2024學(xué)年烏蘭浩特市一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷附答案解析

學(xué)年烏蘭浩特市一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知拋物線方程，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列，，，，，…，，…，則該數(shù)列的第項(xiàng)是（

）A． B． C． D．3．已知P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．在等差數(shù)列中，，則的值為（）A．6 B．12 C．24 D．485．圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（）A． B． C． D．6．為直線上一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線，則的最小值（

）A． B． C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體SABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，則該四面體外接球的表面積是A． B． C． D．8．已知點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．焦距為5C．離心率為 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離為410．已知曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是圓B．當(dāng)時(shí)，是橢圓且一焦點(diǎn)為C．當(dāng)時(shí)，是橢圓且焦距為D．當(dāng)時(shí)，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓11．如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q，則為定值B．直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，A是橢圓上異與R，S的點(diǎn)，且、均存在，則C．若橢圓上存在一點(diǎn)M使，則橢圓離心率的取值范圍是D．四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是，左、右頂點(diǎn)分別是，過(guò)作軸的垂線交雙曲線于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．13．已知二面角，，，，，，，若，，，，則二面角的余弦值為.14．圓形是古代人最早從太陽(yáng)、陰歷十五的月亮得到圓的概念的.一直到兩千多年前我國(guó)的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長(zhǎng)也．意思是說(shuō)：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．現(xiàn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上取任意一點(diǎn)，若的取值與x、y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）在等差數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F．過(guò)F的直線與C交于Ax1,y(1)求的值；(2)求直線與C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).17．已知平面四邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.

(1)證明：平面；(2)若是線段上一點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.18．已知橢圓分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l交橢圓C于點(diǎn)P，Q．若，且當(dāng)直線軸時(shí)，．(1)求橢圓C的方程；(2)記的面積為S，求S的最大值．19．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，直線為的一條漸近線．(1)求的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．【答案】A【詳解】∵拋物線的方程為，∴化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，∴由此可得拋物線的，得，

∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2．【答案】A【詳解】由已知數(shù)列，，，，，…，，…，即，，，，，…，，…，則數(shù)列的第項(xiàng)為，第項(xiàng)為，故選：A.3．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義，得到點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)?，可得，則，由橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，可得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓，所以.故選C.4．【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，由，，即，故選：D.5．【答案】C【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).設(shè)拋物線的方程為，由點(diǎn)可得，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，所以水面寬度為.故選：C.6．【答案】D【詳解】由題意，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線，可得直線與圓相切或相離，則滿足圓心到直線的距離，解得，即，所以的最小值為.故選：D.7．【答案】D【分析】由題意，四面體的外接球就是棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，直徑為正方體的對(duì)角線，即可求出四面體的外接球的體積.【詳解】由題意計(jì)算可得，，，.，，，所以平面ABC，故四面體SABC是底面ABC為等腰直角三角形，側(cè)棱SC垂直底面ABC的幾何體，所以四面體的外接球就是棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，其直徑為正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，半徑為.所以該四面體外接球的表面積.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積，考查了向量的數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用，解決此題還需熟記球的表面積公式，屬于中檔題.8．【答案】B【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓C的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是．故選：C．9．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，所以A正確，B、C不正確；又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點(diǎn)，不妨設(shè)右焦點(diǎn)，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以D正確.故選：AD.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線C可化為是圓，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線C可化為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，且，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線不是橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】ACD【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點(diǎn)為Q，所以，于是有，所以本選項(xiàng)命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，所以R，S兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)，Ax0，因?yàn)锳是橢圓上異與R的點(diǎn)，所以有，兩個(gè)式相減，得，因此，所以本選項(xiàng)命題是假命題；C：橢圓上存在一點(diǎn)M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)MF1=M而，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；D：因?yàn)榫匦魏驮摍E圓的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為，即，所以矩形的面積為，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)命題是真命題，故選：ACD12．【答案】【詳解】由題意可知：左、右頂點(diǎn)分別是A1（﹣a，0），A2（a，0），當(dāng)x＝c時(shí)，代入雙曲線方程，解得：y＝±，設(shè)B（c，），C（c，），則直線A1B的斜率k1，直線A2C的斜率k2，由A1B⊥A2C，則k1×k2＝﹣1，即1，則1，雙曲線的離心率e，故答案為：．13．【答案】/【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作且，連接，則得平行四邊形，，，又，則即二面角的平面角，又，故平面，因平面，則，又，故得.在中，由，，可得，在中，，，，所以二面角的余弦值為.故答案為：.14．【答案】【詳解】由已知可得所在的圓的方程為，設(shè)，故可看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的5倍，因?yàn)榈娜≈蹬cx、y無(wú)關(guān)，所以這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，圓心到直線的距離為，所以圓與直線相離，如圖所示，可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線的距離之和均為直線之間的距離，此時(shí)可得圓在兩直線之間，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得（舍去），或，所以.故答案為：.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可知，,因?yàn)?，，得，解?所以等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)，，所以.16．【答案】(1)(2)1個(gè)【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以．（2）直線的斜率為，所以直線的方程為，即，與聯(lián)立得，解得，所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn)A．17．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因，，故，又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）如圖，連接交于，因?yàn)椋?/p>

故，，故，則為等腰直角三角形，故，又，故，為靠近的三分點(diǎn)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，故，則為靠近的三分點(diǎn)，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，因?yàn)榭拷娜贮c(diǎn)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.【方法總結(jié)】向量法求兩個(gè)平面的夾角的余弦值：首先求出兩個(gè)平面的法向量，再代入公式cosα＝(其中分別是兩個(gè)平面的法向量，α是兩個(gè)平面的夾角)求解．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，…①由，得，…②又當(dāng)直線軸時(shí)，P，Q的橫坐標(biāo)為c，將代入中，得，則，…③聯(lián)立①②③，解得，所以橢圓C的方程為．（2）直線不與y軸垂直時(shí)，可設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去x并整理得，，又設(shè)，由韋達(dá)定理得所以．令，則，設(shè)函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知在上為增函數(shù)，所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)S取得最大值為．19．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使為定值，理由見詳解.【分析】（1）由，再由漸近線的方程得的值，求得，即可得雙曲線方程；（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，設(shè)點(diǎn)，得，再設(shè)，計(jì)算，由其為常數(shù)求得，同時(shí)驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此值也使得為剛才的常數(shù)，即得結(jié)論．【詳解】（1）由題意得，即.因?yàn)榈臐u近線方程為.所以，所以，