2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題二十推理與證明文含解析

PAGE專題二十推理與證明本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分80分，考試時(shí)間50分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·菏澤模擬)命題：“對(duì)于隨意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”應(yīng)用了()A．分析法 B．綜合法C．綜合法與分析法 D．放縮法答案B解析綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч?，即從已知條件動(dòng)身，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最終得到待證結(jié)論．故本題證明的過程應(yīng)用了綜合法．故選B.2．(2024·深圳二模)已知“正三角形的內(nèi)切圓與三邊相切，切點(diǎn)是各邊的中點(diǎn)”，利用類比的方法可以猜想：正四面體的內(nèi)切球與各面相切，切點(diǎn)是()A．各面內(nèi)某邊的中點(diǎn)B．各面內(nèi)某條中線的中點(diǎn)C．各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn)D．各面內(nèi)某條角平分線的四等分點(diǎn)答案C解析平面上關(guān)于正三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)可類比為空間中關(guān)于正四面體的內(nèi)切球的性質(zhì)，可以推斷，在空間幾何中有“正四面體的內(nèi)切球與各面相切，切點(diǎn)是各面的中心”，即各面內(nèi)某條高的三等分點(diǎn)．故選C.3．(2024·三明期末)某演繹推理的“三段論”分解如下：①函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3x)是減函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3x)是指數(shù)函數(shù)．則依據(jù)演繹推理的“三段論”模式，排序正確的是()A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①答案D解析易知大前提是②，小前提是③，結(jié)論是①.故排列的次序應(yīng)為②→③→①.故選D.4．(2024·洛陽質(zhì)檢)對(duì)于大于或等于2的正整數(shù)冪運(yùn)算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…依據(jù)以上規(guī)律，若m，p均為正整數(shù)且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整數(shù)為21，則m＋p＝()A．9B．10C．11D．12答案C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝eq\f(1＋11,2)×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整數(shù)是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故選C.5．(2024·桂林一模)設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n>2，n∈N)，經(jīng)計(jì)算可得f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，…，視察上述結(jié)果，可得出的一般結(jié)論是()A．f(2n)>eq\f(2n＋1,2)(n≥2，n∈N)B．f(n2)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N)C．f(2n)>eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N)D．f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2，n∈N)答案C解析已知不等式f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，…，可化為f(22)>eq\f(2＋2,2)，f(23)>eq\f(3＋2,2)，f(24)>eq\f(4＋2,2)，f(25)>eq\f(5＋2,2)，…，由此歸納，可得f(2n)>eq\f(n＋2,2)，故選C.6．(2024·臨川兩校聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參與某次過關(guān)考試，甲、乙、丙三個(gè)人分別去老師處詢問成果，老師給每個(gè)人只供應(yīng)了其他三人的成果．然后，甲說：我們四人中至少兩人不過關(guān)；乙說：我們四人中至多兩人不過關(guān)；丙說：甲、乙、丁恰好有一人過關(guān)．假設(shè)他們說的都是真的，則下列結(jié)論正確的是()A．甲沒過關(guān) B．乙過關(guān)C．丙過關(guān) D．丁過關(guān)答案C解析基于他們說的都是真的狀況下，因?yàn)椋渍f：我們四人中至少兩人不過關(guān)；乙說：我們四人中至多兩人不過關(guān)；所以，可以推出，它們四人中肯定只有兩人過關(guān)，再由丙說：甲、乙、丁恰好有一人過關(guān)．所以得到，丙肯定過關(guān)，故選C.7．(2024·德州模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”A．②③ B．①②③C．③ D．③④⑤答案C解析若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，但a<1，b<1，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，但a<1，b<1，故⑤推不出．對(duì)于③，若a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.用反證法證明如下：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2沖突，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.故選C.8．(2024·南昌市摸底)用反證法證明命題①：“已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2”時(shí)，可假設(shè)“p＋q>2”；命題②：“若x2＝4，則x＝－2或x＝2”時(shí)，可假設(shè)“x≠－2或x≠A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確答案C解析用反證法證明時(shí)，其假設(shè)應(yīng)否定命題的結(jié)論．證明①：“已知p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2”時(shí)，可假設(shè)“p＋q>2”；證明②：“若x2＝4，則x＝－2或x＝2”時(shí)，可假設(shè)“x≠－2且x≠9．(2024·焦作模擬)用分析法證明不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)時(shí)，最終得到的一個(gè)明顯成立的不等式是()A．(ac＋bd)2≥0B．a(chǎn)2＋b2≥0C．(ad－bc)2≥0D．c2＋d2≥0答案C解析要證(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，只要證a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，即證2abcd≤a2d2＋b2c2，即證(ad－bc)210．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(3,2)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(2,3)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(2,3)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(3,2)))C．f(2eq\s\up5(－eq\f(3,2)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D．f(2eq\s\up5(－eq\f(2,3)))>f(2eq\s\up5(－eq\f(3,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))答案C解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(－log34)＝f(log34)．又因?yàn)閘og34>1>2eq\s\up5(－eq\f(2,3))>2eq\s\up5(－eq\f(3,2))>0，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(log34)<f(2eq\s\up5(－eq\f(2,3)))<f(2eq\s\up5(－eq\f(3,2)))．故選C.11．(2024·濮陽聯(lián)考)有一個(gè)由奇數(shù)組成的數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)進(jìn)行如下分組：第1組含有一個(gè)數(shù){1}，第2組含有兩個(gè)數(shù){3,5}，第3組含有三個(gè)數(shù){7,9,11}，……，則第n組各數(shù)之和為()A．n2B．n3C．n4D．n(n＋1)答案B解析第一組各數(shù)之和為1＝13，第2組各數(shù)之和為8＝23，第3組各數(shù)之和為27＝33，……，視察規(guī)律，歸納可得，第n組各數(shù)之和為n3.故選B.12．(2024·岳陽一中月考)將棱長(zhǎng)相等的正方體按如圖所示的形態(tài)擺放，從上往下依次為第1層，第2層，第3層，…，則第2024層正方體的個(gè)數(shù)為()A．2024 B．4028C．2037171 D．2039190答案D解析設(shè)第n層正方體的個(gè)數(shù)為an，則a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)，故a2024＝1010×2024＝2039190，故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·山西呂梁一模)在某次語文考試中，A，B，C三名同學(xué)中只有一名同學(xué)優(yōu)秀，當(dāng)他們被問到誰得到了優(yōu)秀時(shí)，C說：“A沒有得優(yōu)秀”；B說：“我得了優(yōu)秀”；A說：“C說得是真話”．事實(shí)證明：在這三名同學(xué)中，只有一人說的是假話，那么得優(yōu)秀的同學(xué)是________．答案C解析假如A說的是假話，則C說的也是假話，不成立；假如B說的是假話，即B沒有得優(yōu)秀，又A沒有得優(yōu)秀，故C優(yōu)秀；假如C說的是假話，即A得優(yōu)秀，則B說的也是假話，不成立；故得優(yōu)秀的同學(xué)為C.14．(2024·宣城市八校聯(lián)考)如圖，在△OAB中，OA⊥AB，OB＝1，OA＝eq\f(1,2)，過B點(diǎn)作OB延長(zhǎng)線的垂線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作OA延長(zhǎng)線的垂線交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)B1，如此接著下去，設(shè)△OAB的面積為a1，△OA1B的面積為a2，△OA1B1的面積為a3，…，以此類推，則a6＝________.答案128eq\r(3)解析因?yàn)樵凇鱋AB中，OA⊥AB，OB＝1，OA＝eq\f(1,2)，所以△OAB的面積為a1＝eq\f(1,2)×OA×AB＝eq\f(\r(3),8)；過B點(diǎn)作OB延長(zhǎng)線的垂線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)A1，所以△OA1B的面積為a2＝eq\f(1,2)×OA1×AB＝eq\f(\r(3),2)；又過點(diǎn)A1作OA延長(zhǎng)線的垂線交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)B1，可得△OA1B1的面積為a3＝2eq\r(3)，…，如此接著下去，可得數(shù)列{an}是一個(gè)以eq\f(\r(3),8)為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(\r(3),8)·4n－1.因此a6＝128eq\r(3).15．(2024·寧夏育才中學(xué)二模)凸函數(shù)具有以下性質(zhì)定理：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的隨意x1，x2，…，xn，有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).已知函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為________．答案eq\f(3\r(3),2)解析∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)，∴eq\f(fA＋fB＋fC,3)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B＋C,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴sinA＋sinB＋sinC的最大值為eq\f(3\r(3),2).16．(2024·株洲二模)《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)，得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，…，則依據(jù)以上規(guī)律，若8eq\r(\f(8,n))＝eq\r(8\f(8,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝________.答案63解析因?yàn)?eq\r(\f(