向量組的線性相關性

向量組的線性相關性向量組的線性相關性線性組合一、兩個向量之間最簡單的關系是成比例.所謂向量α與β成比例，即存在一個數(shù)k使得β=kα.也就是說，向量β可以由向量α經過線性運算得到.多個向量之間的比例關系，表現(xiàn)為線性組合.例如，向量α1=（1，0，1），α2=（0，1，0），α=（3，2，3）.很容易看出α1的3倍加上α2的2倍就等于α，即

α=3α1+2α2這時，我們稱向量α是向量組α1，α2的線性組合，或稱向量α可以由向量組α1，α2線性表示.定義3-7對于給定向量β，α1，α2，…，αn，如果存在一組數(shù)k1，k2，…，kn，使得關系式β=k1α1+k2α2+…+knαn（3-4）成立，那么稱向量β是向量組α1，α2，…，αn的線性組合，或稱向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線性表示.任何一個n維向量α=(a1，a2，…，an)都是n維向量組e1=1,0,0,…,0，e2=0,1,0,…,0，…，en=0,0,0,…,1的線性組合.這是因為，根據向量的線性運算，顯然有α=a1e1+a2e2+…+anen其中，n階單位矩陣E=e1,e2,…,en的列向量組e1,e2,…,en稱為n維單位坐標向量組.【例3-3】零向量是任何一組向量α1,α2,…,αn的線性組合.這是因為0=0α1+0α2+…+0αn

總是成立.【例3-4】已知向量α1=1,2,3T,α2=2,3,1T,α

3=3,1,2T，β=0,4,2T，判斷向量β是否可以由向量組α1,α2,α3線性表示.解假設存在一組數(shù)k1,k2,k3，使β=k1α1+k2α2+k3α3成立.即有解方程組得唯一解：k1=1,k2=1,k3=－1.所以β能由α1,α2,α3唯一地線性表示，且β=α1+α2－α3.【例3-5】線性相關與線性無關二、對于任意一個向量組α1,α2,…,αn，一定有0α1+0α2+…+0αn=0.這就是說，任何一個向量組，它的系數(shù)全為0的線性組合一定是零向量.而有些向量組在系數(shù)不全為0的情況下，其線性組合也可以是零向量.例如，α1=1,－1,0,α2=3,2,－5,α3=2,3,－5，顯然有α1－α2+α3=0.即存在一組不全為0的數(shù)1，-1，1使得α1,α2,α3的線性組合為零向量.具有這種性質的向量組稱為線性相關的向量組.定義3-8給定向量組α1,α2,…,αn，如果存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,…,kn使得k1α1+k2α2+…+knαn=0(3-5)

那么稱向量組α1,α2,…,αn線性相關，否則，稱它們線性無關，即僅當k1=k2=…=kn=0時，式（3-5）才成立，那么α1,α2,…,αn線性無關.由此可見，線性相關的向量組與線性無關的向量組是性質相反的兩類向量組.由一個向量α構成的向量組線性相關的充要條件是α=0.

證明若α線性相關，則由定義3-8知，存在數(shù)k≠0，使得kα=0，由此得α=0；反之，若α=0，不妨取k=2≠0，有kα=0成立，故α線性相關.由此可知：一個向量α構成的向量組線性無關的充要條件是α≠0.【例3-7】由兩個向量α，β構成的向量組線性相關的充要條件是它們的對應分量成比例.證明(略）【例3-8】含有零向量的向量組必定線性相關.事實上，對于向量組0,α1,…,αs，任取數(shù)k≠0，即得一組不全為0的數(shù)k,0,…,0，使得k0+0α1+…+0αs=0

故向量組0,α1,…,αs線性相關.【例3-9】向量組線性相關性的有關結論三、定理3-1向量組α1,α2,…,αn(n≥2)線性相關的充要條件是α1,α2,…,αn中至少有一個向量可由其余n-1個向量線性表示.證明

必要性：由于α1,α2,…,αn線性相關，所以必存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,…,kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0不妨設kn≠0，將上式移項可得

－knαn=k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1

定理3-2如果向量組α1,α2,…,αn線性無關，而向量組α1,α2,…,αn,β線性相關，那么向量β可由向量組α1,α2,…,αn唯一地線性表示.證明

由于向量組α1,α2,…,αn,β線性相關，所以存在一組不全為0的數(shù)k1,k2,…,kn,k，使得k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0若k=0，則有k1α1+k2α2+…+knαn=0由向量組α1,α2,…,αn線性無關,知k1=k2=…=kn=0.這與k1,k2,…,kn,k不全為0矛盾，因此，k≠0，于是有即向量β可由向量組α1,α2,…,αn線性表示.下面證明表達式唯一.設向量β有兩種線性表達式，即

β=k1α1+k2α2+…+knαn且β=l1α1+l2α2+…+lnαn將兩式相減，得k1－l1α1+k2－l2α2+…+kn－lnαn=0由向量組α1,α2,…,αn線性無關知k1－l1=k2－l2=…=kn－ln=0故ki=lii=1,2,…,n，這就證明了表達式的唯一性.判斷一個向量組是否線性相關，最基本的方法是利用定義進行判斷.為了更加便捷地判斷向量組之間的線性關系，我們不加證明地給出以下幾個定理.定理3-3（1）若向量組的某一個部分組線性相關，則整個向量組線性相關.反言之，若整個向量組線性無關，則其任一部分組也線性無關.（2）向量組α1,α2,…,αn線性相關的充要條件是它所構成的矩陣A=（α1,α2,…,αn）的秩小于向量的個數(shù)n；向量組α1,α2,…,αn線性無關的充要條件是RA=n.（3）由m個n維向量組成的向量組，當n<m，即向量的維數(shù)小于向量的個數(shù)時，向量組一定線性相關.特別地，n+1個n維向量一定線性相關.討論n維單位坐標向量組的線性相關性.解n維單位坐標向量組構成的矩陣E=e1,e2,…,en

是n階單位矩陣，由E=1≠0知RE=n，即RE等于向量組中向量的個數(shù)，故知此向量組是線性無關的.【例3-11】定理3-4（1）向量組α1,α2,…,αn中的部分組αi1,αi2,…,αir線性無關的充要條件是向量組β1,β2,…,βn中對應的部分組βi1,βi2,…,βir線性無關.（2）向量組α1,α2,…,αn中的某個向量αj可由部分組αj1,αj2,…,αjr線性表示為αj=k1αj1+k2αj2+…+krαjr

的充要條件是向量組β1,β2,…,βn中對應的向量βj可由對應的部分組βj1,βj2,…,βjr線性表示為βj=k1βj1+k2βj2+…+krβjr

證明

（略）由于任何一個矩陣都可以經過初等行變換化為行最簡形矩陣，而行最簡形矩陣的列向量組中有一部分是單位坐標向量組的部分組，很容易看出它們的線性相關性.因此，定理3-4給我們提供了一個判斷向量組之間線性關系的更為簡便的方法.設向量組【例3-12】判斷向量組α1,α2,α3,α4是否線性相關，如果線性相關，試將其中一個向量表示為其余向量的線性組合.解