二重積分的計(jì)算法

二重積分的計(jì)算法第二節(jié)二重積分的計(jì)算法上節(jié)討論了二重積分的概念，按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的情況是可行的，但對(duì)一般的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)有效的方法．為此，我們首先對(duì)曲頂柱體的體積進(jìn)行分析，從而導(dǎo)出二重積分的計(jì)算方法，即把二重積分化為兩次定積分來計(jì)算，這種方法稱之為累次積分法．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，且當(dāng)(x,y)∈D時(shí)，f(x,y)≥0．如果區(qū)域D是由直線x=a，x=b與曲線y=φ1(x)，y=φ2(x)所圍成的，如圖9-4所示，即D={(x,y)a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)}，圖9-5一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分此區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域，則二重積分是區(qū)域D上以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積．為了確定曲頂柱體的體積，可在x處用平行于平面yOz的平面去截曲頂柱體，設(shè)截面面積為A(x)，由定積分的應(yīng)用可知平行截面面積為A(x)的立體的體積公式為于是

（9-1）一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分由圖9-5可知，A(x)是曲邊梯形的面積．對(duì)固定的x，此曲邊梯形的曲邊是由z=f(x,y)確定的y的一元函數(shù)的曲線，而底邊沿著y的方向從φ1(x)到φ2(x)．因此圖9-5一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分代入式（9-1）得（9-2）通常寫成

（9-3）右端的積分叫累次積分．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是二重積分就化為計(jì)算兩次定積分．第一次計(jì)算時(shí)，x應(yīng)看成常量，這時(shí)y是積分變量，第二次積分時(shí)x是變量．同理，如果用平行于坐標(biāo)平面xOz的平面去截區(qū)域D上以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w，此時(shí)如圖9-6所示，此區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-6一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分類似于X型區(qū)域，可以得到Y(jié)型區(qū)域的累次積分為

（9-4）即將二重積分化為先對(duì)x后對(duì)y的累次積分，如圖9-7所示．圖9-7一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分如果去掉上面討論中f(x,y)≥0的限制，則式（9-3）或式（9-4）仍成立．特別地，（1）區(qū)域D是一矩形，即D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d}，則式（9-3）與式（9-4）變?yōu)?/p>

（9-5）一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（2）如果函數(shù)f(x,y)=f1(x)·f2(y)可積，且區(qū)域則一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-8

（3）如果平行于坐標(biāo)軸的直線與區(qū)域D的邊界線交點(diǎn)多于兩點(diǎn)，如圖9-8所示，則要將D分成幾個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域的邊界線與平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)不多于兩個(gè)．然后再應(yīng)用積分對(duì)區(qū)域的可加性計(jì)算．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分既然計(jì)算二重積分可歸結(jié)為計(jì)算兩次定積分，因此問題的關(guān)鍵是積分限的確定，建議先畫積分區(qū)域D的圖形，再寫出區(qū)域D上的點(diǎn)的坐標(biāo)所要滿足的不等式，從而定出積分的上、下限．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分試將

化為兩種不同次序的累次積分，其中D是由y=x,y=2－x和x軸所圍成的區(qū)域．

解積分區(qū)域D如圖9-9所示．首先說明如何用“穿線法”確定累次積分的上、下限．如果先積x后積y，即選擇Y型積分區(qū)域，將區(qū)域D投影到y(tǒng)軸，得區(qū)間［0,1］，0與1就是對(duì)y積分的下限與上限，即0≤y≤1，在［0,1］上任意取一點(diǎn)y，過y作與x軸平行的直線從左向右穿過區(qū)域D，穿入時(shí)碰到的邊界曲線為x=y，穿出時(shí)離開的邊界曲線為x=2－y，從而變量x滿足y≤x≤2－y．積分區(qū)域D可用不等式組表示為【例1】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-9一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是若先積y后積x，即選擇X型積分區(qū)域，則需將積分區(qū)域D向x軸投影，得x軸上的區(qū)間為［0,2］，于是變量x滿足0≤x≤2，在區(qū)間［0,2］上任取一點(diǎn)x作平行于y軸的直線從下向上穿過區(qū)域D，穿入時(shí)碰到的邊界曲線為y=0，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，穿出時(shí)離開的邊界曲線為y=x，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，穿出時(shí)離開的邊界曲線為y=2－x．積分區(qū)域D分為兩部分D1和D2（見圖9-10），D1和D2分別可用不等式組表示為一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-10一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分化二重積分為累次積分的關(guān)鍵在于確定二次積分的上、下限．一般而言，內(nèi)層積分的上、下限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)，而外層積分的上、下限則一定為常數(shù)．注意一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分交換積分的次序．【例2】分析交換積分次序的步驟：（1）根據(jù)所給的積分上、下限寫出表示積分區(qū)域D的不等式組；（2）依據(jù)不等式組畫出積分區(qū)域D的草圖；（3）用穿線法確定新次序積分上、下限．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解根據(jù)所給的積分可知，積分區(qū)域D可用不等式組表示為故可畫出積分區(qū)域D的草圖如圖9-11所示，按新的積分次序用穿線法可知，D將分成兩個(gè)區(qū)域D1和D2，即于是一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-11一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算，D是由拋物線y2=2x與直線y=x－4所圍成的區(qū)域．

解畫出積分區(qū)域D的草圖如圖9-12所示．若先對(duì)x積分，則有【例3】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-12一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若先對(duì)y積分，則需將D分為兩個(gè)區(qū)域D1和D2，于是

顯然此式計(jì)算起來要麻煩得多（請(qǐng)讀者自己完成）．由此可見，選擇合適的積分次序，對(duì)于計(jì)算二重積分是至關(guān)重要的．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是直線y=2x,x=2y,x+y=3所圍成的區(qū)域．

解如圖9-13所示，無論選擇先積y后積x還是先積x后積y，積分區(qū)域D都將不可避免分成兩部分．下面采用X型積分將D分為D1和D2兩部分，【例4】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是圖9-13一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算,其中D是由直線y=x,y=1與y軸所圍成的區(qū)域．

解畫出積分區(qū)域D，如圖9-14所示，并求出邊界曲線的交點(diǎn)(1,1),(0,0)及(0,1)．由圖可見，這個(gè)二重積分采用哪一種積分次序，都不會(huì)出現(xiàn)區(qū)域D分塊計(jì)算的情形．但是，如果先積y后積x，e－y2就無法積分（它的原函數(shù)不是初等函數(shù)），因此只能采用先積x后積y的次序進(jìn)行計(jì)算．【例5】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-14一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二重積分化累次積分時(shí)，積分次序的選擇不僅要看積分區(qū)域的特征，而且還要考慮到被積函數(shù)的特點(diǎn)．原則是既要使計(jì)算能進(jìn)行，又要使計(jì)算盡可能地簡(jiǎn)便．這需要讀者通過自己的實(shí)踐，逐漸靈活的掌握．注意一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-15計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由x=0,x=1,y=0,y=1圍成的矩形，如圖9-15所示．

解因?yàn)榉e分區(qū)域D是矩形區(qū)域，且ex+y=ex·ey,所以【例6】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所圍成的第一象限的圖形，如圖9-16所示．【例7】圖9-16一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解因?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)樗砸?、在直角坐?biāo)系下計(jì)算二重積分求在xOy平面上由y=x2與y=4x－x2所圍成的區(qū)域的面積．

解由性質(zhì)5可知，二重積分的值就是區(qū)域D的面積A的數(shù)值．由圖9-17知【例8】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-17一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D是由x=y2和(x－1)2+y2=1所圍成的圖形（見圖9-18）．【例9】圖9-18一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分分析考察區(qū)域D，若先積y后積x，則需將D分塊才便于計(jì)算；若先對(duì)x積后對(duì)y積，則求不出來．所以還是采用前一方案．解考慮到被積函數(shù)的特點(diǎn)，選取先對(duì)y積后對(duì)x積，將D分為D1和D2兩部分，一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分由于D關(guān)于x軸對(duì)稱，而被積函數(shù)

關(guān)于y是奇函數(shù)，其在對(duì)稱區(qū)間上的積分為0，所以一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在應(yīng)用對(duì)稱性計(jì)算二重積分時(shí)，與定積分類似，不僅要求積分區(qū)域的對(duì)稱性，同時(shí)要考慮被積函數(shù)具有相應(yīng)的奇偶性，兩者缺一不可.注意一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分下列等式是否成立？并簡(jiǎn)述理由．其中【例10】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解（1）成立．因?yàn)楸环e函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱．（2）成立．因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x,y都是偶函數(shù)，且積分區(qū)域同時(shí)關(guān)于x軸與y軸對(duì)稱．（3）不成立．雖然積分區(qū)域同時(shí)關(guān)于x軸與y軸對(duì)稱，但被積函數(shù)f(x,y)=xy關(guān)于x,y都是奇函數(shù)，它在第二、四象限取負(fù)值，第一、三象限上積分值為正值．實(shí)際上根據(jù)積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性可知，一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)奇偶性計(jì)算下列二重積分．所圍成區(qū)域，f為連續(xù)函數(shù)．【例11】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（1）解因積分區(qū)域D是由中心在原點(diǎn)的橢圓圍成，顯然關(guān)于x軸對(duì)稱，且函數(shù)f(x,y)=xy關(guān)于y是奇函數(shù)，所以（二重積分中當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，其值等于積分區(qū)域的面積，橢圓面積為abπ，即2π）．故

一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分分析（2）分析被積函數(shù)出現(xiàn)抽象函數(shù)形式，直接積分是不可能得到結(jié)果的，但注意到被積函數(shù)中的第二項(xiàng)，不妨設(shè)為滿足即φ(x,y)關(guān)于x,y均是奇函數(shù)．若能將積分區(qū)域D分成合適的兩部分，各部分分別關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱，則利用對(duì)稱性使問題迎刃而解．一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解用曲線y=－x3將積分區(qū)域D分成D1和D2兩部分（見圖9-19）．顯然D1關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)φ(x,y)關(guān)于x是奇函數(shù)；D2關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)φ(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù)．故從而一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-19一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性往往使二重積分的計(jì)算簡(jiǎn)化，避免容易出錯(cuò)的繁瑣計(jì)算，而且使無法直接積分的問題得以解決．但必須注意利用這種方法計(jì)算時(shí)，一定要同時(shí)兼顧被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性兩個(gè)方面．下面給出幾個(gè)常用到的結(jié)論：注意一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（1）如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則有（2）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則有一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（3）如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，則有一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分求下列絕對(duì)值函數(shù)的二重積分其中D由x≤1,0≤y≤2所圍成的區(qū)域．【例12】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分分析這是絕對(duì)值函數(shù)的二重積分，首先要考慮去掉絕對(duì)值符號(hào)．這可通過劃分積分域?yàn)槿舾蓧K來處理，使得在各塊上被積函數(shù)不變號(hào)．顯然，曲線y=x2將區(qū)域D（見圖9-20）分成D1和D2兩部分，在D1上圖9-20一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在D2上于是一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算絕對(duì)值函數(shù)的積分，一般應(yīng)先將積分區(qū)域分塊，將被積函數(shù)分段表示以去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后利用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，進(jìn)行分塊計(jì)算，最后把計(jì)算結(jié)果相加．注意二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分有些積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算很困難，而積分區(qū)域邊界線用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單．如本章開頭所提出的關(guān)于球的體積的計(jì)算公式推導(dǎo)，學(xué)習(xí)了定積分的幾何意義以后，我們已經(jīng)知道球的體積

，其中該二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算極為麻煩（有興趣的讀者不妨試試），而在極坐標(biāo)系下計(jì)算就很簡(jiǎn)單，為此我們推導(dǎo)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算．在平面解析幾何中我們知道，平面上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,θ)與它的直角坐標(biāo)(x,y)的變換公式為二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π．下面介紹在極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算公式．設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，區(qū)域D的邊界曲線如圖9-21所示，圖9-21二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

又設(shè)r1(θ)與r2(θ)在［α,β］上連續(xù)．在直角坐標(biāo)系中，我們用平行于x軸與y軸的兩簇直線劃分區(qū)域D為一系列小矩形，與此類似，在極坐標(biāo)系中我們用一簇r為常數(shù)的同心圓和θ為常數(shù)的過極點(diǎn)的一簇射線束作劃分．將極角分別為θ與θ+Δθ的兩條射線和半徑分別為r與r+Δr的兩條圓弧所圍成的小區(qū)域記作Δσ，則二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分當(dāng)Δr，Δθ充分小時(shí)，有Δσ≈rΔrΔθ，所以面積微元是

而被積函數(shù)為f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)，于是得到

（9-7）式（9-7）即為直角坐標(biāo)下的二重積分變換為極坐標(biāo)系下的二重積分的公式．計(jì)算極坐標(biāo)下的二重積分，也要化為累次積分．我們按下面三種情況予以說明．二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分（1）極點(diǎn)O在區(qū)域D之外的情況，如圖9-22所示．這時(shí)區(qū)域D可表示為圖9-22二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是

（9-8）（2）極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上，如圖9-23所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為圖9-23二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是（3）極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，如圖9-24（a）所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為圖9-24二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是

（9-8）（4）極點(diǎn)O被積分區(qū)域D圍在內(nèi)部（但不在D內(nèi)），如圖9-24（b）所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為于是二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分特別指出，用二重積分計(jì)算平面圖形的面積公式在極坐標(biāo)系下為現(xiàn)在我們來解決球的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)：顯然，在極坐標(biāo)系下，區(qū)域可表示為D:0≤θ≤2π,0≤r≤R，于是所以球的體積公式為二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分當(dāng)區(qū)域D是圓或圓的一部分，或者區(qū)域D的邊界方程用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單，或者被積函數(shù)為

等形式時(shí)，一般采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分較為方便．注意二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是圓x2+y2=2y圍成的區(qū)域，如圖9-25所示．【例13】圖9-25二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分分析因被積函數(shù)為f(x2+y2)，且積分區(qū)域D是圓形區(qū)域，故采用極坐標(biāo)計(jì)算簡(jiǎn)單．極坐標(biāo)系下化二重積分為累次積分，一般選擇的積分次序是：先r后θ，定限時(shí)仍采用穿線法．為確定θ的變化范圍，從極點(diǎn)出發(fā)作射線穿過區(qū)域D，并使射線沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，射線與積分區(qū)域D開始接觸時(shí)的θ角即為θ的下限，離去時(shí)的θ角即為上限；由于極徑r≥0，穿入時(shí)碰到的區(qū)域D的邊界曲線r1(θ)為下限，穿出時(shí)離開的區(qū)域D的邊界曲線r2(θ)為上限．二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解區(qū)域D:x2+y2=2y的極坐標(biāo)方程為r=2sinθ．利用穿線法可知，區(qū)域D可表示為所以二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是圓圍成的區(qū)域（見圖9-26）.【例14】圖9-26二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分

解區(qū)域D用極坐標(biāo)可表示為所以一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算，其中D是圓環(huán)所圍成的區(qū)域．

解積分區(qū)域D如圖9-27所示，用極坐標(biāo)可表示為【例15】圖9-27二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分所以二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算要特別注意三點(diǎn)：(1)計(jì)算公式不要漏掉面積微元的伸縮系數(shù)r，即dxdy=rdrdθ.(2)變?yōu)闃O坐標(biāo)后的二重積分

，仍要化為關(guān)于r,θ的累次積分再計(jì)算.(3)根據(jù)極點(diǎn)與區(qū)域的位置關(guān)系，利用穿線法，相應(yīng)地確定不同的積分限．注意二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是由y=x2,x=2,y=1所圍成的區(qū)域．【例16】二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-28分析觀察被積函數(shù)，考慮用極坐標(biāo)計(jì)算,但積分區(qū)域（見圖9-28）不易表示．當(dāng)兩者不能兼顧時(shí)，一般優(yōu)先考慮簡(jiǎn)化積分區(qū)域．本題積分區(qū)域不能用極坐標(biāo)化簡(jiǎn)，不如仍用直角坐標(biāo)計(jì)算．二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是由圓周，直線y=x及x軸所圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域．

解考察積分區(qū)域和被積函數(shù)都宜用極坐標(biāo)計(jì)算．積分區(qū)域D如圖9-29所示，用極坐標(biāo)可表示為所以【例17】二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-29二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分，其中D是由上半圓周及直線y=x,x=2所圍成的區(qū)域．

解考察積分區(qū)域和被積函數(shù)都宜用極坐標(biāo)計(jì)算．積分區(qū)域D如圖9-30所示，用極坐標(biāo)可表示為所以【例18】二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-30二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分計(jì)算泊松

解因?yàn)?/p>

的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以不能直接用定積分計(jì)算．若設(shè)其中D是整個(gè)第一象限，即D={(x,y)x≥0,y≥0}，如圖9-31所示．則有【例19】圖9-31二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分即

只要算出即可．根據(jù)該二重積分被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)，采用極坐標(biāo)計(jì)算.在極坐標(biāo)系下，區(qū)域D可表示為二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分于是