2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題突破練19 空間角、空間距離【課件】

專題突破練19空間角、空間距離20251234解答題1.(15分)(2024·上海,17)如圖為正四棱錐P-ABCD,O為底面ABCD的中心.(1)若AP=5,AD=3,求△POA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積;(2)若AP=AD,E為PB的中點(diǎn),求直線BD與平面AEC所成角的大小.1234解

(1)因?yàn)镻-ABCD是正四棱錐,所以底面ABCD是正方形,且OP⊥底面ABCD,1234(2)(方法一

坐標(biāo)法)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳P=AD,由題意知P-ABCD是正四棱錐,12341234(方法二

幾何法)過點(diǎn)E作EH⊥BD交BD于點(diǎn)H.則EA=EC,EO⊥AC.故∠EOH就是直線BD與平面AEC所成角.12342.(15分)如圖,在四面體ABCD中,△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形,△ABD為等邊三角形,且AC⊥BD.(1)求直線AD與BC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BD-C的余弦值.1234解

(1)由△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形,得AC⊥AB.又AC⊥BD,且BD∩AB=B,BD,AB?平面ABD,則AC⊥平面ABD.因?yàn)锳C?平面ABC,故平面ABC⊥平面ABD.取AB的中點(diǎn)O,連接DO.由△ABD是等邊三角形,得DO⊥AB,而DO?平面ABD,平面ABD∩平面ABC=AB,則DO⊥平面ABC.過點(diǎn)O作直線AC的平行線,交BC于點(diǎn)E.易知,OA,OE,OD兩兩垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OE,OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.123412343.(15分)(2023·新高考Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.1234(1)證明

(方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可得A2(2,2,1),B2(0,2,2),C2(0,0,3),D2(2,0,2).因?yàn)锳2,B2,C2,D2四點(diǎn)不共線,故B2C2∥A2D2.1234(方法二

幾何法)設(shè)棱DD1上的點(diǎn)N滿足DN=AA2=1,取CC1的中點(diǎn)M,連接A2N,MN,B2M.因?yàn)镈N∥AA2,且DN=AA2,故四邊形AA2ND為平行四邊形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因?yàn)锳D∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四邊形A2B2MN為平行四邊形.因?yàn)镈2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四邊形C2D2NM為平行四邊形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四邊形A2B2C2D2為平行四邊形.所以B2C2∥A2D2.12341234(2)解

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知,A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),設(shè)點(diǎn)P(0,2,a),其中0≤a≤4.123412344.(15分)(2024·天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中點(diǎn),M是DD1的中點(diǎn).(1)求證D1N∥平面CB1M;(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值;(3)求點(diǎn)B到平面CB1M的距離.1234(1)證明

如圖,取B1C的中點(diǎn)H,連接NH,MH.∵N為B1C1的中點(diǎn),H為B1C的中點(diǎn),∴NH∥CC1,且NH=CC1.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1,∴CC1∥DD1,CC1=DD1,∴NH∥DD1,且NH=DD1.∵M(jìn)為DD1的中點(diǎn),∴D1M=DD1,∴D1M∥NH,D1M=NH.∴四邊形D1NHM為平行四邊形,∴D1N∥MH.又D1N?平面CB1M,MH?平面CB1M,∴D1N∥平面CB1M.1234(2)解

∵A1A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD.又AD⊥AB,∴A1A,AB,AD兩兩垂直.以A為原點(diǎn),AB,AD,A1A所在直線分別為x軸、y軸、