偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)課件

偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們已經(jīng)知道函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y對(duì)自變量x的變化率.對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣要研究它的“變化率”，然而，由于自變量多了一個(gè)，情況就要復(fù)雜得多.在研究二元函數(shù)z=f(x,y)時(shí)，有時(shí)需要研究當(dāng)一個(gè)變量固定不變時(shí)，函數(shù)關(guān)于另一個(gè)變量的變化率，此時(shí)的二元函數(shù)實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).因此，可利用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，得到二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)某一個(gè)變量的變化率，即偏導(dǎo)數(shù).本節(jié)我們將重點(diǎn)討論二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念、求法及其在求極值方面的應(yīng)用.一、偏導(dǎo)數(shù)的概念定義5設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x的偏增量)

Δxz=f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)，如果極限(8-2)

存在，那么，此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記作一、偏導(dǎo)數(shù)的概念類似地，當(dāng)x固定在x0，而y在y0處有增量Δy時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)對(duì)y的偏增量Δyz=f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)，如果極限存在，那么，此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù),記作一、偏導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x,y的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作以后在不至于混淆的情況下，偏導(dǎo)函數(shù)也稱為偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)，不再一一贅述.讀者可以類似地給出三元函數(shù)u=f(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)

的定義.二、偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的求法1.由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)變量求偏導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上就是將其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量求導(dǎo)數(shù).所以，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)不需要建立新的運(yùn)算方法，只要把其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量按一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式去求導(dǎo)即可.二、偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義【例7】本例表明,在多元函數(shù)中，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)已不再是函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件，這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的不同點(diǎn)之一.注二、偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義【例9】二、偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.由一元函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′(x0)等于曲線y=f(x)在(x0,y0)處的切線斜率.而二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)f′x(x0,y0)，實(shí)際上是二、偏導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義圖8-9三、高階偏導(dǎo)數(shù)定義6設(shè)函數(shù)

一般來說它們?nèi)匀皇莤,y的函數(shù)，如果這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們(一階偏導(dǎo)數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).根據(jù)對(duì)自變量x,y的不同求導(dǎo)次序，得到如下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

三、高階偏導(dǎo)數(shù)其中f″xy

(x,y)及f″yx

(x,y)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類似地，可以定義多元函數(shù)更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).而f′x(x,y),f′y(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).由于高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)過程比較煩瑣，本書只介紹二階偏導(dǎo)數(shù).(8-4)三、高階偏導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義多元函數(shù)更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).而f′x(x,y),f′y(x,y)稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).由于高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)過程比較煩瑣，本書只介紹二階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)【例10】三、高階偏導(dǎo)數(shù)定理1

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)f″xy(x,y),f″yx(x,y)連續(xù)，則在區(qū)域D上有

f″xy(x,y)=f″yx(x,y).三、高階偏導(dǎo)數(shù)定理1說明，當(dāng)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無關(guān).注三、高階偏導(dǎo)數(shù)【例11】三、高階偏導(dǎo)數(shù)【例12】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.

在一元函數(shù)中，我們介紹了一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.對(duì)于多元函數(shù)來說，也存在著多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的問題.下面我們從一種特殊情況開始討論.四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1）多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)定理2四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例13】如果把u=sin2x,v=x2－1代入z=uv中，再用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法解題，將得到同樣答案.注四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)用上述公式時(shí)，可通過圖8-10所表示函數(shù)的復(fù)合關(guān)系和求導(dǎo)的運(yùn)算途徑來進(jìn)行.在圖8-10中，一方面，從z引出的兩個(gè)箭頭指向u,v，表示z是u,v的函數(shù)；同理，u,v又同是x的函數(shù).另一方面，從z到x的途徑有兩條，表示z對(duì)x的導(dǎo)數(shù)包括兩項(xiàng)；每條途徑有兩個(gè)箭頭組成，表示每項(xiàng)由兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘而得，其中每個(gè)箭頭表示一個(gè)變量對(duì)某變量的偏導(dǎo)數(shù)，如z→u，u→x分別表示

對(duì)一元函數(shù)取導(dǎo)數(shù)符號(hào)，對(duì)多元函數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)符號(hào).圖8-10四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則2）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理3設(shè)函數(shù)z=f(u,v)關(guān)于u,v具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而u=φ(x,y)與v=ψ(x,y)關(guān)于x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則復(fù)合函數(shù)z=f［φ(x,y),ψ(x,y)］對(duì)于x，y的偏導(dǎo)數(shù)存在，且(8-6)此公式可直接由定理2的結(jié)論推出.事實(shí)上，在求zx時(shí)，將y看作常量，因此中間變量u和v仍可看作一元函數(shù)而應(yīng)用定理2.但是，由于復(fù)合函數(shù)z和中間變量u，v都是x，y的函數(shù)，只是把y看作常數(shù)，因此定理2中的導(dǎo)數(shù)符號(hào)應(yīng)改為偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)，這就得到定理3的結(jié)論.四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)如圖8-11所示，此圖表示z是關(guān)于u,v的二元函數(shù),而u,v又是分別關(guān)于x,y的二元函數(shù)，由z對(duì)x求偏導(dǎo)，必須分別經(jīng)由u和v兩條線路進(jìn)行.圖8-11四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例14】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例15】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則這里f′u和f′v分別表示z=f(u,v)關(guān)于第一自變量u和第二自變量v的偏導(dǎo)數(shù).通常，可以用f′1和f′2表示，從而

在介紹復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，有時(shí)中間變量u,v并不一定都是關(guān)于x,y的二元函數(shù)，此時(shí)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)公式稍有變化.四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則下面我們介紹兩種特殊情況：(1)設(shè)z=f(u,v)，而u,v依賴于一個(gè)變量x，即u=u(x),v=v(x)(復(fù)合結(jié)構(gòu)圖如圖8-12所示)，有

圖8-12四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例16】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(2)設(shè)z=f(u,v)，其中u=u(x,y),v=v(x)，由復(fù)合結(jié)構(gòu)圖8-13，有圖8-13四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則同理，若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(y)，由復(fù)合結(jié)構(gòu)圖8-14，有圖8-14四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例17】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則注四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合結(jié)構(gòu)圖如圖8-15所示.圖8-15四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例18】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2.設(shè)三元方程F(x,y,z)=0確定了二元隱函數(shù)z=z(x,y)，若F′x,F′y,F′z連續(xù)，且F′z≠0，則可仿照一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，得出z對(duì)x，y的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式.將z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式

F［x,y,z(x,y)］≡0，兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得

因?yàn)镕′z≠0，解方程得

(8-7)

這就是二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例19】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例20】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則在求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，z仍然看作是x,y的函數(shù).注四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則【例22】四、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，要特別注意關(guān)于中間變量的一階偏導(dǎo)數(shù)與原來的函數(shù)具有相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)，即f′1和f′2仍為中間變量的函數(shù).因此，當(dāng)它們繼續(xù)對(duì)自變量x(或y)求偏導(dǎo)時(shí)，必須再次運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.注五、二元函數(shù)的極值及其求法我們?cè)诘谌逻\(yùn)用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)討論了一元函數(shù)的極值求法，類似地，我們也可以用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來研究多元函數(shù)的極值.下面我們主要研究二元函數(shù)的極值及其求法，對(duì)其他多元函數(shù)只討論其最大值和最小值及其應(yīng)用.五、二元函數(shù)的極值及其求法二元函數(shù)的極值1.定義7設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)或［f(x,y)>f(x0,y0)］，則稱f(x0,y0)為二元函數(shù)z=f(x,y)的極大值(或極小值).極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.使二元函數(shù)z=f(x,y)取得極大值(或極小值)的點(diǎn)(x0,y0)稱為極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).五、二元函數(shù)的極值及其求法函數(shù)z=2－x2－2y2在點(diǎn)(0,0)取得極大值z(mì)=2，點(diǎn)(0,0)是極大值點(diǎn).函數(shù)z=x2+y2+1在點(diǎn)(0,0)取得極小值1，點(diǎn)(0,0)是極小值點(diǎn).而函數(shù)z=xy－1既無極大值，也無極小值.在一般情況下，極值不容易看出，因此必須給出判定極值的方法.與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)的極值點(diǎn)也與駐點(diǎn)有關(guān).【例23】五、二元函數(shù)的極值及其求法定義8使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).五、二元函數(shù)的極值及其求法定理4(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)f′x(x0,y0),f′y(x0,y0)存在，且在點(diǎn)P0處有極值，則在點(diǎn)P0處的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即

(8-8)證不妨設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處取得極大值.由極大值的概念，在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)不等于P0(x0,y0)的點(diǎn)P(x,y)都滿足不等式

f(x,y)<f(x0,y0)

,

五、二元函數(shù)的極值及其求法特別地，在該鄰域內(nèi)取y=y0，而x≠x0的點(diǎn)，也適合不等式

f(x,y0)<f(x0,y0),

這表明一元函數(shù)z=f(x,y0)在x=x0處取得極大值，因而必有

f′x(x0,y0)=0.類似地，可證明f′y(x0,y0)=0.同理，可以證明對(duì)二元以上的多元函數(shù)此結(jié)論也成立.同時(shí)滿足式(8-8)的點(diǎn)(x0,y0)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).與一元函數(shù)類似，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).那么，在什么條件下，駐點(diǎn)是極值點(diǎn)呢？五、二元函數(shù)的極值及其求法定理5(極值存在的充分條件)設(shè)P0(x0,y0)是二元函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn)，且二元函數(shù)在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，令

A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),Δ=B2－AC，則二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：(1)當(dāng)Δ<0且A<0時(shí)，f(x0,y0)是極大值，當(dāng)Δ<0且A>0時(shí)，f(x0,y0)是極小值.(2)當(dāng)Δ>0時(shí)，f(x0,y0)不是極值.(3)當(dāng)Δ=0時(shí)，函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可能有極值，也可能沒有極值.證明過程用到二元函數(shù)的泰勒公式，本書從略.五、二元函數(shù)的極值及其求法綜上所述，若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：①先求偏導(dǎo)數(shù)f′x，f′y，f″xx，f″xy，f″yy；②解方程組f′x(x,y)=0f′y(x,y)=0，求出駐點(diǎn)；③求出駐點(diǎn)處A,B,C的值及Δ=B2－AC的符號(hào)，據(jù)此判定出極值點(diǎn)，并求出極值.五、二元函數(shù)的極值及其求法【例24】在點(diǎn)(0,0)處，A=0，B=3，C=0，B2－AC=9>0，點(diǎn)(0,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)(1,1)處，A=－6，B=3，C=－6，B2－AC=－27<0，且A<0，所以點(diǎn)(1,1)是極大值點(diǎn).與一元函數(shù)類似，具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，否則，極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn).五、二元函數(shù)的極值及其求法【例25】五、二元函數(shù)的極值及其求法最大值與最小值2.我們知道，有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.如果使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，則這個(gè)點(diǎn)必然是駐點(diǎn)，或者是一階偏導(dǎo)數(shù)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).然而，函數(shù)的最大值和最小值也可能在該區(qū)域的邊界上取得.因此，求有界閉區(qū)域D上二元函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，首先要求出函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在D的邊界上的最大值、最小值，比較這些值，其中最大者，就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值，最小者就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最小值.五、二元函數(shù)的極值及其求法求二元函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值往往比較復(fù)雜，因?yàn)檫吔缟嫌袩o數(shù)多點(diǎn)，但是如果根據(jù)問題的實(shí)際意義，知道函數(shù)在該區(qū)域D內(nèi)存在最大值(或最小值)，又知函數(shù)在D內(nèi)具有一階及二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且只有唯一的駐點(diǎn)，則駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最大值(或最小值).五、二元函數(shù)的極值及其求法【例26】五、二元函數(shù)的極值及其求法條件極值3.在許多實(shí)際問題中，求多元函數(shù)的極值時(shí)，其自變量常常受一些條件的限制，如例25中，求函數(shù)V=xyz的最大值，自變量x，y，z要受條件3xy+2z(x+y)=36的約束，這類問題稱為條件極值問題.而對(duì)自變量?jī)H僅限制在定義域內(nèi)，此外沒有其他約束條件的極值問題，稱為無條件極值問題.例24就是無條件極值問題.五、二元函數(shù)的極值及其求法當(dāng)約束條件比較簡(jiǎn)單時(shí)，條件極值問題可化為無條件極值問題來處理.例如，例25就是從約束條件3xy+2z(x+y)=36中，解出

，再代入函數(shù)V(x,y,z)中，便化為二元函數(shù)V=V(x,y)的無條件極值問題.但是，一般的條件極值問題是不易化為無條件極值問題的，為此，我們介紹一種解決一般條件極值問題的方法——拉格朗日乘數(shù)法.五、二元函數(shù)的極值及其求法設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)和φ(x,y)=0在所考慮的區(qū)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且φ′x(x,y)，φ′y(x,y)不同時(shí)為0，方程φ(x,y)=0確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=ψ(x).下面尋找函數(shù)z=f(x,y)取得極值的必要條件.設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且滿足

φ(x0,y0)=0

和條件φ′