換元積分 法教學課件

換元積分法換元積分法運用不定積分的線性運算法則和基本積分公式，可以求一些簡單函數(shù)的不定積分.為了求出一些更復雜函數(shù)的不定積分，我們來學習與復合函數(shù)求導法則相對應的積分方法.通常的做法是通過適當?shù)淖兞看鷵Q，將某些比較復雜的被積函數(shù)變換成符合基本積分表中的形式，從而容易求出積分，這種積分的方法叫換元積分法.不定積分換元積分法通常分為第一類換元積分法和第二類換元積分法兩種.一、第一類換元積分法例如，上節(jié)思考題中提到的積分：∫2xcosx2dx，觀察被積函數(shù)發(fā)現(xiàn)，不能用直接積分法積出，但被積表達式中的一部分2xdx如果湊微分變成dx2，再將積分變量換成變量u=x2,這樣被積表達式就和基本積分公式(7)相同了.因此，本題可這樣求解∫2xcosx2dx=∫cosudu=sinu+C=sinx2+C.

一、第一類換元積分法上述這種解題方法的關(guān)鍵是將被積函數(shù)的一部分與dx湊微分，然后引入中間變量，把中間變量看成新的積分變量的情況下，被積函數(shù)就符合了基本積分公式的形式，利用積分公式求出結(jié)果，再把中間變量換回原變量即可，即如果不定積分∫g(x)dx不能直接利用基本積分公式求解，但被積函數(shù)g(x)可變形為

g(x)=f［φ(x)］φ′(x).

作變量代換u=φ(x)，并將φ′(x)dx湊微分成dφ(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量u的積分，于是有

∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du.

如果∫f(u)du可以求出，那么∫g(x)dx的問題也就解決了，這就是第一類換元積分法，又稱為湊微分法.

一、第一類換元積分法定理3(第一類換元積分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x)是可微函數(shù)，則有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du.(5-3)

證因為∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u).根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，得一、第一類換元積分法【例14】求∫2xex2dx.解本題的關(guān)鍵是將2xdx湊微分得dx2，然后令u=x2，則∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.一、第一類換元積分法【例15】一、第一類換元積分法【例16】一、第一類換元積分法(1)求不定積分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它們的導數(shù)都是被積函數(shù)，經(jīng)過恒等變形后可以互化，其結(jié)果本質(zhì)上只相差一個常數(shù).(2)熟練掌握第一類換元積分法的運用以后，可以省略寫出引進變量u的步驟.注一、第一類換元積分法下面是常用的湊微分等式，請熟記，對以后解題大有幫助.一、第一類換元積分法【例17】【例18】一、第一類換元積分法【例19】【例20】一、第一類換元積分法【例21】一、第一類換元積分法【例22】【例23】一、第一類換元積分法【例24】當被積函數(shù)為兩個三角函數(shù)(正弦函數(shù)和余弦函數(shù))的一次乘積時，一般要先積化和差再積分.注一、第一類換元積分法【例25】(5-4)(5-5)一、第一類換元積分法【例26】(5-6)解凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先將復雜分式化成幾個最簡單的分式，再積分.由于一、第一類換元積分法【例27】一、第一類換元積分法【例28】解本題的關(guān)鍵是首先要把被積函數(shù)分母中的前一項變成1，將1adx湊微分得dxa，而后利用第一節(jié)中基本積分公式(12).(5-7)一、第一類換元積分法【例29】(5-8)一、第一類換元積分法【例30】(5-8)一、第一類換元積分法(5-9)(5-10)一、第一類換元積分法【例31】一、第一類換元積分法【例32】使用湊微分法的重點在于如何“湊”出一個函數(shù)的微分.一方面要求熟悉一些常見函數(shù)的微分形式；另一方面對那些不常見的，則不妨從被積函數(shù)中拿出一個表達式來，求其導數(shù)，從而決定如何湊微分.注一、第一類換元積分法把式(5-4)~式(5-11)的結(jié)果擴充到第二節(jié)的基本積分公式表中，以后可以直接用.總結(jié)如下：(14)∫tanxdx=－ln|cosx|+C；(15)∫cotxdx=ln|sinx|+C；(16)∫secxdx=lnsecx+tanx+C；

二、第二類換元積分法第一類換元積分法(湊微分法)是通過變量代換u=φ(x)，將φ′(x)dx湊微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx轉(zhuǎn)化為∫f(u)du，從而易于積分.湊微分法能解決一部分積分問題，但是還有一類不定積分使用湊微分法卻不奏效，如

等這些被積函數(shù)含有根號的無理函數(shù)的積分問題.針對這些問題，如果我們作適當?shù)淖兞看鷵Q將被積函數(shù)中的根號去掉，就能順利積分了，這就是第二類換元積分法的思想.詳細敘述成下面定理.二、第二類換元積分法定理4(第二類換元積分法)若x=φ(t)單調(diào)可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函數(shù)Φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C，(5-12)

其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數(shù).

二、第二類換元積分法證由假設知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用復合函數(shù)和反函數(shù)求導法則，得二、第二類換元積分法【例33】二、第二類換元積分法【例34】二、第二類換元積分法以上兩例是通過令nax+b=t將被積函數(shù)有理化，如果被積函數(shù)中含有根指數(shù)不同的幾個根式，又該如何將被積函數(shù)有理化呢？請看下面例題.注二、第二類換元積分法【例35】解被積函數(shù)中所含的兩個根式的根指數(shù)分別為2和3，最小公倍數(shù)為6，故應設6x=t(t>0)，才能把被積函數(shù)中所含的兩個根式都去掉，則有二、第二類換元積分法【例36】二、第二類換元積分法(5-13)二、第二類換元積分法為了由假設x=asint方便地求出其他三角函數(shù)值，常作一輔助直角三角形(見圖5-3)，由圖容易看出

這樣可以省去許多沒必要的計算.圖5-3利用三角公式消去根號的方法通常稱為三角代換法.二、第二類換元積分法(1)例33和例36的解答表明，使用第二類換元積分法往往要指明中間變量的取值范圍.只有這樣，才能保證將中間變量換回原變量時，有確定的函數(shù)關(guān)系.例如，例33中的t=x，例36中的都是根據(jù)預先指明的中間變量的取值范圍，確定根號前的符號的.(2)第二類換元積分法是針對被積函數(shù)是無理數(shù)，即被積函數(shù)含有根式的情況，作變換x=x(t)后，可使被積函數(shù)去掉根式，達到有理化的目的.常用的變換如下：注二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法【例37】二、第二類換元積分法圖5-4二、第二類換元積分法【例38】二、第二類換元積分法(5-14)圖