC長(zhǎng)，然后用梯形面積公式求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，如圖，

∵AD∥BC，∴∠D=90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=∠AEB=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AE=CD=2，CE=AD=1，設(shè)BE=x，則AB=BC=BE+CE=x+1，由勾股定理，得x+12解得：x=3∴BC=x+1=5∴S梯形一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（

）A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACD=∠CDB【答案】B【分析】本題考查了矩形的判定定理，根據(jù)矩形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：如圖，A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形和AC⊥BD不能推出四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠ACD=∠CDB，∴OD=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）工人師傅在沒(méi)有測(cè)量角度工具的情況下，下列測(cè)量方案中，能確定四邊形桌面為矩形的是（

）A．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等D．測(cè)量對(duì)角線是否相等【答案】C【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、熟記矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵兩組對(duì)邊分別相等是平行四邊形，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，∴對(duì)角線互相平分且相等，∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，∴選項(xiàng)C符合題意；D、∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形才是矩形，∴對(duì)角線相等的四邊形不是矩形，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：C3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=55°，則∠OBA的度數(shù)為（

）

A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的判定得到四邊形ABCD是矩形，OA=OB由矩形的性質(zhì)求出∠DAB，由角的和差關(guān)系求出∠OAB，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OBA即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC,OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，OA=OB∵∠OAD=55°，∴∠OAB=∠DAB?∠OAD=35°，∴∠OBA=∠OAB=35°故選：A．4．（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·期中）將6張寬為1的小長(zhǎng)方形如圖擺放在平行四邊形ABCD中，則平行四邊形ABCD的面積為（

）A．32 B．16 C．12 D．16【答案】A【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，證明四邊形AFCE是矩形，由圖形可知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3，△AGH是直角邊為1的等腰直角三角形，求得DE=CE=BF=AF=4，即可得出答案．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，CE⊥BC，∴四邊形AFCE是矩形，∴AE=CF，∴DE=BF，由圖形可知：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3，△AGH是直角邊為1的等腰直角三角形，∴AE=CF=AF=CE=4，△AFB與△CED都是直角邊為4的等腰直角三角形，∴DE=CE=BF=AF=4，∴BC=BF+FC=8∴平行四邊形ABCD的面積為：BC?AF=32，故選：A．5．（2024·福建南平·一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=9，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．則EF的長(zhǎng)為（A．4 B．103 C．23 【答案】D【分析】由折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)可知，BE=DE，∠BFE=∠DEF=∠BEF，則BF=BE，設(shè)AE=x，則BE=DE=9?x，由勾股定理得，AB2=BE2?AE2，即32=9?x2?x2，可求x=4【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，BE=DE，∠BEF=∠DEF，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=∠BEF，∴BF=BE，設(shè)AE=x，則BE=DE=9?x，由勾股定理得，AB2=B解得，x=4，∴BF=BE=DE=5，如圖，作EG⊥BF于G，則四邊形ABGE是矩形，∴EG=AB=3，∴GF=BF?BG=1，由勾股定理得，EF=E故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，等角對(duì)等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握矩形與折疊，等角對(duì)等邊，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)