2024-2025學(xué)年福建省古田縣高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省古田縣高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若函數(shù)，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．在1和11之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這個(gè)數(shù)中第1個(gè)為，第個(gè)為，則的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．6．在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)，在中，若，且，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為（

）A． B．C． D．7．正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．18．已知函數(shù)，若方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C．是增函數(shù) D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B．函數(shù)過(guò)定點(diǎn)C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值．B．無(wú)論點(diǎn)在線段的什么位置，都有平面平面C．線段上存在點(diǎn)，使平面平面．D．為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最小三、填空題（本大題共3小題）12．底面直徑為2的圓錐，它的軸截面是等邊三角形，則該圓錐的表面積為．13．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.14．如圖，在中，，，直線與邊，分別交于，兩點(diǎn)，且的面積是面積的一半.設(shè)，，記y=fx，則的最小值與最大值之和為.四、解答題（本大題共5小題）15．若銳角中，、、所對(duì)的邊分別為、、，且的面積為(1)求；(2)求的取值范圍.16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.17．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點(diǎn)、分別在、上，且，，.

(1)若平面，求；(2)若，求二面角的余弦值.18．定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.19．正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個(gè)元素時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值：(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問(wèn)：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D2．【正確答案】A【詳解】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選.3．【正確答案】B【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)椋覞M足，∴為上的奇函數(shù)；又恒成立，∴為上的單調(diào)增函數(shù)；又，得，∴，即，解得或，所以的取值范圍是．故選B．4．【正確答案】C【分析】由向量垂直關(guān)系得，再由投影向量公式求解.【詳解】由于，則，即，可得，則在方向上的投影向量為.故選：C5．【正確答案】C【詳解】由題可知，，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿足，，所以的最小值是3.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)?，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，故點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為，故選.7．【正確答案】B【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則：，所以，又是棱上一點(diǎn)，所以，即是棱的中點(diǎn)，所以三棱錐的體積為，故選：8．【正確答案】A【詳解】作出圖像，令，則方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且，則，解得，故選.9．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，令，，則；由時(shí)，得：，，A正確；對(duì)于B，令，得，B錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，則；當(dāng)時(shí)，，，，對(duì)于任意x∈R，，D正確；對(duì)于C，設(shè)，；，，即，又，，∴fx在R上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤.故選：AD10．【正確答案】BC【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C；令，化為在有5個(gè)根求參數(shù)范圍判斷D.【詳解】A：由題設(shè)，則最小正周期為，錯(cuò)；B：顯然恒成立，故函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，對(duì)；C：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，所以，可得且，又，所以的最小值為，對(duì)；D：由題意在上有5個(gè)根，而，所以在有5個(gè)根，如下圖示，所以，可得，錯(cuò).故選：BC11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于AB，的面積為，所以，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，連接，易知面，又面，所以，又分別為棱的中點(diǎn)，則，而，所以，又面，，所以面，又面，所以平面平面，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0、、、、、、、，、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1由，取，可得，設(shè)，可得點(diǎn)，其中，則，所以，解得，故平面與平面不平行，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，，，設(shè)直線與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)閳A錐的底面直徑為2，它的軸截面是等邊三角形，則圓錐的母線長(zhǎng)，底面半徑，所以圓錐表面積為．故．13．【正確答案】【詳解】由題意得，，，，，所以為周期數(shù)列，所以.故14．【正確答案】//4.5【詳解】因?yàn)榈拿娣e是面積的一半，即，即，可得，又因?yàn)?，即，且，可得，所以，且的定義域?yàn)?，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可知在上的最小值為2，最大值為，即在上的最小值為2，最大值為，所以的最小值與最大值之和為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案；（2）由題可得，后由正弦定理可得，后由正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）由余弦定理，，又三角形面積為，則，又由題，則；（2）由（1），，又為銳角三角形，則.由正弦定理：.因在上單調(diào)遞增，則時(shí)，.則，即.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公比為，由可得，又，解得或，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，故；（2）由可得，，故.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在線段上取一點(diǎn)，使，連接、，在中，因?yàn)椋?，所以，所以且，因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，則，且，所以，所以，、、、四點(diǎn)共面，若平面，平面，平面平面，所以，，因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，故，故?dāng)平面時(shí)，.（2）因?yàn)榈酌妫?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則，，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，，則、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則，取，則，所以，，由圖可知，二面角的平面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意得，，記f′x的導(dǎo)函數(shù)為f則，所以f′x在區(qū)間0,+∞所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù).（2）由題意得，，則，令，則，故.令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由題意得，.當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，則即證，即證，設(shè)，則，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故.故當(dāng)時(shí)，，即成立.當(dāng)時(shí)，由（1）知在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以，使得，所以，因?yàn)?，所以，所?i）當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，所以Fx在上單調(diào)遞減，所以.ii）當(dāng)時(shí)，，即，即證，設(shè)，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則，則，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，.19．【正確答案】(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).(2)3(3)存在，4【分析】（1）將集合，進(jìn)行計(jì)算，得出集合中的元素個(gè)數(shù)即可知具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).（2）利用等比數(shù)列性質(zhì)和集合性質(zhì)的定義，即可得集合中的元素個(gè)數(shù)最大值為3；（3）根據(jù)集合具有的性質(zhì)的定義，對(duì)集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，再由集合元素的互異性得出矛盾即可求出中的元素個(gè)數(shù)最大值是4.【詳解】（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).若，則，恰有個(gè)元素，所以具有性質(zhì)；若，，有5個(gè)元素，，不具有性質(zhì).（2）當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，因?yàn)橹兴性啬軜?gòu)成等比數(shù)列，不妨設(shè)元素依次為構(gòu)成等比數(shù)列，則，其中互不相同.于是這與具有性質(zhì)，中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取時(shí)滿足條件，所以集合中的元素個(gè)數(shù)最大值為3.（3）因?yàn)?，不妨設(shè)，所以.（1）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，其中互不相同.這與中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.（2）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項(xiàng)是或.①若第3項(xiàng)是，則，即，所以，與題意矛盾.②