《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-第九章-第3講-二項式定理

第3講二項式定理1．二項式定理(1)定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(2)通項：第k＋1項為：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．(3)二項式系數(shù)：二項開放式中各項的二項式系數(shù)為：Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)．2．二項式系數(shù)的性質(zhì)[做一做]1．已知(2x3－eq\f(1,x))n的開放式的常數(shù)項是第7項，則正整數(shù)n的值為________．解析：由已知條件可得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)2n－rx3n－4r(－1)r，由常數(shù)項為第7項，得3n－4×6＝0，解得：n＝8.答案：82．(2022·高考課標全國卷Ⅱ)(x＋a)10的開放式中，x7的系數(shù)為15，則a＝________．(用數(shù)字填寫答案)解析：設通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)a3＝15，∴a3＝eq\f(1,8)，∴a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)1．辨明三個易誤點(1)通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是開放式的第r＋1項，不是第r項．(2)(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們開放式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量a與其次個量b的位置不能顛倒．(3)易混淆二項式中的“項”，“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)”等概念，留意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)全部部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)．2．二項開放式系數(shù)最大項的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的開放式系數(shù)最大的項，一般是接受待定系數(shù)法，設開放式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數(shù)最大，應用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1,Ak≥Ak＋1))從而解出k來，即得．[做一做]3．(2022·高考湖北卷)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))eq\s\up12(7)的開放式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝()A．2 B.eq\r(5,4)C．1 D.eq\f(\r(2),4)解析：選C.二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))eq\s\up12(7)的開放式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(2x)7－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,7)27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故開放式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.4．(2021·山西省第三次四校聯(lián)考)假如(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于________．解析：令x＝0，有1＝a0；令x＝1，有1＝a0＋a1＋…＋a6，∴a1＋a2＋…＋a6＝0.答案：0eq\a\vs4\al(考點一)__二項開放式中的特定項或特定項的系數(shù)(高頻考點)二項式定理是高中數(shù)學中的一個重要學問點，也是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為簡潔題或中檔題．高考對二項式定理的考查主要有以下三個命題角度：(1)求開放式中的某一項；(2)求開放式中的項的系數(shù)或二項式系數(shù)；(3)由已知條件求n的值或參數(shù)的值．(1)(2022·高考湖南卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))eq\s\up12(5)的開放式中x2y3的系數(shù)是()A．－20 B．－5C．5 D．20(2)(2021·高考天津卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的二項開放式中的常數(shù)項為________．(3)(2022·高考山東卷)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(b,x)))eq\s\up12(6)的開放式中x3項的系數(shù)為20，則a2＋b2的最小值為________．[解析](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))eq\s\up12(5)開放式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(5－r)·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5－r)·(－2)r·x5－r·yr.當r＝3時，Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·(－2)3＝－20.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的開放式通項為Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r＝0，解得r＝4，故常數(shù)項為(－1)4Ceq\o\al(4,6)＝15.(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(b,x)))eq\s\up12(6)的開放式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(ax2)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ceq\o\al(3,6)a6－3b3＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值為2.[答案](1)A(2)15(3)2[規(guī)律方法]二項式開放式有關(guān)問題的解題策略：(1)求開放式中的第n項．可依據(jù)二項式的通項公式直接求出第n項．(2)求開放式中的特定項．可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可．(3)已知開放式的某項，求特定項的系數(shù)．可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最終求出其參數(shù)．1.(1)(2021·洛陽市高三班級統(tǒng)考)設n為正整數(shù)，(x－eq\f(1,x\r(x)))2n開放式中存在常數(shù)項，則n的一個可能取值為()A．16 B．10C．4 D．2(2)(2022·高考課標全國卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的開放式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)(3)(eq\r(x)－eq\f(1,2\r(4,x)))8的開放式中的有理項共有________項．解析：(1)(x－eq\f(1,x\r(x)))2n開放式的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,2n)x2n－k(－eq\f(1,x\r(x)))k＝Ceq\o\al(k,2n)(－1)kxeq\s\up6(\f(4n－5k,2))，令eq\f(4n－5k,2)＝0，得k＝eq\f(4n,5)，∴n可取10.(2)x2y7＝x·(xy7)，其系數(shù)為Ceq\o\al(7,8)，x2y7＝y(tǒng)·(x2y6)，其系數(shù)為－Ceq\o\al(6,8)，∴x2y7的系數(shù)為Ceq\o\al(7,8)－Ceq\o\al(6,8)＝8－28＝－20.(3)(eq\r(x)－eq\f(1,2\r(4,x)))8的開放式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r(eq\f(－1,2\r(4,x)))r＝(－eq\f(1,2))rCeq\o\al(r,8)xeq\s\up6(\f(16－3r,4))(r＝0，1，2，…，8)，為使Tr＋1為有理項，r必需是4的倍數(shù)，所以r＝0，4，8，故共有3個有理項，分別是T1＝(－eq\f(1,2))0Ceq\o\al(0,8)x4＝x4，T5＝(－eq\f(1,2))4Ceq\o\al(4,8)x＝eq\f(35,8)x，T9＝(－eq\f(1,2))8Ceq\o\al(8,8)x－2＝eq\f(1,256x2).答案：(1)B(2)－20(3)3eq\a\vs4\al(考點二)__二項式系數(shù)或各項系數(shù)和____________(1)(2021·遼寧省五校高三聯(lián)考)若(eq\r(x)＋eq\f(2,x2))n開放式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則開放式的常數(shù)項是()A．360 B．180C．90 D．45(2)(2021·安徽省“江南十?！甭?lián)考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為()A．1或－3 B．－1或3C．1 D．－3[解析](1)開放式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則開放式總共11項，所以n＝10，通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－r(eq\f(2,x2))r＝Ceq\o\al(r,10)2rx5－eq\f(5,2)r，所以r＝2時，常數(shù)項為180.(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.[答案](1)B(2)A本例(2)變?yōu)椋喝?x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的值為________．解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.答案：－1或－5[規(guī)律方法]1.二項式定理給出的是一個恒等式，對于a，b的一切值都成立．因此，可將a，b設定為一些特殊的值．在使用賦值法時，令a，b等于多少時，應視具體狀況而定，一般取“1、－1或0”，有時也取其他值．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的開放式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).2.(1)在二項式(eq\r(x)＋eq\f(3,x))n的開放式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則n＝________．(2)(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的開放式中x3與x4項的二項式系數(shù)相等，則系數(shù)最大項為________．解析：(1)(賦值法)由題意可知，B＝2n，令x＝1，得A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，即2n＝8，n＝3.(2)由于x3與x4項的二項式系數(shù)相等，則n＝7.∴Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2x)k，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,7)2k≥Ceq\o\al(k＋1,7)2k＋1,Ceq\o\al(k,7)2k≥Ceq\o\al(k－1,7)2k－1))，得eq\f(13,3)≤k≤eq\f(16,3)，∴k＝5，∴系數(shù)最大項為Ceq\o\al(5,7)(2x)5＝672x5.答案：(1)3(2)672x5eq\a\vs4\al(考點三)__二項式定理的應用____________________設a∈Z，且0≤a＜13，若512016＋a能被13整除，則a＝()A．0 B．1C．11 D．12[解析]512016＋a＝(52－1)2016＋a＝Ceq\o\al(0,2016)522016－Ceq\o\al(1,2016)522015＋…＋Ceq\o\al(2015,2016)×52×(－1)2015＋Ceq\o\al(2016,2016)×(－1)2016＋a.由于52能被13整除，所以只需Ceq\o\al(2016,2016)×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.[答案]D[規(guī)律方法](1)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進行合理地變形構(gòu)造二項式，應留意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理開放后的各項均能被另一個式子整除即可．(2)求余數(shù)問題時，應明確被除式f(x)與除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍．3.求證：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．證明：由于n∈N*，且n>2，所以3n＝(2＋1)n開放后至少有4項．(2＋1)n＝2n＋Ceq\o\al(1,n)·2n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．

交匯創(chuàng)新——與二項式定理有關(guān)的交匯問題(2021·高考陜西卷)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－\f(1,x)）6，x<0，,－\r(x)，x≥0，))則當x>0時，f[f(x)]表達式的開放式中常數(shù)項為()A．－20 B．20C．－15 D．15[解析]x＞0時，f(x)＝－eq\r(x)＜0，故f[f(x)]＝f(－eq\r(x))＝(－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))6，其開放式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－eq\r(x))6－r·(eq\f(1,\r(x)))r＝(－1)6－r·Ceq\o\al(r,6)·(eq\r(x))6－2r，由6－2r＝0，得r＝3，故常數(shù)項為(－1)3·Ceq\o\al(3,6)＝－20.[答案]A[名師點評](1)本題為二項式定理與函數(shù)的交匯問題，解決本題的關(guān)鍵是當x>0時，將f[f(x)]表達式轉(zhuǎn)化為二項式．(2)二項式定理作為一個工具，也常與其他學問交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等．因此在一些題目中不僅僅考查二項式定理，還要考查其他學問，其解題的關(guān)鍵點是它們的交匯點，留意它們的聯(lián)系．(2021·長春市其次次調(diào)研)設(eq\f(1,x)＋x2)3的開放式的常數(shù)項為a，則直線y＝ax與曲線y＝x2圍成圖形的面積為________．解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)xr－3x2r＝Ceq\o\al(r,3)x3r－3，令r＝1，得a＝3，直線y＝3x與曲線y＝x2的交點坐標為(0，0)和(3，9)，∴直線y＝ax與曲線y＝x2圍成圖形的面積S＝eq\i\in(0,3,)(3x－x2)dx＝(eq\f(3,2)x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)1．(2021·東北三校模擬)在(x2－eq\f(1,x))5的二項開放式中，其次項的系數(shù)為()A．10 B．－10C．5 D．－5解析：選D.開放式中的其次項為T2＝Ceq\o\al(1,5)(x2)5－1(－eq\f(1,x))1，所以其系數(shù)為－Ceq\o\al(1,5)＝－5.2．二項式(1－x)4n＋1(n∈N)的開放式中，系數(shù)最大的項為()A．第(2n＋1)或(2n＋2)項B．第(2n＋1)項C．第(2n＋2)項D．第2n或(2n＋1)項解析：選B.開放式中共有(4n＋2)項，其中第(2n＋1)項與第(2n＋2)項的系數(shù)確定值相等，但第(2n＋1)項的系數(shù)為正，而第(2n＋2)項的系數(shù)為負，故第(2n＋1)項的系數(shù)最大．3．(2021·黃岡模擬)設復數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i是虛數(shù)單位)，則Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋Ceq\o\al(3,2015)x3＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝()A．i B．－iC．－1－i D．1＋i解析：選C.x＝eq\f(2i,1－i)＝－1＋i，Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝－i－1.4．已知(x－eq\f(a,x))8開放式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則開放式中各項系數(shù)的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或28解析：選C.由題意知Ceq\o\al(4,8)·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得開放式各項系數(shù)和為(1－a)8＝1或38.5．(2021·江西臨川一中等九校聯(lián)考)二項式(ax＋eq\f(\r(3),6))6的開放式的其次項的系數(shù)為－eq\r(3)，則eq\i\in(－2,a,)x2dx的值為()A.eq\f(7,3) B．3C．3或eq\f(7,3) D．3或－eq\f(10,3)解析：選A.二項開放式的其次項T2＝Ceq\o\al(1,6)(ax)5×eq\f(\r(3),6)，則由題意有eq\f(\r(3),6)×Ceq\o\al(1,6)a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，所以eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(－1,－2)＝－eq\f(1,3)－(－eq\f(8,3))＝eq\f(7,3).6．(2021·貴陽市適應性考試)若(2x＋eq\f(a,x))4(a＞0)的開放式中常數(shù)項為96，則實數(shù)a等于________．解析：(2x＋eq\f(a,x))4的開放式通項為Ceq\o\al(r,4)(2x)4－r(eq\f(a,x))r＝24－rarCeq\o\al(r,4)x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2Ceq\o\al(2,4)＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案：27．(2021·昆明市第一次調(diào)研)(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的開放式中x的系數(shù)是________．解析：(1－eq\r(x))4開放式的通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(－eq\r(x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,4)xeq\s\up6(\f(r,2))，(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的開放式中含x的項為eq\f(2,x)·(－1)4Ceq\o\al(4,4)x2＋x·(－1)0Ceq\o\al(0,4)xeq\s\up6(\f(0,2))＝eq\f(2,x)·x2＋x·1＝3x，故系數(shù)是3.答案：38．(2021·福州質(zhì)檢)在(1－x2)20的開放式中，假如第4r項和第r＋2項的二項式系數(shù)相等，則r＝________．解析：由題意得，Ceq\o\al(4r－1,20)＝Ceq\o\al(r＋1,20)，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝eq\f(2,3)或r＝4.由于r為整數(shù)，故r＝4.答案：49．已知二項式(eq\r(3,x)＋eq\f(1,x))n的開放式中各項的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求開放式中的常數(shù)項．解：(1)由題意，得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)該二項開放式中的第r＋1項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\s\up6(\f(8－4r,3))，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項為T3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.10．已知(a2＋1)n開放式中各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)的開放式的常數(shù)項，而(a2＋1)n開放式的二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)等于54，求a的值．解：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))eq\s\up12(5－r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(5－r)·Ceq\o\al(r,5)·xeq\s\up6(\f(20－5r,2)).令Tr＋1為常數(shù)項，則20－5r＝0，∴r＝4，∴常數(shù)項T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n開放式的各項系數(shù)之和等于2n.由題意得2n＝16，∴n＝4.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)4開放式中二項式系數(shù)最大的項是中間項T3，∴Ceq\o\al(2,4)a4＝54，∴a＝±eq\r(3).1．(2022·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的開放式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：選C.由于f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4)，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120.2．(2021·山東棗莊模擬)若(x＋y)9按x的降冪排列的開放式中，其次項不大于第三項，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是()A．(－∞，eq\f(1,5)) B．[eq\f(4,5)，＋∞)C．(－∞，－eq\f(4,5)] D．(1，＋∞)解析：選D.二項式(x＋y)9的開放式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·x9－r·yr.依題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,9)·x9－1·y≤Ceq\o\al(2,9)·x9－2·y2,x＋y＝1,xy<0))，由此得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x8·（1－x）－4x7·（1－x）2≤0,x（1－x）<0))，解之得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)．3．(2021·荊州模擬)已知a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx，則二項式(x2＋eq\f(a,x))5的開放式中x的系數(shù)為________．解析：依題意得a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx＝2sin(2x＋eq\f(π,6))eq\x\le(\o(\s\do4(0),\s\up8(\f(π,2))))＝－2，即a＝－2，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rx10－3r，當r＝3時，T4＝－80x.故二項式(x2＋eq\f(a,x))5的開放式中x的系數(shù)為－80.答案：－804．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．解析：在已知等式兩邊對x求導，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．已知(eq\f(1,2)＋2x)n.(1)若開放式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求開放式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)；(2)若開放式前