2024-2025學年廣東省實驗中學高二上學期期中數(shù)學試題及答案

廣東實驗中學2024-2025學年（上）高二級期中考試數(shù)學本試卷共5頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知+i)z=1+，則復數(shù)z的虛部為（A.1B.-i）C.-1D.i2.一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是（）A.14B.15C.23D.25rrr3.在四面體OABC中，=a，=b，=c，G為三角形ABC的重心，P在OG上，且1=，則AP為（）2rrrr1r2r11r8r11r98r11r92r1D.a-b-cA.-a+b+cB.a-b-cC.-a+b+c99999999994.已知隨機事件A和B互斥，且P(AUB)=0.6，P(B)=0.3，則P(A)等于()A.0.8B.0.7C.0.5rD.0.25.已知直線l過定點(2,，且方向向量為S=，則點P(4,2)到l的距離為（）32222A.B.C.D.22x2y26.雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點，一條漸近線的方程為x-2y=0，則雙曲線C的標準方程為94（）x2y2x2x2y2y2-y2=1B.-=1C.-=1D.-x=12A.499364x22y227.已知橢圓E:+=a>b>0)的右焦點為F0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點，若ABab的中點坐標為-，則橢圓E的方程為（）x2y2x2y2x2y2x2y2A.+=1B.+=1C.+=1D.+=19x22y228.橢圓C:+=a>b>0)的左、右焦點分別是F，F(xiàn)，斜率為1的直線l過左焦點F，交C于121abéù22A，B兩點，且△2的內(nèi)切圓的面積是π，若橢圓C的離心率的取值范圍為ê,ú，則線段AB的63??長度的取值范圍是（）éùC.4,8éùA.62,122B.6,12D.42,82????二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點，則（）1111A.//平面B11B.直線與平面BBDD所成的角為45°111C.平面AAF^平面B112D.點E到平面ADF的距離為114x2y210.已知點P是左、右焦點為F，F(xiàn)的橢圓C:+=1上的動點，則（）1284A.若FPF=90°，則△FPF的面積為421212B.使△FPF為直角三角形的點P有6個12C.PF-2PF的最大值為6-2212155D.若M)，則PF+PM的最大、最小值分別為42+42-和122211.如圖，曲線C是一條“雙紐線，其C上的點滿足：到點F(0)與到點F(2,0)的距離之積為4，據(jù)12此判斷，下列結(jié)論正確的是（）A.點D(22,在曲線C上B.點M(xx>0)在C上，則MF1=22x2y2C.點Q在橢圓+=1上，若FQ^FQ，則Q?C1262D.過2作X軸的垂線交C于A，B兩點，則AB<2第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.q-π)12.已知點P在角q的終邊上，則=________.π1+sin(-q)22x-12x+113.若f(x)=(x+a)×為偶函數(shù)，則a=_______.x22y22x2y2214.如圖，橢圓+=a>b>0)與雙曲線-=m>n>0)有公共焦點1(-c,0)，abm2nF(c,0)(c>0)，橢圓的離心率為e，雙曲線的離心率為e，點P為兩曲線的一個公共點，且212FPF=60°，I為△FPF的內(nèi)心，F(xiàn)，I，G三點共線，且×=0，x軸上點A，B滿足12121uAI=lIP，BG=m，則ee的最小值為________；l2+m2的最小值為________.12四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在平面直角坐標系xOy中，已知圓M的圓心在直線x-y+1=0上，且與直線2x+y=0相切于坐標原點.（1）求圓M的標準方程；（2）經(jīng)過點(0,2)的直線l被圓M截得的弦長為32，求直線l的方程.16.（15分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(A+C)sinA+sinCb-ca-c=，且a=2.π（1）若B=，求c；6（2）點d在邊BC上且AD平分BAC，若AD=3，求三角形ABC的周長.x22y22617.（15分）橢圓C:+=a>b>0)過點P(且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F的直ab3線交橢圓C于M，N兩點，定點(0).（1）求橢圓C的方程；（2）若△面積為33，求直線MN的方程.18.（17分）在四棱錐P-中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD^AB，側(cè)面^底面1ABCD，PA=PB=AD=BC=2，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，2（1）證明：//平面PAB；（2）若直線PF與平面PAB所成的角為60°，①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.②平面ADE將四棱錐P-分成上、下兩部分，求平面ADE以下部分幾何體的體積.x22y22119.（17分）已知雙曲線C:-=a>b>0)的實軸長為4，漸近線方程為y=±x.ab2（1）求雙曲線C的標準方程；（2）雙曲線的左、右頂點分別為A，A，過點B0)作與x軸不重合的直線l與C交于P，Q兩點，直12線AP與AQ交于點S，直線AQ與AP交于點T.1212（i）設(shè)直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為k，若k=lk，求l的值；112212（ii）求△2ST的面積的取值范圍.廣東實驗中學2024-2025學年（上）高二級期中考試·數(shù)學參考答案1.C2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.B9.【答案】ACD10.【答案】BCD11.【答案】ACD1231512.tanq=13.a=014.2+；229.【答案】ACD【解析】在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，建立如圖所示的空間直角坐標系，111111則0)，B0)，A，B，C，D(0,，E,0)，F(xiàn)(0)，1111221212對于A，=(，=,0)，=，顯然BC=EB-，1111即平行于平面B，而BCì平面/B1，因此1//平面B1，A正確；111111對于B，DF=(-，DF×DE=′1+1′=110，即有DF不垂直于DE，111222而DEì平面B，因此DF不垂直于平面B，B錯誤；11111對于C，AF=(-0)，AA=(0,，而=,0)，顯然×AA=0，112121DE×AF=1′(-)+′1=0，即^AA，^AF，I=A，AA，AFì平面111221，于是^平面A，而DEì平面B，因此平面AAF^平面B，C正確；11111r對于D，DF=(-，DA=0)，設(shè)平面ADF的一個法向量n=(x,y,z)，111112rìn×DA=x=0AE=,，r1?11則ír，令y=1，得n=，又11?n×DF=x+y-z=02?121r1′-1′1n×AE221所以點E到平面ADF的距離d=r==，D正確.故選：ACD11n24x2y2+=1，所以a2=8，b=4，210.【答案】BCD【詳解】A選項：由橢圓方程8412c2=a2-b2=4，所以△FPF的面積為S=b2=4，故A錯誤；所以122B選項：當^FF或PF^FF時△FPF為直角三角形，這樣的點P有4個，1122121211設(shè)橢圓的上下頂點分別為S，T，則FF=4，OS=2\OS=FF，同理OT=FF，12121222知FSF=FTF=90°，所以當P位于橢圓的上、下頂點時△FPF也為直角三角形，121212其他位置不滿足，滿足條件的點P有6個，故B正確：C選項：由于-2=2a-PF-2=42-3，12222所以當PF最小即PF=a-c=22-2時，PF-2PF取得最大值6-22，故C正確；2212D選項：因為PF+PM=2a-PF+PM=42+PM-PF，122555-￡=PF1+PM42+42-和又，則的最大、最小值分別為，當點P22222位于直線2與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD11.【答案】ACD【解析】對選項A，因為=(22+2)(22-2)=4，由定義知D?C，故A正確；12對選項B，點M(xx>0)在C上，則MF12=é(x2)+2+ùé+ù=1(x2)14，-2????x4-6x+9=0，所以x=3，1=(3+2)22+1122，B錯誤；化簡得x2y2對選項C，橢圓+=1上的焦點坐標恰好為F(0)與F(2,0)，1262則FQ+FQ=26，又FQ^FQ，所以FQ2+2Q=16，212121222FQ+FQ-FQ+FQ1212故FQ×FQ==4，所以Q?C，C正確；1224對選項D，設(shè)(2,y)，則AB=2y，因為A?C，則AF1=，又AF2=16+y2，1y16=16+y2，化簡得y4+16y2-16=0，故y2=45-8，所以y-1=45-9<0，2所以y2故y<1，所以AB<2，故D正確，故選ACD.12.【詳解】由點P在角q的終邊上可得，tanq=1，2q-π)-sinq2sinqcosqsinqcosq12===-=-tanq=-則.π+q22q121+sin(-q)22x-12x+11113.[解析]設(shè)g(x)=2x-1，易知g(x)的定義域為(-￥,-)U(,+￥)，222x+12x-12x-12x+1且g(-x)===-=-g(x)，所以g(x)為奇函數(shù).2x+12x-12x+1若f(x)=(x+a)ln為偶函數(shù)，則y=x+a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a=0±奇=奇，偶±偶=偶，奇′奇=偶，偶′偶=偶，奇′偶=奇）14.解：①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為FF=2c，橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實軸長為2m，12不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：PF-PF=2m，12由橢圓的定義：+=2a，可得：PF=m+a，PF=a-m，1212又FPF=60°，由余弦定理得：2+2-PF2×=2=4c2，121211F2(m+a)2+(a-m)2-(m+a)×(a-m)=4c2，整理得：a2+m=4c2，2即ac22m2131323+=432′=所以：+=4，即，c2e2e22e2e22ee1211313ee3=2可得，當且僅當時等號成立.1222ee21QI為△FPF的內(nèi)心，所以IP為F的角平分線，則有=，112212122AIPF22AIPF1+22aAF1+22c1=\1==\===，同理：AFe11u即AI=eQ=l\AI=l故l=e，11QI為△FPF的內(nèi)心，F(xiàn)，I，G三點共線，121即FG為B的角平分線，進而FG是角PFB的平分線，1122PG2BF1，又BF1BF\BF1-BFC2==2，則有===21-2PF22m11即=eQBG=m\BG=mGP\m=e，221131e21e+22e11152所以l2+m2=e21+22=e21+22+)=++)3+215)=2+2，4e2+e224e2412當且僅當e=2時，等號成立.22四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（131Q圓M的圓心在直線x-y+1=0上，設(shè)M(m,m+，m+1則′(=1，解得m=2，即M(\圓的半徑為4+1=5.m\圓M的標準方程為(x+2)2+(y+=5；2（2）經(jīng)過點(0,2)的直線l被圓M截得的弦長為32，當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0，此時直線l被圓M截得的弦長為25-4=2，不符，舍去；-2k+1+2322當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=+2，即-y+2=0\(2+(2)=5.)k2+117解得k=1或k=\直線l的方程為x-y+2=0或17x-7y+14=0.7（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）abc16.（151）由正弦定理可知==，sinAsinBsinCsinBa-csinA+sinCsinA+sinCsinA+sinCa+cb-csin(A+C)sin(π-B)b\====.\bb-c)=(a+c)(a-c)\b2-bc=a2-c2，即b2+c2-a2=bc，.b2+c2-a21π由余弦定理知A==QA?π)\A=（不寫范圍扣1分）bc23πππππ由A=，B=知C=π--=.又△ABC為直角三角形，36362a32433\sinA=\=，故c=.c2c（2）點D在邊BC上且AD平分BAC，所以△ABC=△ABD+△ACD，111即AB×AC×sinA=AB×AD×sinBAD+AC×AD×sinCAD，212211即bcsin60°=c×3sin30°+b×3sin30°，即bc=b+c.①222又由于b2+c2-a2=bc，即b2+c2-4=bc，即b+c)=4+bc.②2b+c)2-b+c)-4=0，所以b+c=4或b+c=-1①代入②得到所以△ABC的周長為a+b+c=2+4=6.（說明：解答過程中從頭到尾不寫“正弦定理、余弦定理”扣1分）17.ìc6?e==a3ì=a6???31?x2y2（1）由已知可得ía+=解得íb=2,所以，橢圓C的標準方程為+=1.2b262??c=2?a2=b2+c2??（2）當直線MN與x軸重合時，不符合題意，設(shè)直線MN的方程為x=+2，ìx=+2(m2+y2+4-2=0，D=16m4m2+8(m2+=24(m2+>0，聯(lián)立íx，可得2+3y=62?2+3設(shè)M(x,y)，N(x,y)由韋達定理可得y+y=-，yy=-，112212m2+12m23-4m-2+26(m+2則則y-y=(y+y)2-4yy=()2-4′=，121212m2+m2m2+33326(m2+1=′6′y-y=3′=33，△AMN12m2+32解得m=±1，所以直線MN的方程為y=±(x-2).（說明：這里少一種結(jié)果扣2分）18.1）取PB中點M，連接AM，EM，1QE為PC的中點，\//，=BC，21QAD//BC，AD=BC，2\//，=AD\四邊形ADEM為平行四邊形，\DE//AMQ平面PAB，AMì平面PAB\//平面PAB；（2）平面^平面ABCD，平面PABI平面ABCD=AB，ì平面ABCD，BC^AB\^平面PAB，取AB中點G，連接FG，則FG//BC\FG^平面PAB，123\D=60°，=(BC)=3\tan60°=+\PG=3，PG又PA=PB=2\AG==4-3=1，=2，①如圖以G為坐標原點，GB為x軸，GF為y軸，GP為z軸建立空間直角坐標系，\P(0,3)，C0)，D(0)，\PC=-3)，CD=(2,0)，設(shè)平面PCD的一個法向量，n=(x,y,z)，1ì?n×PC=x+4y-3z=01，取y1，則n=(3)，=則í1?n×CD=-2x-2y=0?1u平面PAB的一個法向量可取n=0)，2設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為q，n×nnn15\cosq===，1255125所以平面PAB與平面PCD