函 數(shù)教學(xué)課件

函數(shù)一、集合、區(qū)間和鄰域集合1.

集合概念是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基本的概念，一般可以把集合（簡(jiǎn)稱集）理解為具有某種特定性質(zhì)的事物的總體．例如，某學(xué)校全體師生組成的一個(gè)集合；某學(xué)校某個(gè)班級(jí)的全體同學(xué)組成的一個(gè)集合；全體實(shí)數(shù)組成的一個(gè)集合；全體正整數(shù)組成的一個(gè)集合等．集合中的每個(gè)事物稱為集合的元素（簡(jiǎn)稱元）．習(xí)慣上用大寫字母A，B，C，…表示集合，用小寫字母a，b，c，…表示集合的元素．如果元素a是集合A中的元素，記作a∈A（讀作a屬于A）；如果元素a不是集合A中的元素，記作a?A（讀作a不屬于A）．一、集合、區(qū)間和鄰域

如果一個(gè)集合只含有有限個(gè)元素，那么稱這個(gè)集合為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。例如，全體英文字母組成的一個(gè)集合是有限集，全體整數(shù)組成的集合是無限集。給定一個(gè)集合，就是給出這個(gè)集合由哪些元素組成，給出集合的方法通常有兩種：列舉法和描述法。

列舉法就是把集合中的所有元素都列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)．例如，由1，2，3，4，5，6，7，8八個(gè)數(shù)組成的集合A可記作：A={1，2，3，4，5，6，7，8}.描述法就是把集合中所有元素的公共屬性描述出來，記作A={x|x具有性質(zhì)P}.例如，A={x|0<x<6}表示滿足不等式0<x<6的實(shí)數(shù).B={（x，y）|x2＋y2≤4}表示在xOy平面上以原點(diǎn)O為中心，半徑為2的圓周及其內(nèi)部所有點(diǎn)所組成的集合．一、集合、區(qū)間和鄰域一、集合、區(qū)間和鄰域習(xí)慣上，全體實(shí)數(shù)組成的集合記作R，即R={x|x為實(shí)數(shù)}；全體有理數(shù)組成的集合記作Q，即Q={x|x為有理數(shù)}；全體整數(shù)組成的集合記作Z，即Z={x|x為整數(shù)}；全體自然數(shù)組成的集合記作N，即N={x|x為自然數(shù)}．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作A?B（讀作A包含于B）或B?A（讀作B包含A）.如果集合B與集合A互為子集，即A?B且B?A，則稱集合B與集合A相等，記作：A=B.一、集合、區(qū)間和鄰域例如，集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x＋6=0}，則A=B．特別地，不包含任何元素的集合稱為空集，記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集．例如，{x|x2＋1=0且x∈R}是空集，因?yàn)闈M足條件x2＋1=0的實(shí)數(shù)是不存在的．?一、集合、區(qū)間和鄰域以后用到的集合主要指數(shù)集，即元素都是數(shù)的集合。如果沒有特別聲明，以后提到的數(shù)都是指實(shí)數(shù)。注意集合的基本運(yùn)算有以下幾種：并、交、差．設(shè)A，B是兩個(gè)集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集（簡(jiǎn)稱并），記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集（簡(jiǎn)稱交），記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集（簡(jiǎn)稱差），記作A\B，即A\B={x|x∈A且x?B}.一、集合、區(qū)間和鄰域特別地,若集合B包含于集合A(即B?A),則稱A\B為B關(guān)于A的余集,或稱為補(bǔ)集,記作?AB.通常我們所討論的問題是在一個(gè)大集合I中進(jìn)行,所研究的其他集合A都是I的子集,此時(shí)稱I\A為A的余集,記作?IA或AC．例如，在實(shí)數(shù)集R中，集合A={x|-3≤x≤5}的余集為AC={x|x<-3或x>5}.集合的并、交、差運(yùn)算滿足下面的基本法則．一、集合、區(qū)間和鄰域設(shè)A，B，C為三個(gè)任意集合，則下列法則成立：（1）交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（2）結(jié)合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）（4）冪等律A∪A=A，A∩A=A（5）吸收律A∪?=A，A∩?=?A∪B=B，A∩B=A，其中ABA∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A（6）對(duì)偶律（A∪B）C=AC∩BC（A∩B）C=AC∪BC以上法則都可以利用集合的定義來驗(yàn)證．一、集合、區(qū)間和鄰域一、集合、區(qū)間和鄰域

在許多問題中還經(jīng)常用到乘積集合的概念．設(shè)A，B是任意兩個(gè)非空集合，在集合A中任意取一個(gè)元素x，在集合B中任意取一個(gè)元素y，把有序?qū)Γ▁，y）作為新的元素，它們的全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記作A×B，即A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}.例如，設(shè)A={x|a<x<b}，B={y|c<y<d}，則A×B={（x，y）|a<x<b，c<y<d}，它表示xOy平面上以（a，c），（b，c），（b，d），（a，d）為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)部的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，而R×R={（x，y）|x∈R，y∈R}就表示整個(gè)坐標(biāo)平面，記作R2．一、集合、區(qū)間和鄰域區(qū)間2.在很多情況下，集合可以用區(qū)間來表示．設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，且a<b，集合{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記作（a，b），即（a，b）＝{x|a<x<b}，它在數(shù)軸上表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的線段，但不包括端點(diǎn)a及端點(diǎn)b,如圖1-1所示.圖1-1一、集合、區(qū)間和鄰域集合{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，記作［a，b］，即［a，b］＝{x|a≤x≤b}，它在數(shù)軸上表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的線段，包括兩個(gè)端點(diǎn),如圖1-2所示.圖1-2一、集合、區(qū)間和鄰域還有其他類似的區(qū)間：集合{x|a<x≤b}記作（a，b］，稱為左開右閉區(qū)間,如圖1-3所示．集合{x|a≤x<b}記作［a，b），稱為左閉右開區(qū)間,如圖1-4所示．圖1-3圖1-4一、集合、區(qū)間和鄰域上述兩個(gè)區(qū)間（a，b］和［a，b）統(tǒng)稱為半開區(qū)間．以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長(zhǎng)度．從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度為有限的線段．一、集合、區(qū)間和鄰域此外還有所謂無限區(qū)間，引進(jìn)記號(hào)＋∞（讀作正無窮大）及-∞（讀作負(fù)無窮大），則無限區(qū)間表示如下：（a，＋∞）={x|x>a}，如圖1-5所示．［a，＋∞）={x|x≥a}，如圖1-6所示．（-∞，b）={x|x<b}，如圖1-7所示．（-∞，b］={x|x≤b}，如圖1-8所示．圖1-5圖1-6圖1-7圖1-8一、集合、區(qū)間和鄰域全體實(shí)數(shù)的集合R=（-∞，＋∞）={x|x為任意實(shí)數(shù)},它也是無限區(qū)間.一、集合、區(qū)間和鄰域以后在不需要辨明所討論區(qū)間是否包含端點(diǎn)，以及是有限區(qū)間還是無限區(qū)間的問題時(shí)，就簡(jiǎn)單地稱它為“區(qū)間”，且常用I來表示．注意一、集合、區(qū)間和鄰域鄰域3.

設(shè)a與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)且δ>0，則稱數(shù)集{x||x-a|<δ}或{x|a-δ<x<a＋δ}為點(diǎn)a的δ鄰域，記作U（a，δ），并稱點(diǎn)a為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑．如圖1-9所示.圖1-9一、集合、區(qū)間和鄰域

因?yàn)閨x-a|表示點(diǎn)x與點(diǎn)a間的距離，所以U（a，δ）表示與點(diǎn)a距離小于δ的一切點(diǎn)x的全體．實(shí)際上，鄰域就表示以點(diǎn)a為中心的任何開區(qū)間．點(diǎn)a的δ鄰域去掉中心點(diǎn)a后的集合，稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域，記作U°（a，δ），并且U°（a，δ）＝{x|0<|x-a|<δ}其中0<|x-a|就表示x≠a．一、集合、區(qū)間和鄰域例如，點(diǎn)0的15鄰域?yàn)閧x||x|<15}；點(diǎn)2的12去心鄰域?yàn)閧x|0<x-2<12}．設(shè)a與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)且δ>0，則稱數(shù)集{x|a<x<a＋δ}與{x|a-δ<x<a}分別為點(diǎn)a的右δ鄰域與點(diǎn)a的左δ鄰域，分別記作U＋（a，δ），U-（a，δ）．例如，點(diǎn)0的右15鄰域?yàn)閧x|0<x<15}，點(diǎn)0的左15鄰域?yàn)閧x|-15<x<0}．思考

某個(gè)班級(jí)的所有高個(gè)子學(xué)生能用一個(gè)集合來表示嗎？為什么？一、集合、區(qū)間和鄰域二、函數(shù)的概念

函數(shù)是描述變量間相互依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型.在某一自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象中，往往存在多個(gè)不斷變化的量，即變量，這些變量并不是孤立變化的，而是相互聯(lián)系并遵循一定的規(guī)律.函數(shù)就是用來描述這種聯(lián)系的.下面先討論兩個(gè)變量的情形（多于兩個(gè)變量的情形將在第八章中討論）.例如，在自由落體運(yùn)動(dòng)中，設(shè)物體下落的時(shí)間為t，下落的距離為s,假定開始下落的時(shí)刻t=0，則變量s與t之間的相依關(guān)系由數(shù)學(xué)模型s=1/2gt2給定，其中g(shù)是重力加速度.二、函數(shù)的概念

設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的非空數(shù)集.若對(duì)于每個(gè)x∈D，變量y按照一定法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，x∈D,其中x稱為自變量，y稱為因變量，數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，也記為Df，即Df=D.對(duì)每個(gè)x∈D，按照對(duì)應(yīng)法則f，總有確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)在點(diǎn)x處的函數(shù)值，記為f(x).因變量與自變量的這種相依關(guān)系通常稱為函數(shù)關(guān)系.定義1

二、函數(shù)的概念

當(dāng)自變量x遍取D的所有數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)的全體構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記為Rf或f(D)，即Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈D}.由函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)必不可少的要素.也就是說，如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域都相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的函數(shù).關(guān)于函數(shù)的定義域，在實(shí)際問題中應(yīng)根據(jù)問題的實(shí)際意義確定.若討論的是純數(shù)學(xué)問題，則往往取使函數(shù)的表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合作為該函數(shù)的定義域，這種定義域又稱為函數(shù)的自然定義域.定義1

二、函數(shù)的概念例如，函數(shù)的（自然）定義域?yàn)殚_區(qū)間（－1,1）.對(duì)函數(shù)y=f(x)（x∈D），若取自變量x為橫坐標(biāo)，因變量y為縱坐標(biāo)，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中就確定了一個(gè)點(diǎn)x,y.當(dāng)x遍取定義域D中的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，平面上的點(diǎn)集C={(x,y)y=f(x),x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖形（見圖1-10）.圖1-10二、函數(shù)的概念

若自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是唯一的，這種函數(shù)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù).例如，方程x2+y2=a2在閉區(qū)間［－a,a］上確定了一個(gè)以x為自變量、y為因變量的函數(shù).對(duì)每一個(gè)x∈(－a,a)，都有兩個(gè)y值（±√a2-x2）與之對(duì)應(yīng)，因而y是多值函數(shù).注意：若無特別聲明，函數(shù)均指單值函數(shù).二、函數(shù)的概念函數(shù)的常用表示法有以下三種：（1）表格法將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格的方法.（2）圖形法在坐標(biāo)系中用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的方法.（3）公式法（解析法）將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式（又稱為解析表達(dá)式）來表示的方法.二、函數(shù)的概念｛

例1絕對(duì)值函數(shù)y=|x|=x,x≥0，其定義域D=(－∞,+∞),值域Rf=［0,+∞),它的圖形如圖1-11所示．

圖1-11【例1】－x,x<0｛二、函數(shù)的概念｛0,x=01,x＞0

例2符號(hào)函數(shù)y=sgnx=-1,x<0

x>0，其定義域D=(－∞,+∞),值域Rf={－1,0,1}.對(duì)任一實(shí)數(shù)x,總有x=sgnx·x，它的圖形如圖1-12所示．

有些函數(shù),對(duì)于自變量的不同取值范圍，有不同的對(duì)應(yīng)法則,這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，如例1和例2中的兩個(gè)函數(shù).【例2】0,x=01,x＞0二、函數(shù)的概念

取整函數(shù)y=［x］，表示不超過數(shù)x的最大整數(shù).例如，［2.3］=2,［5］=5,［π］=3,［－6.7］=－7.取整函數(shù)的定義域D=(－∞,+∞),值域Rf={0,±1,±2,±3,…}，它的圖形如圖1-13所示．

圖1-13【例3】三、函數(shù)的概念函數(shù)的有界性1.

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集XD.若存在一個(gè)正數(shù)M,使得對(duì)任一x∈X，恒有f(x)≤M，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，或稱f(x)是X上的有界函數(shù).每一個(gè)滿足上述不等式的正數(shù)M都是該函數(shù)的界.若不存在這樣的正數(shù)M，則稱f(x)在X上無界，或稱f(x)是X上的無界函數(shù).例如，函數(shù)y=sinx在(－∞,+∞)內(nèi)有界，因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)x，恒有sinx≤1.又如，函數(shù)y=1x在區(qū)間（0,1）上無界，在［1,+∞)上有界.三、函數(shù)的概念函數(shù)的單調(diào)性2.

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID.若對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加函數(shù)；若對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少函數(shù).三、函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性3.

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)于任一x∈D，恒有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)于任一x∈D，恒有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.例如,f(x)=x2是(－∞,+∞)上的偶函數(shù),因?yàn)閒(－x)=(－x)2=x2=f(x);f(x)=x3是(－∞,+∞)上的奇函數(shù),因?yàn)閒(－x)=(－x)3=－x3=－f(x).三、函數(shù)的概念函數(shù)的周期性4.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在常數(shù)T>0，使得對(duì)于任一x∈D，有(x±T)∈D,且f(x±T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為f(x)的周期.通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小正周期.例如，sinx，cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tanx是以π為周期的周期函數(shù).三、函數(shù)的概念周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)是，若把一個(gè)周期為T的周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖形向左或向右平移周期的正整數(shù)倍距離，則它將與周期函數(shù)的其他部分圖形重合（見圖1-14）.圖1-14周期函數(shù)的應(yīng)用是廣泛的，因?yàn)樵诳茖W(xué)與工程技術(shù)中研究的許多現(xiàn)象都呈現(xiàn)出明顯的周期性特征，如家用的電壓和電流是周期的，用于加熱食物的微波爐中的電磁場(chǎng)是周期的，季節(jié)和氣候是周期的，月相和行星的運(yùn)動(dòng)是周期的，等等.三、函數(shù)的概念四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)1.

函數(shù)關(guān)系的實(shí)質(zhì)就是從定量分析的角度來描述運(yùn)動(dòng)過程中變量之間的相互依賴關(guān)系.但在研究過程中，哪個(gè)量作為自變量，哪個(gè)量作為因變量（函數(shù)）是由具體問題決定的.四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镽f.對(duì)于值域Rf中的任一數(shù)值y，都有唯一確定的x∈D與之對(duì)應(yīng),且滿足關(guān)系式f(x)=y,則確定了一個(gè)以y為自變量，x為因變量的函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記為x=f－1(y).反函數(shù)的定義域?yàn)镽f，值域?yàn)镈.相對(duì)于反函數(shù)，函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).定義2

四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

由于習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示因變量，因此將反函數(shù)中x與y互換位置，即記為y=f－1(x)，x∈Rf.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f－1(x)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱.什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)呢？下面給出反函數(shù)存在定理.四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少),則函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù),其反函數(shù)y=f－1(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}也單調(diào)增加(或減少).定理四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性并不是一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件，讀者可自己舉出非單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)的實(shí)例.注意

求函數(shù)y=（ex－e－x）/2的反函數(shù).解記u=ex，則y=（u－u－1）/2，由此得u2－2yu－1=0，解得u=y±y2+1,因u>0，故u=y+y2+1，即ex=y+y2+1，所以x=ln(y+y2+1)，因此函數(shù)y=（ex－e－x）/2的反函數(shù)為y=lnx+x2+1.【例4】√√√√四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)2.

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域?yàn)镈f，而函數(shù)u=φ(x)的值域?yàn)镽φ，若Df∩Rφ≠，則稱函數(shù)y=f［φ(x)］為x的復(fù)合函數(shù),其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量.定義3

?四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如，函數(shù)y=arcsinu和函數(shù)u=2+x2就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)y=arcsinu的定義域?yàn)椋郏?,1］，而u=2+x2≥2，所以對(duì)任何的x值，y都得不到確定的對(duì)應(yīng)值.（2）復(fù)合函數(shù)可以有多個(gè)中間變量，如y=eu,u=v,v=x+1復(fù)合成函數(shù)y=ex+1,這里u,v都是中間變量.注意√√四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)f(x)=1,x≤1，g(x)=2－x2,x≤1，求f［g(x)］,g［f(x)］.解f［g(x)］=1,|g(x)|≤1，=g［f(x)］==利用復(fù)合函數(shù)不僅能將若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，還可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，這對(duì)于今后掌握微積分的運(yùn)算是很重要的.【例5】｛0,x>1｛2,x>1，｛0,|g(x)|>1｛1，|x|=10,|x|≠1｛2-［f(x)］2,|f(x)|≤12|f(x)|>1=1｛1，x≤12，x>1四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

下列函數(shù)是由哪些較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合而成的：（１）y=e－x；（２）y=sin2(1+2x)；（３）y=arccostan(a2+x2)．解（１）y=e－x由y=eu,u=－x復(fù)合而成.（２）y=sin2(1+2x)由y=u2,u=sinv,v=1+2x復(fù)合而成.（３）y=arccos√tan(a2+x2)由y=arccosu,u=√v,v=tanw,w=a2+x2復(fù)合而成．【例6】√

下列函數(shù)是由哪些較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合而成的：（１）y=e－x；（２）y=sin2(1+2x)；（３）y=arccostan(a2+x2)．解（１）y=e－x由y=eu,u=－x復(fù)合而成.（２）y=sin2(1+2x)由y=u2,u=sinv,v=1+2x復(fù)合而成.（３）y=arccos√tan(a2+x2)由y=arccosu,u=√v,v=tanw,w=a2+x2復(fù)合而成．【例6】√

下列函數(shù)是由哪些較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合而成的：（１）y=e－x；（２）y=sin2(1+2x)；（３）y=arccostan(a2+x2)．解（１）y=e－x由y=eu,u=－x復(fù)合而成.（２）y=sin2(1+2x)由y=u2,u=sinv,v=1+2x復(fù)合而成.（３）y=arccos√tan(a2+x2)由y=arccosu,u=√v,v=tanw,w=a2+x2復(fù)合而成．【例6】√四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)五、初等函數(shù)冪函數(shù)1.

冪函數(shù)y=xα（α∈R），其定義域由α的取值決定.當(dāng)α=1,2，3，12,－1時(shí)是最常用的冪函數(shù)（見圖1-15）.五、初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)2.

指數(shù)函數(shù)y=ax(a為常數(shù),且a>0,a≠1)，其定義域?yàn)?－∞,+∞).當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax單調(diào)減少，如圖1-16所示.其中最為常用的是以e（e是無理數(shù)，它的值是2.718281828…）為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)y=ex.五、初等函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)3.

指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，記為y=logax（a為常數(shù)，且a>0，a≠1），其定義域?yàn)?0,+∞).當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax單調(diào)減少，如圖1-17所示.其中以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，記為y=lnx.五、初等函數(shù)三角函數(shù)4.（1）正弦函數(shù)y=sinx，其定義域?yàn)?－∞,+∞)，值域?yàn)椋郏?,1］，它是奇函數(shù)及以2π為周期的周期函數(shù)（見圖1-18）.

（2）余弦函數(shù)y=cosx，其定義域?yàn)?－∞,+∞)，值域?yàn)椋郏?,1］，它是偶函數(shù)及以2π為周期的周期函數(shù)（見圖1-19）.五、初等函數(shù)

（3）正切函數(shù)y=tanx，其定義域?yàn)椋鹸|x≠kπ+π/2,k∈Z｝，值域?yàn)?－∞，+∞)，它是奇函數(shù)及以π為周期的周期函數(shù)（見圖1-20）.五、初等函數(shù)

（4）余切函數(shù)y=cotx，其定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z}，值域?yàn)?－∞,+∞)，它是奇函數(shù)及以π為周期的周期函數(shù)（見圖1-21）.五、初等函數(shù)反三角函數(shù)5.

三角函數(shù)的反函數(shù)稱為反三角函數(shù)，由于三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx不是單調(diào)的，為了得到它們的反函數(shù)，需對(duì)這些函數(shù)限定在某個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)來討論.常用的反三角函數(shù)有：（1）反正弦函數(shù)y=arcsinx，定義域?yàn)閇－1,1]，值域?yàn)閇－π/2,π/2]（見圖1-22）五、初等函數(shù)（2）反余弦函數(shù)y=arccosx，定義域?yàn)閇－1,1]，值域?yàn)閇0,π]（見圖1-23）.五、初等函數(shù)

（3）反正切函數(shù)y=arctanx,定義域?yàn)?－∞，+∞)，值域?yàn)閇－π/2,π/2]（見圖1-24）.（4）