2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習-第8章-第7節(jié) 拋物線【課件】

第八章平面解析幾何第7節(jié)拋物線1.理解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解拋物線的簡單應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離______的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的______.(2)其數(shù)學(xué)表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).相等準線2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)常用結(jié)論與微點提醒×××√2.(選修一P138T2(2))拋物線y2＝8x上與焦點的距離等于6的點的坐標是____________.解析設(shè)所求點為P(x0，y0)，

3.(選修一P133T1(3)改編)焦點到準線的距離是2的拋物線的標準方程是____________________.y2＝±4x或x2＝±4y解析由題知p＝2，2p＝4，但焦點軸不確定，故答案為y2＝±4x或x2＝±4y.2考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一拋物線的定義及應(yīng)用D解析依題意，動點P到直線x－2＝0的距離比它到點M(－4，0)的距離小2，所以P到直線x－4＝0的距離和它到點(－4，0)的距離相等，所以P點的軌跡是拋物線.例1

(1)動點P到直線x－2＝0的距離比它到點M(－4，0)的距離小2，則點P的軌跡是(

) A.直線 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線B解析由題意知拋物線的準線方程為x＝－1，分別過點M，N作準線的垂線，垂足為M′，N′(圖略)，根據(jù)拋物線的定義得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，(3)若在拋物線y2＝－4x上存在一點P，使其到焦點F的距離與到A(－2，1)的距離之和最小，則該點的坐標為_____________.解析

如圖，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦點坐標為(－1，0).依題意可知當A，P及P到準線的垂足Q三點共線時，點P與點F、點P與點A的距離之和最小，故點P的縱坐標為1.感悟提升利用拋物線的定義可解決的常見問題1.軌跡問題：用拋物線的定義可以確定與定點、定直線距離有關(guān)的動點軌跡是否為拋物線.2.距離問題：靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉(zhuǎn)化.“看到準線應(yīng)該想到焦點，看到焦點應(yīng)該想到準線”，這是解決拋物線中與距離有關(guān)的問題的有效途徑.提醒一定要驗證定點是否在定直線上.訓(xùn)練1

(1)設(shè)拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l，P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線(

)A.經(jīng)過點O

B.經(jīng)過點PC.平行于直線OP

D.垂直于直線OPB解析連接PF(圖略)，由題意及拋物線的定義可知|PQ|＝|FP|，則△QPF為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點P.故選B.B解析

由題意得F(1，0)，則|AF|＝|BF|＝2，即點A到準線x＝－1的距離為2，所以點A的橫坐標為－1＋2＝1.不妨設(shè)點A在x軸上方，將其橫坐標1代入拋物線方程得A(1，2)，(3)已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為________.2解析由題意知拋物線的準線l：y＝－1，過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2，故最短距離為2.考點二拋物線的標準方程D解析如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，(2)若頂點在原點的拋物線經(jīng)過點(－2，1)，(1，2)，(4，4)中的2個，則該拋物線的標準方程為__________________.x2＝4y或y2＝4x解析當拋物線的焦點在y軸上時，設(shè)拋物線的標準方程為x2＝my，若點(－2，1)在拋物線上，則m＝4，此時x2＝4y，點(4，4)在拋物線上，點(1，2)不在拋物線上，滿足題意；當拋物線的焦點在x軸上時,設(shè)拋物線的標準方程為y2＝nx,同理可求得當點(1,2)，(4，4)在拋物線上時滿足題意，此時y2＝4x.故滿足題意的拋物線的方程為x2＝4y或y2＝4x.感悟提升求拋物線標準方程的方法(1)定義法：根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離)，再結(jié)合焦點位置，求出拋物線方程.標準方程有四種形式，要注意選擇.(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負由題設(shè)來定；焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論.訓(xùn)練2

(1)(2024·蘭州質(zhì)檢)在平面直角坐標系Oxy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2，0)的距離小1，則P的軌跡方程為(

)A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝－4x D.y2＝－8xD解析由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(－2，0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2，0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.(2)以坐標原點為頂點，以y軸為對稱軸，并經(jīng)過點P(－6，－3)的拋物線的標準方程為____________.x2＝－12y解析由題意設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，則(－6)2＝－2p×(－3)，p＝6，所以拋物線方程為x2＝－12y.考點三拋物線的幾何性質(zhì)例3

(1)(2024·武漢調(diào)研)設(shè)拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝(

) A.3

B.6 C.9 D.12B(2)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________.2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.感悟提升由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程.3解析由題意得焦點F(1，0)，設(shè)直線l為x＝λy＋1(λ≠0)，代入拋物線方程得y2－4λy－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韋達定理得y1y2＝－4，①拓展視野拋物線中的二級結(jié)論B解析[通法]易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為y＝k(x－1).因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②C解析[通法]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(3)(2024·武漢調(diào)研)過拋物線y2＝8x焦點的直線與拋物線交于M，N兩點，設(shè)拋物線的準線與x軸的交點為A，當MA⊥NA時，|MN|＝________.8解析[通法]由題意可知A(－2，0)，焦點坐標為(2，0).設(shè)過拋物線焦點的直線方程為x＝ky＋2，代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.設(shè)M(xM，yM)，N(xN，yN)，則yMyN＝－16，所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，所以由拋物線的定義知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.訓(xùn)練(1)(2024·廣州聯(lián)考)直線y＝x－1過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝(

)A.2 B.4

C.6 D.8D解析焦點F(1，0)，∴p＝2，2課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANA2.過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(

) A.9 B.8 C.7 D.6B解析拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.A解析拋物線C：y2＝8x的準線方程為x＝－2.設(shè)M(x0，y0)，由拋物線的定義可知，點M到焦點F(2，0)的距離等于其到準線x＝－2的距離，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因為點M(x0，y0)在拋物線C：y2＝8x上，4.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且與y軸相交于點P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，則p＝(

) A.1 B.2 C.3 D.4D解析過點A，B分別作拋物線準線的垂線AD，BM，垂足分別為D，M，且AD，BM與y軸分別相交于E，N，D解析由題意可設(shè)切線AB的方程為x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).6.(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.p＝4 B.拋物線方程為y2＝16xC.直線l的方程為y＝2x－4 D.|AB|＝10ACD解析由焦點F到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線的方程為y2＝8x，故B錯誤；∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確.AC解析將點A的坐標代入拋物線方程，得5＝2p，9.(2023·天津卷)過原點O的一條直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px(p>0)于點P，若|OP|＝8，則p的值為________.6解析由題意得直線OP的斜率存在.設(shè)直線OP的方程為y＝kx，10.(2024·南京、鹽城模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點P是其準線上一點，過點P作PF的垂線，交y軸于點A，線段AF交拋物線于點B.若PB平行于x軸，則AF的長度為________.3解析易得F(1，0)，設(shè)P(－1，t)，11.分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(1)準線方程為2y＋4＝0；解準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0).(2)過點(3，－4)；解∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上.解令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15，0)，∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.12.已知拋物線C：x2＝my(m>0)的焦點F到其準線的距離為1.(1)求拋物線C的方程；因為m>0，所以m＝2.所以拋物線C的方程為x2