【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修四導學案：《向量的加法與減法》

第2課時向量的加法與減法1.理解向量加法的含義,把握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,會用向量加法的交換律與結合律進行向量運算.2.把握向量的減法運算,并理解其幾何意義,會作兩個向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法與減法的逆運算關系.3.經(jīng)受向量的概念、法則的建構過程,通過觀看、試驗、類比、歸納等方法培育同學發(fā)覺問題、分析問題、解決問題的力量.向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加深學科之間的聯(lián)系,提高應用力量.長江兩岸之間沒有大橋的地方,經(jīng)常通過輪渡進行運輸,一艘船從長江南岸動身,以大小為v1的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度向東,且大小為v2(v1>v2),那么船的實際速度的大小和方向怎么求呢?問題1:相反向量及其性質,向量的加、減法運算.的運算,叫作向量的加法,兩個向量的和是向量(簡稱);

長度相同、方向相反的兩個向量互為相反向量,a與互為相反向量,-(-a)=;

零向量的相反向量是;

任一向量與它的相反向量的和是,a+(-a)=;

假如a、b互為相反向量,則a=,b=,a+b=;

向量a加上b的相反向量,叫作a與b的差,即a-b=a+,求兩個向量差的運算叫作向量的.

問題2:向量加法法則.(1)三角形法則如圖,在平面內任取一點A,作AB=a,BC=b,連接AC,則AC=a+b.這種求向量和的方法,叫向量加法的三角形法則,它的特點是首尾相連,即從第一個向量的起點指向最終一個向量的終點的有向線段.(2)平行四邊形法則如圖,在平面內任取一點A,作AB=a,AD=b,以AB、AD為邊作平行四邊形ABCD,連接AC,則.這種求向量和的方法,叫向量加法的平行四邊形法則.

問題3:實數(shù)的加法滿足交換律與結合律,向量的加法是否也滿足?(1)交換律:a+b=;(2)結合律:(a+b)+c=a+=a+b+c.

問題4:向量減法法則.若向量a與b有相同的起點,則a-b可以表示為從向量b的向量a的終點的向量.

(1)三角形法則如圖,作OA=a,OB=b,則BA=,即把兩個向量的起點放在一起,這兩個向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的點為終點的向量.

(2)平行四邊形法則如圖,作OA=a,OB=b,以OA、OB為邊作平行四邊形OACB,連接BA,則BA=a-b.從圖中可以看出,一個向量減去另一個向量,等于此向量加上另一個向量的相反向量.(3)留意問題:①兩個向量的差是一個向量,當兩個向量不相等時,相減得到的向量的方向指向被減向量,當兩個向量相等時,差為零向量,方向是任意的;②向量減法的實質是加法的逆運算,依據(jù)相反向量的定義,AB=-BA,就可以把減法化為加法,用三角形法則作向量減法時,只要記住連接兩向量終點,箭頭指向被減向量即可;③以向量AB=a,AD=b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則AC=,BD=.

1.若向量a表示向東走1km,向量b表示向南走1km,則向量a+b表示().A.向東南走2km B.向東南走2kmC.向東北走2km D.向東北走2km2.化簡PM-PN+MN的結果().A.MP B.NP C.0 D.MN3.在矩形ABCD中,若|AB|=3,|BC|=4,則|AB+AD|=.

4.如圖,已知不共線的向量a,b,求作向量a+b,a-b.向量的加、減運算化簡:(AB-CD)-(AC-BD).向量的三角形法則與平行四邊形法則的運用已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點,若AB=a,BC=b,OD=c,證明:c+a-b=OB.與零向量有關的問題若向量滿足關系式|a+b|=|a-b|,則下列結論中正確的是().A.以a,b為鄰邊的四邊形是矩形B.a,b中至少有一個零向量或a⊥bC.a,b中至少有一個零向量D.a,b均為零向量化簡下列各式:①AB+BC+CA;②OA-OD+AD;③AB+CA-BD-CD;④MN+QP-MP+NQ.結果為零向量的序號是.

如圖,在平行四邊形ABCD中,設AB=a,AD=b.(1)用a、b表示向量AC,DB.(2)當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直?(3)當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|?(1)已知O是四邊形ABCD內的一點,若OA+OB+OC+OD=0,則下列結論中正確的是().A.四邊形ABCD為正方形,點O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的對角線交點C.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD的外接圓的圓心D.四邊形ABCD為一般四邊形,點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點(2)若向量a,b滿足|a|=8,|b|=12,則|a+b|的最小值為,|a-b|的最大值為.

1.在△ABC中,BC=a,CA=b,則AB等于().A.a+b B.a-b C.-a-b D.b-a2.下面四個式子中不能化簡到AD的是().A.MB-DA-BM B.NC-NA+CDC.(AD-BM)+(BC-MC) D.(AB-DC)+BC3.在△ABC中,|AB|=|BC|=|CA|=1,則|AB-AC|的值為.

4.化簡(AB-CD)+(BE-DE).(2021年·廣東卷)設a是已知的平面對量且a≠0.關于向量a的分解,有如下四個命題:①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c;②給定向量b和c,總存在實數(shù)λ和μ,使a=λb+μc;③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實數(shù)λ,使a=λb+μc.④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc.上述命題中的向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是().A.1 B.2 C.3 D.4考題變式(我來改編):

答案第2課時向量的加法與減法學問體系梳理問題1:求兩個向量的和和向量-aa零向量零向量0-b-a0(-b)減法問題2:AC=a+b問題3:(1)b+a(2)(b+c)問題4:終點指向(1)a-b終(2)a+bb-a基礎學習溝通1.A依據(jù)三角形或平行四邊形法則,可知向量a+b表示向東南走2km.2.CPM-PN+MN=NM+MN=0.3.5由題意,可知AB+AD=AC,|AC|=AB2+BC4.解:(法一)如圖,設a=AB,b=CD,過點B作BE=CD=b,則依據(jù)向量加法的三角形法則可得AE=AB+BE=a+b.在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=OA-OB=a-b.(法二)如圖,設a=AB,過點A作AF=CD=b,再依據(jù)向量加法的平行四邊形法則,可得以AB、AF為鄰邊作出平行四邊形的對角線AE=a+b,設a=OA,過點O作OB=b,OB'=-b,依據(jù)向量的平行四邊形法則,可得以OA、OB'為邊作出平行四邊形的對角線OC=a+(-b)重點難點探究探究一:【解析】(法一)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.(法二)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.(法三)設O為平面內任意一點,則有(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB)=OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0.【小結】在化簡向量時可以利用三角形法則或平行四邊形法則,特殊是當含有減法時,可以從不同的角度來考慮:①利用相反向量,可將減法看成加法的逆運算進行求解;②把需要化簡的兩個向量化成起點相同的向量,再利用三角形法則或平行四邊形法則進行化簡;③將全部的向量都化成是同一個起點的向量,再進行化簡.探究二:【解析】(法一)c+a=OD+AB=OD+DC=OC,OB+b=OB+BC=OC,∴c+a=OB+b,即c+a-b=OB.(法二)c+a-b=OD+AB-BC=OD+AB+CB.在平行四邊形ABCD中,∵AB=DC,CB=DA,∴AB+CB=DC+DA=DB.∴c+a-b=OD+DB=OB.【小結】充分利用向量加法的定義和三角形法則,結合平行四邊形本身的特點,將一些不能明顯做加、減運算的向量進行化簡,是解決本題的關鍵,同時也要留意證明問題的方法.探究三:【解析】當a,b均為非零向量時,由向量加法和向量減法的平行四邊形法則可知,a+b與a-b分別是以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線,由|a+b|=|a-b|知,這個平行四邊形的對角線長度相等,故以a,b為鄰邊的平行四邊形是矩形,則a⊥b.[問題]a,b肯定是非零向量嗎?[結論]a,b不肯定是非零向量,故要考慮a,b為零向量時的情形,因此,正確選項是B.【答案】B思維拓展應用應用一:①②④①AB+BC+CA=AC+CA=0;②OA-OD+AD=DA+AD=0;③AB+CA-BD-CD=CA+AB-BD-CD=CB-BD-CD=CB-CD-BD=DB-BD=2DB;④MN+QP-MP+NQ=MN+NQ+QP-MP=MQ+QP-MP=MP-MP=0.應用二:(1)AC=a+b,DB=a-b.(2)若a+b與a-b垂直,即平行四邊形的兩條對角線相互垂直,則平行四邊形為菱形,故a、b應滿足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|表示平行四邊形的兩條對角線的長度相等,所以平行四邊形為矩形,故a、b應滿足a⊥b.應用三:(1)D(2)420(1)假如四邊形ABCD為正方形,點O是四邊形ABCD的中心,則必有OA+OB+OC+OD=0,但是反過來由OA+OB+OC+OD=0,卻推不出四邊形ABCD為正方形,點O也就可能不是四邊形ABCD的中心,結合圖形并可通過舉反例逐個排解,正確的只有D.(2)設a=AB,b=AC,則當a與b同向時,|a+b|=|a|+|b|,|a-b|=||a|-|b||.當a與b反向時,|a+b|=||a|-|b||,|a-b|=|a|+|b|.當a與b不共線時,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,如圖所示.因此,當a與b共線且反向時,|a+b|取得最小值,且為12-8=4;當a與b共線且反向時,|a-b|取得最大值,且為12+8=20.基礎智能檢測1.CAB=CB-CA=-a-b.2.A對于A,MB-DA-BM=MB+AD+MB=2MB+AD.對于B,NC-NA+CD=AC+CD=AD.對于C,(AD-BM)+(BC-MC)=AD-BM+BC-MC=AD+(MB+BC)+CM=AD+MC+CM=AD.對于D,(AB-DC)+BC=AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故選A3.1在△ABC中,由AB-AC=CB,|AB-AC|=|CB|=1.4.解:(AB-CD)+(BE-DE)=AB-CD+BE-DE=(AB+BE)-(CD+DE)=AE-CE=AC.全新視角拓展B命題①正確,由于對于