2011中考備考丹東(數(shù)學(xué)試題欣賞)

中考試題賞析

——認真研究中考優(yōu)秀試題做好2011年復(fù)習(xí)備考

錦州市教師進修學(xué)院王鵬

復(fù)習(xí)備考工作年年歲歲曲相似，歲歲年年生不同。

中考試題賞析

一、中考試題考查的內(nèi)容二、中考優(yōu)秀試題賞析三、中考優(yōu)秀試題有效利用一、中考試題考查的基本內(nèi)容依據(jù)教育部課程改革指導(dǎo)綱要的精神，初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試命題應(yīng)嚴格依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標準》，考試內(nèi)容為《數(shù)學(xué)課程標準》“內(nèi)容標準”中第三學(xué)段的基本內(nèi)容.即初中階段“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形（圖形與幾何）”、“統(tǒng)計與概率”、“課題學(xué)習(xí)”.

在考試的目標上，按照課程標準要求，落實《考試說明》規(guī)定，中考試題應(yīng)該考基礎(chǔ)，考過程，考思維，考能力.

數(shù)與代數(shù)內(nèi)容為例分析一下試題的考法數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域主要內(nèi)容：有理數(shù)與實數(shù)、整式與分式、方程與不等式、函數(shù).學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的目的，用它們數(shù)學(xué)地表示、交流與解決問題，也就是說它是人們數(shù)學(xué)地表示、交流與解決問題的工具，所以對數(shù)與代數(shù)的考查應(yīng)該重點關(guān)注模型、數(shù)學(xué)表示與計算等．也就是說應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的數(shù)感、符號感（符號意識）、運算能力考查.

1.對數(shù)感的考查關(guān)注數(shù)產(chǎn)生的過程——包括實際背景和抽象過程；數(shù)的特征；數(shù)的表示法、數(shù)量大小的比較、運算結(jié)果的估計、數(shù)量關(guān)系等.

例1（2010吉林）：如圖，檢測4個足球，其中超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，從輕重的角度看，最接近標準的是（）評析：試題關(guān)注學(xué)生對有理數(shù)的認識和表示以及絕對值概念的理解．考查學(xué)生的數(shù)學(xué)表示能力，即數(shù)感.

2.關(guān)注符號感

——運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理.

例2（2010青島）：如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個圖案需要

枚棋子，擺第n個圖案需要

枚棋子．

評析：在變化的圖形背景中考查學(xué)生觀察、分析、比較、概括能力以及運用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律能力，在一定程度上考查了學(xué)生的符號意識.

…關(guān)注數(shù)與式運算例3：已知：y=，試說明不論x為任何有意義的值，y的值均不變.

評析：該題以分式化簡為載體，充分關(guān)注對運算法則的掌握和運算能力的直接考查，有著很好的基礎(chǔ)性和效度，同時關(guān)注代數(shù)推理能力的考查．縱觀近幾年我們遼寧省各市中考試卷中，這類試題的考查率100%.

運算能力主要是指以下四個方面：

運算的準確：運算的熟練程度：運算的合理：運算的簡捷：方程與不等式（組）主要關(guān)注

——模型的意義；解方程（不等式）的過程和思想方法；運用模型解決問題；方程與函數(shù)和不等式的聯(lián)系等．例4：如圖，a、b、c分別表示蘋果、梨、桃子的質(zhì)量．同類水果質(zhì)量相等，則下列關(guān)系正確的是（）

A．a(chǎn)＞c＞bB．a(chǎn)＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b

評析：此題以天平稱量水果示意圖的形式呈現(xiàn)數(shù)量間的關(guān)系，關(guān)注了方程和不等式模型，同時考查數(shù)形結(jié)合思想方法的運用.函數(shù)、方程與不等式之間聯(lián)系考查例5：如圖，已知函數(shù)y=x+b和y=ax+3的圖象交點為P，則不等式的集為

．

評析：本題以函數(shù)圖像為載體，以讀圖、識圖為前提，通過兩條直線的位置關(guān)系，獲得不等式的解集，較好體現(xiàn)了函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系，突出了新課程注重基礎(chǔ)，關(guān)注聯(lián)系與綜合的特點.函數(shù)主要關(guān)注

——將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；及滲透函數(shù)的思想；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；通過不同的途徑（圖象、表格、表達式等）了解函數(shù)的具體特征；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系；函數(shù)的形式化表達方式．

例6：（2010年齊齊哈爾）因南方旱情嚴重，乙水庫的蓄水量以每天相同的速度持續(xù)減少.為緩解旱情，北方甲水庫立即以管道運輸?shù)姆绞接枰灾г?下圖是兩水庫的蓄水量（萬米3）與時間（天）之間的函數(shù)圖象.在單位時間內(nèi)，甲水庫的放水量與乙水庫的進水量相同（水在排放、接收以及輸送過程中的損耗不計）.通過分析圖象回答下列問題：（1）甲水庫每天的放水量是多少萬立方米？（2）在第幾天時甲水庫輸出的水開始注入乙水庫？此時乙水庫的蓄水量為多少萬立方米？（3）求直線的函數(shù)解析式.評析：本題以圖象為載體，關(guān)注學(xué)生借助函數(shù)圖象分析和理解一次函數(shù)的意義和性質(zhì)能力的考查.

其他三個領(lǐng)域考查內(nèi)容空間與圖形（圖形與幾何）考查的基本內(nèi)容有：圖形的認識（圖形的性質(zhì)）、圖形與坐標、圖形與變換和圖形與證明.空間與圖形領(lǐng)域主要培養(yǎng)目標是發(fā)展空間觀念、幾何直觀與推理能力.統(tǒng)計與概率考查的基本內(nèi)容：統(tǒng)計內(nèi)容學(xué)習(xí)的基本目標是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計意識，能夠做一些合理的統(tǒng)計推斷；概率內(nèi)容學(xué)習(xí)的基本目標是了解隨機現(xiàn)象，能夠借助概率模型或通過設(shè)計具體活動解釋一些事件發(fā)生的概率．統(tǒng)計與概率領(lǐng)域考查目標是：統(tǒng)計觀念（數(shù)據(jù)分析觀念）和隨機觀念.

課題學(xué)習(xí)領(lǐng)域考查能力有：綜合運用能力、問題解決能力.

二、中考優(yōu)秀試題賞析

——從一個優(yōu)秀試題所具體的基本特征的角度賞析.1．具有較強的探索性

2．具有一定的發(fā)展性和推廣性，是一個問題類.3．具有較強的問題解決和反思功能

4．具有一定的現(xiàn)實意義或與學(xué)生的實際生活有著直接的聯(lián)系.5．具有多種解題方法或多種可能解答.6．具有鮮明立意，能準備考查出要考查的內(nèi)容.1．具有較強的探索性的試題

《漢語大詞典》對探究的解釋是“探索研究”，即努力尋找答案、解決問題，從廣義上說探究是一種思維方式.那么探究能力就是指人們探尋研究未知或者已知事物的能力.探究能力是人們創(chuàng)造性從事各種社會活動必須具體的能力，因此考查學(xué)生在問題解決過程中的探究能力是中考數(shù)學(xué)試卷中必須實現(xiàn)的一個重要目標.

典型舉例例1（2010年河北?。涸趫D1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1

=

∠2

=

45°．（1）如圖1，若AO

=

OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO

=

OB．求證：AC

=

BD，AC

⊥

BD；（3）將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求BD：AC的值．

評析：本題考查的探究能力主要體現(xiàn)在解決思路與方法的探究上.此題通過對直線MN的旋轉(zhuǎn)變換和線段OB伸拉過程中，∠1=∠2=45°基本關(guān)系不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)造一個幾何探索問題.要求學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維活動，在三角形中利用添加輔助線構(gòu)造全等三角形，來探究兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；而探究線段之間關(guān)系的解題策略，又給下面探究線段之間比的問題提供了解決思路，該題的設(shè)問方式與解決問題的基本方式又讓學(xué)生感受到全等三角形與相似三角形之間的必然聯(lián)系，從而完成由特殊到一般的探究過程.典型舉例例2(2009年本溪市)：在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE

度；（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，①如圖2，當(dāng)點D在線段BC上移動，則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點D在直線BC上移動，則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．評析：

本題沒有直接給出證明的結(jié)論，而是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)操作過程自己探究結(jié)論，整個過程蘊含著用數(shù)學(xué)模式化功能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的策略和方法，可以有效地考查學(xué)生的探究能力和推理能力.

題目先將題設(shè)的條件特殊化——頂角等于90度，讓學(xué)生進行簡單的猜想，再此基礎(chǔ)上，將等腰三角形的頂角度數(shù)一般化，借助幾何圖形（圖2）的基本特征以及（1）中得到猜想結(jié)論進行直覺思維，從而得到更深入的合理猜想，較好地考查了學(xué)生直覺思維和合情推理能力.此外本題探究問題的基本策略——由直角到任意角，由線段上的點，到直線上任意一點，能較全面考查出學(xué)生數(shù)學(xué)知識理解的深刻性以及數(shù)學(xué)能力.（1）∠BCE

度；（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β,D在線段BC（直線BC）上移動

2．具有一定的發(fā)展性和推廣性，是一個問題類

類特征的問題，就是指問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)一致，解決過程的模式一致，但涉及具體問題情景和涉及的數(shù)學(xué)知識、技能不完全相同的問題類問題.類問題具有較好的發(fā)展性和推廣性，能很好地考查出學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解，知識之間內(nèi)在聯(lián)系的掌握，同時也較好地考查學(xué)生通過觀察、類比、分析、猜想等思維活動發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

（類問題比比皆是：如代數(shù)行程問題、直角三角形測量問題、幾何圖形問題.典型舉例例3（2010年無錫）:

（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN-—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．本試（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN=

°時，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）評析：本題基本圖形是近幾來在各地中考試卷中出頻繁出現(xiàn)，原因是它能反映出正多邊形圖形中一個基本幾何關(guān)系，因此有很好的發(fā)展性和推廣性.3．具有較強的問題解決和反思功能的試題

這類試題基本特征是：將已有的問題解決策略遷移到對新的問題解決中來，或?qū)栴}中剛剛得到的結(jié)論運用到新的問題的解決過程中.

典型舉例例4（2008年福建寧德市）：如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF；（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的長．評析：

本題的前兩個問題是常見的幾何證明題，考查的內(nèi)容是三角形的全等以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題的創(chuàng)新之處在于第（3）問設(shè)計.典型舉例

例5（2009年黑龍江齊齊哈爾）：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．

（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)BD，取BD的中點H，連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．）

問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論．

問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié)EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連結(jié)GD，判斷△AGD的形狀并證明．

評析：

本題提供了圖1中證明兩個角相等基本解題思路的閱讀材料，之后設(shè)計兩個圖形1的變式圖形，問題一是通過四個頂點位置變換來構(gòu)造新的情境，側(cè)重于考查對圖1解決策略的理解和應(yīng)用.題目設(shè)計精巧，由淺入深，解決問題思路由簡到難，有利于不同水平學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查.4．具有一定的現(xiàn)實意義

或與學(xué)生的實際生活有著直接的聯(lián)系

數(shù)學(xué)本來是與現(xiàn)實生活緊密相連的，數(shù)學(xué)中的許多概念來源于生活，是生活問題的抽象.因此在解決數(shù)學(xué)問題過程中，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有意義的活動,從而逐步認識數(shù)學(xué)的價值，這是數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)的理念之一，也是中考數(shù)學(xué)試題必須貫徹的基本原則.典型舉例例6：（2010年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）在實施“中小學(xué)校舍安全工程”之際，某市計劃對A、B兩類學(xué)校的校舍進行改造，根據(jù)預(yù)算，改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元．（1）改造一所A類學(xué)校的校舍和一所B類學(xué)校的校舍所需資金分別是多少萬元？（2）該市某縣A、B兩類學(xué)校共有8所需要改造．改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若國家財政撥付的改造資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少于210萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所20萬元和30萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案，每個方案中A、B兩類學(xué)校各有幾所．評析：增加教育投入，改善教學(xué)條件，整合優(yōu)質(zhì)教育資源是2010至2020國家中長期教育改革規(guī)劃綱要提出的目標之一，此題以校舍改選這個與學(xué)生密切相關(guān)的事件為背景，考查學(xué)生建立方程、不等式組模型的能力.此題是常見的“方案決策類”試題，其所考查的內(nèi)容和思想方法是非常重要的，其考查目的也是一般的方程與不等式題目所不能完全體現(xiàn)的，具有一定的獨特性．5．多種解題方法或多種可能解答學(xué)生在學(xué)業(yè)水平上客觀地存在差異性，為了能夠全面真實地考查學(xué)生在知識掌握程度、數(shù)學(xué)能力水平，各地的試題在注意結(jié)合不同的內(nèi)容領(lǐng)域以及試題難度系數(shù)不同的要求編制外，試題盡可設(shè)計一些有多種不同解法或多種可能解答方案的試題，這樣的試題能避免學(xué)生因為在某一方面認知障礙影響對相關(guān)內(nèi)容的考查.（除簡單的基礎(chǔ)試題外，考查能力中檔以上試題盡可能避免只有一種方法試題）這樣才能滿足不同思維層次的學(xué)生的需要.

例題：（幾何、代數(shù)）

6.試題立意鮮明，能準備考查出要考查的內(nèi)容

每個中考試題都有明確的考查目標，而考查的目標是根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的要求而定，在中考試題的編制過程中，一定考慮到你編制的試題是否真正能考查出你要考查的核心內(nèi)容，是否因為學(xué)生對其它非重要知識的理解和掌握的偏頗影響核心內(nèi)容的考查.曲型舉例

例8(2010遼寧本溪)

：甲、乙二人從同一副撲克牌中拿出8張牌玩抽牌游戲，甲手中的四張牌分別是2、2、3、4，乙手中的四張牌分別是3、4、5、5，兩人分別從對方牌中任意抽取一張（彼此看不到對方的牌面），然后將牌面上的數(shù)字相加，若和為奇數(shù)則甲贏，否則乙贏.

（1）請用“列表法”或“樹狀圖法”求出甲贏的概率.

（2）這個游戲公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請在不改變規(guī)則的情況下，從甲、乙手中各選擇一張牌進行交換，使游戲平．（寫出一種方案即可，不必說明理由）．例9（2008重慶市）：將背面完全相同，正面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片混合后，小明從中隨機地抽取一張，把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)．將形狀、大小完全相同，分別標有數(shù)字1，2，3的三個小球混合后，小華從中隨機地抽取一個，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計算出這兩數(shù)的差．（1）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩數(shù)的差為0的概率；（2）小明與小華做游戲，規(guī)則是：若這兩數(shù)的差為非負數(shù)，則小明贏；否則，小華贏．你認為該游戲公平嗎？請說明理由．如果不公平，請你修改游戲規(guī)則，使游戲公平．評析：

例8、例9都是考查兩次試驗的概率計算問題.

其中例8敘述簡單，兩次試驗抽取的牌面數(shù)字相加和為偶數(shù)或奇數(shù)的數(shù)學(xué)背景，是學(xué)生容易理解和判斷的數(shù)學(xué)常識，因此本題能較好地考查出學(xué)生利用樹狀圖或列表方法求出簡單事件發(fā)生的概率水平要求.

例9想法是好的，編者為了求新意，將有理數(shù)減法與概率相疊加，但學(xué)生對非重點內(nèi)容（減數(shù)、被減數(shù)）的掌握情況可能影響后者，因此應(yīng)慎用.三、中考優(yōu)秀試題的有效利用

（一）分析中考優(yōu)秀試題之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性

（二）分析中考優(yōu)秀試題的編制過程，消除學(xué)生對中考的畏懼心理（一）分析中考優(yōu)秀試題之間的聯(lián)系，

引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性

1．一節(jié)真實的復(fù)習(xí)課案例（案例）（處理方式單一）2．對這位老師遴選的四個問題的評價優(yōu)點：這四個題目基本上是選自近幾近各省市的中考試題，四個題目選栽很好，具備我前邊談到的中考優(yōu)秀試題的基本特征.也很具有典型性和代表性，從形式上看有關(guān)于角度的問題，有線段的相等關(guān)系和位置關(guān)系問題，還有線段的和差倍分問題，也有線段的平方關(guān)系和比例關(guān)系，是近幾年來中考的熱點問題，涉及到的三角形、四邊形知識也是空間與圖形的核心內(nèi)容，是空間幾何的主干知識.缺點：用一節(jié)課研究四種類型的問題，學(xué)生不容易消化理解.這四個題的數(shù)學(xué)本質(zhì)、解題策略、基本規(guī)律沒有深刻挖掘，相關(guān)的問題的拓展沒有探究.3.對例題的數(shù)學(xué)本質(zhì)、解題策略分析（1）例1基本數(shù)學(xué)關(guān)系（條件，不變結(jié)論）（2）解題策略和思維規(guī)律（3）反思題設(shè)的基本數(shù)學(xué)關(guān)系

圖③圖②圖①（4）數(shù)學(xué)關(guān)系的遷移（拓展命題）拓展：正三角形改為正方形，則AM與BN的夾角等于已知正方形的一個內(nèi)角的度數(shù)，即90°，AM、BN數(shù)量關(guān)系仍然相等，位置關(guān)系垂直.

數(shù)學(xué)關(guān)系推廣：(5)例1數(shù)學(xué)規(guī)律的延伸延伸1：從例1出發(fā)（1）如圖，點D、E分別是正△ABC邊AC、CB延長線上的點，且CD=BE，DB延長線交AE于F，求∠AFB的度數(shù)；（2）若將（1）中的正△ABC變成正方形ABCM，其他條件不變，求∠AFB的度數(shù)（直接寫答案）；（3）若將（1）中的正△ABC變成正五邊形ABCMN，其他條件不變，求∠AFB的度數(shù)（直接寫答案）；（4）根據(jù)前面探索，你能否將問題推廣到一般的正n邊形情況．若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，說明理由．(5)例1數(shù)學(xué)規(guī)律的延伸

延伸2：將例1條件與結(jié)論互換（2006年江西）問題背景某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：①如圖1，在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=90°，則BM=CN．然后運用類比的思想提出了如下命題：③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN．任務(wù)要求（1）請你從①,②,③三個命題中選擇一個進行證明；圖5（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：①如圖4，在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問當(dāng)∠BON等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立？（不要求證明）②如圖5，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°時，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．延伸3：（2006年沈陽）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：①AF=DE；②AF⊥DE．（不需要證明）（1）如圖2，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF，則上面的結(jié)論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）（2）如圖3，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論1，2是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．（3）如圖4，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

延伸4：（2006年山東臨沂）已知正方形ABCD．（1）如圖1，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，求證：BE=GH；（2）如圖2，過正方形ABCD內(nèi)任意一點作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點E、F，交AB、CD于點G、H，EF與GH相等嗎？請寫出你的結(jié)論；（3）當(dāng)點O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？其中一種情形如圖3所示，過正方形ABCD外一點O作互相垂直的兩條直線m,n，m與AD、BC的延長線分別交于點E、F，與AB、DC的延長線分別交于點G、H，試就該圖形對你的結(jié)論加以證明．延伸5：（2010年紹興）(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.(2)如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.(3)已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,∠FOH＝90°,EF＝4.

直接寫出下列兩題的答案：①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).4.例2的數(shù)學(xué)本質(zhì)、解題策略的分析：（1）例2條件和結(jié)論分析（2）解題策略和思維規(guī)律解題策略：證CF=BD思維規(guī)律：始終有△ABD≌△AFC關(guān)系（3）反思題設(shè)的基本數(shù)學(xué)關(guān)系

數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性：有公共頂點的等腰直角三角形ABC和正方形ADEF，當(dāng)正方形一個頂點落在等腰直角三角形斜邊所在直線上時，則CF與BD相等且垂直的關(guān)系不變.

（4）數(shù)學(xué)關(guān)系的遷移（拓展命題）

數(shù)學(xué)本質(zhì)：有公共頂點的兩個等腰直角三角形，其另外兩對對應(yīng)頂點連接的線段相等且互相垂直.

將條件弱化：等腰三角形角等于α.

利用這個數(shù)學(xué)關(guān)系編制中考的題例子很多(5)例2數(shù)學(xué)規(guī)律的延伸延伸1：（2008廣東））（1）如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC．求∠AEB的大??；（2）如圖2，ΔOAB固定不動，保持ΔOCD的形狀和大小不變，將ΔOCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（ΔOAB和ΔOCD不能重疊），求∠AEB的大?。由?：（2008年福建南平）（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB、AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE、CD相交于點O．①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOC=

；如圖2，∠BOC=

；如圖3，∠BOC=

．（2）如圖4，已知：AB、AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC、AE是以AC為邊向△ABC外所作正邊形的一組鄰邊．BE、CD的延長相交于點O．①猜想：如圖4，∠BOC=

（用含n的式子表示）；②根據(jù)圖4證明你的猜想．

延伸3：（2006年山東泰安）（1）已知：如圖①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求證：①AC=BD；②∠APB=60°．（2）如圖②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為

；∠APB的大小為

．（3）如圖③，在△AOB和△COD中，若OA=kOB，OC=kOD(k>1)，∠AOB=∠COD=α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為

；∠APB的大小為

．

延伸4：（2007年湖北武漢）已知，點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點F．（1）如圖1，若∠BAC=60°，則∠AFB=_______；如圖2，若∠BAC=90°，則∠AFB=_______；（2）如圖3，若∠BAC=α，則∠AFB=_______（用含α的式子表示）；（3）將圖3中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)（點F不與點A、B重合），得圖4或圖5．在圖4中，∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系是_______；在圖5中，∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系是_______．請你任選其中一個結(jié)論證明．？？？探討典型題不勝枚舉5.例1與例2的之間的聯(lián)系：

分析例1、例2的條件和結(jié)論，我們不難發(fā)現(xiàn)，兩題中存在的數(shù)學(xué)關(guān)系本質(zhì)上是相同，都是利用等腰三角形、等邊三角形、正方形或正多邊形邊和及其內(nèi)角的特殊性，來尋找圖形中其它量的不變性，其實可以通過條件的加強或減弱，圖形平移或旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)互相轉(zhuǎn)化.

（二）分析中考優(yōu)秀試題的編制過程

消除學(xué)生對中考的畏懼心理

眾所周之，每個中考試題都不是命題者頭腦一熱就想出來的，它們是在原有素材和數(shù)學(xué)試題基礎(chǔ)之上編制完成的，中考試題的編制是一門技術(shù)，也是一門藝術(shù)，其中蘊含的理論和方法很多.我今天想從一個最簡單的中考試題變式開始，和大家交流一下，如何在復(fù)習(xí)備考過程中，讓學(xué)生初步了解中考試題演變過程，消除學(xué)生對中考的畏懼心理，培養(yǎng)自信心.

基本試題1例1：在△ABC中，∠ACB=90°.∠BAC的平分線AD交BC于點D，CM⊥AB交AD于F，交AB于點M，DE⊥AB于E.

求證（1）CF=CD，（2）四邊形CDEF是菱形.基本題2（中考選擇題或填空題）例2：如圖，AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于E、F兩點，EP平分∠AEF，過點F作FP⊥EP，垂足為P，若∠PEF=30°，則∠PFC=

．1.條件與結(jié)論互換變式：如圖，已知，AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于E、F兩點,若是∠CFE與∠AEF的角平分線交點P，求證：∠FPE=90°.(2006年浙江省中考題)2.添加一條直線HG添加條件：

變式：如圖，AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于E、F兩點，若是∠CFE與∠AEF的角平分線交點P，過P作HG垂直于直線AB，交AB、CD于點H、G.

求證：EF=HE+GF.

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3.將添加的直線HG位置一般化（2009年撫順）已知：如圖所示，直線MA∥NB,∠MAB與∠NAB的平分線交于點C，過點C作一條直線與兩條直線MA、NB分別相交于點D、E．（1）如圖1所示，當(dāng)直線與直線MA垂直時，猜想線段AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點D、E都在AB的同側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；（3）當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．4.