2025高考數(shù)學一輪復習-第3章-第1節(jié) 導數(shù)的概念及運算【課件】

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第1節(jié)導數(shù)的概念及運算1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù).目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.導數(shù)的概念f′(x0)y′|x＝x0.2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的______，相應的切線方程為______________________.斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝____________f(x)＝sinxf′(x)＝______________f(x)＝cosxf′(x)＝________________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________________0αxα－1cosx－sinxaxlna基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_______ex4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(4)[cf(x)]′＝_____.cf′(x)5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝_________，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.yu′·ux′1.可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，可導周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).2.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.并注意“在點P處的切線”,說明點P為切點，點P既在曲線上，又在切線上；“過點P處的切線”，說明點P不一定是切點，點P一定在切線上，但不一定在曲線上.3.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的瞬時變化率.(

)(2)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)f′(x)＝cosx.(

)(3)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

)(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)√解析(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，則f′(x)＝－cosx，錯誤.(3)求f′(x0)時，應先求f′(x)，再代入求值，錯誤.(4)函數(shù)y＝x2與x＝0這條直線只有一個公共點，但它們相交，錯誤.×××2.(多選)下列導數(shù)的運算中正確的是(

)ABD

4.(選修二P82T11改編)已知曲線y＝xex在點(1，e)處的切線與曲線y＝alnx＋2在點(1，2)處的切線平行，則a＝________.2e解析由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以該曲線在點(1，e)處的切線斜率為2e，所以該曲線在點(1，2)處切線斜率為a.因為兩切線平行，所以a＝2e.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一導數(shù)的概念感悟提升BA考點二導數(shù)的運算解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.感悟提升1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.3.復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.BC解析對于A，(log23)′＝0，故A錯誤；對于C，(sin2x)′＝2sinxcosx＝sin2x，故C正確；(2)(2024·江西名校聯(lián)考)已知f(x)＝ex－f′(0)x，則f(2)＝(

)A.e2－4 B.e2－2 C.e2－1 D.e2－eC考點三導數(shù)的幾何意義Cy＝0(答案不唯一)解析由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x，設(shè)切點坐標為(t，t2(t＋1))，則過切點的切線方程為y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)，當t＝0時，切線方程為y＝0，當t＝1時，切線方程為y＝5x－3，綜上，直線l的方程為y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0.角度2求切點坐標或參數(shù)例4(1)(2024·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝(

) A.－2 B.－1 C.0 D.1B又f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，則f(x)＝lnx＋x2，所以f(1)＝1，將點(1，1)代入切線方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故選B.(2)(2024·濟南質(zhì)檢)設(shè)x0>1，曲線f(x)＝alnx－3x＋2a(a≠0)在點P(x0，0)處的切線經(jīng)過點(0，2e)，則alnx0＝(

)A.0 B.1 C.e D.2eC解析由題意得f(x0)＝0，即alnx0－3x0＋2a＝0，①將(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0，②聯(lián)立①②解得a＝x0＝e，故alnx0＝e.故選C.(3)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是____________________.(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因為y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.設(shè)切點為A(x0，(x0＋a)ex0)，O為坐標原點，依題意得，切線斜率kOA＝y(tǒng)′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0，所以切線的方程為y－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](x－x0)，又切線過原點，所以－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](－x0)，因為曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0.感悟提升求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設(shè)出切點坐標，根據(jù)：①斜率相等，②切點在切線上，③切點在曲線上建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關(guān)鍵.訓練3(1)函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)B解析函數(shù)f(x)＝lnx＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，所以a的取值范圍是(－∞，2).(2)(2024·南通質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋2x，則曲線y＝f(x)經(jīng)過點A(1，1)的切線方程是________________________.3x－4y＋1＝0或x－y＝0解析設(shè)切點為(t，t3－2t2＋2t)，由題意知f′(x)＝3x2－4x＋2，所以切線的斜率k＝3t2－4t＋2，所以切線方程為y－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(x－t).因為切線過點A(1，1)，所以1－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(1－t)，即(t－1)2(2t－1)＝0，又切線過點A(1，1)，得切線方程為3x－4y＋1＝0或x－y＝0.微點突破

公切線問題1.求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.2.公切線條數(shù)的判斷問題可轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)求解問題.一、共切點的公切線問題例1已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝g(x)在公共點處的切線相同，則m等于(

) A.－3 B.1 C.3 D.5D解析依題意，設(shè)曲線y＝f(x)與y＝g(x)在公共點(x0，y0)處的切線相同.∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.二、不共切點的公切線問題例2(2024·湖北名校聯(lián)考)若直線x＋y＋m＝0是曲線f(x)＝x3＋nx－52與曲線g(x)＝x2－3lnx的公切線，則m－n＝(

) A.－30 B.－25 C.26 D.28C解析設(shè)直線x＋y＋m＝0與曲線f(x)＝x3＋nx－52相切于點(a，－a－m)，與曲線g(x)＝x2－3lnx相切于點(b，－b－m)，b>0.又兩曲線的公切線斜率為－1，所以1－3ln1＝－1－m，解得m＝－2.由f(x)＝x3＋nx－52知f′(x)＝3x2＋n，又兩曲線的公切線斜率為－1，則3a2＋n＝－1，即n＝－3a2－1，故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，故a＝－3，所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.故選C.訓練

(1)(2024·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2與g(x)＝lnx的圖象在公共點處有共同的切線，則實數(shù)a的值為________.解析設(shè)公共點為P(x0，y0)(x0＞0)，由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax，因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在公共點P(x0，y0)處有共同的切線，(2)若曲線C1：y＝ax2(a＞0)與曲線C2：y＝ex存在公共切線，則a的取值范圍為______________.解析由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，由y＝ex得y′＝ex.與曲線C2切于點(x2，ex2)，即y＝ex2x－(x2－1)ex2，因為a＞0，所以x1＞0，當x∈(0，2)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANBDC中，(5x)′＝5xln5，其余正確.DCA5.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

) A.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2) C.f(3)－f(2)＞f′(3)D.f(3)－f(2)＜f′(2)BCD解析由圖知f′(2)＞f′(3)＞0，故A錯誤，B正確.D解析∵f′(x)＝2sinαx＋2－sinα－3，∴f′(1)＝2sinα＋2－sinα－3.∵－1≤sinα≤1，∴2－1≤2sinα≤2，易得f′(1)的最大值為2＋2－1－3<0，7.(2024·大連模擬)若直線y＝2x是曲線y＝x(ex－a)的切線，則a＝(

)A.－e B.－1 C.1 D.eB解析設(shè)切點坐標為(x0，x0(ex0－a))，因為y＝x(ex－a)，所以y′＝(ex－a)＋xex＝(1＋x)ex－a，所以在切點處的切線的斜率為(1＋x0)ex0－a，切線方程為y－x0(ex0－a)＝[(1＋x0)ex0－a](x－x0)，8.(2024·麗水質(zhì)檢)設(shè)f(x)＝ex2，則f′(x)＝________，其在點(0，1)處的切線方程為________.2xex2y＝1解析因為f(x)＝ex2，所以f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(0，1)處的切線方程為y＝1.1依題意，m＝f′(1)＝2－a.又點P(1，f(1))在直線y＝mx＋m上，所以f(1)＝1＋a＝2m，因此1＋a＝2(2－a)，解得a＝1.10.已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝________.0∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題意可知f(3)＝1，11.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；解因為f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程.整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0.12.已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).解得b＝0，a＝－3或1.(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.解因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3