高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點歸納總結(jié)

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點歸納總結(jié)

一、立體幾何知識點歸納

第一章空間幾何體

(-)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體一由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱

與棱的公共點叫做頂點。

旋轉(zhuǎn)體——把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其

中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

(2)柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征

1棱柱

1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何

體叫做棱柱。

1.2相關(guān)棱柱幾何體系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的關(guān)系:

斜棱柱

①棱柱底面是正多形，正棱柱

棱垂直于底面?直棱柱

其他棱柱-

②四棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形

長方體底面為正方形正四棱柱喇棱與底面邊長相等正方體

1.3棱柱的性質(zhì):

①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；

②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。

1.4長方體的性質(zhì)：

①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的

平方和；【如圖】AC,2=AB2+AD2+A4,2

②（了解）長方體的一條對角線AG與過頂點A的三條

棱所成的角分別是尸，/,那么cos2a+cos2/?+cos2/=1

sin2a4-sin2/?4-sin2/=2;

③（了解）長方體的一條對角線AG與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是a,0,y,

貝（Jcos^a+cosN/J+cos?/=2,sin2a+sin2+sin2/=1.

1.5側(cè)面展開圖正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰

邊的矩形.

S.=c.〃

1.6面積、體積公式：直核柱側(cè)z（其中c為底面周長，h

S直棱柱全=u"+2S底'V棱柱=5底?//

為棱柱的高）

2.圓柱

2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，

其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.

2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是

等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.

2.3側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.

2.4面積、體積公式:

S27rHi;S酬主全二2冗rh+2萬戶，v圓柱二S底h二7rr2h（其中r為底面半徑,h為圓柱高）

3.棱錐

3.1棱錐一有一個面是多邊形，其余

各面是有一個公共頂點的三角形，由這

些面所圍成的幾何體叫做棱錐。

正棱錐一一如果有一個棱錐的底面

是正多邊形，并且頂點在底面的射影是

底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

3.2犢錐的性質(zhì):

①平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面

的距離之比；

②正棱錐各側(cè)棱相等,各側(cè)面是全等的等腰三角形；

③正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面

邊長一半，構(gòu)成四個直角三角形。）（如上圖：.SOB,SOH,SBH,OBH為直角三角形）

3.3側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。

3.4面積、體積公式：S正棱錐傀二,S正棱錐全二+S底,V棱錐二'S底?〃.（其中c為底

223

面周長，〃側(cè)面斜高，h棱錐的高）

4.圓錐

4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍

成的幾何體叫圓錐。

4.2圓錐的性質(zhì):

①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面

的距離之比；

②軸截面是等腰三角形；如右圖：LSAB年一頂點

③如右圖：l2=h2+r2.母久/二-軸

7h側(cè)面

4.3圓錐的側(cè)面展開圖握］錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，1/

軸截面

以母線長為半徑的扇形。/^*****"*"**?\

4.4面積、體積公式：底面

12

S圓桂側(cè)二〃r/,S圓錐全二〃r（廠+/）,V圓椎二一h（其中

r為底面半徑，h為圓錐的高，1為母線長）

5.棱臺■S

5.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱

上底面、D，二則棱_

—芭一/尊（幺側(cè)面

錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.

TM/.\苫丁斜高

5.2正棱臺的性質(zhì)：

①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；

②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形；

③如右圖：四邊形O'MNO,O'3'3O都是直角梯形

④棱臺經(jīng)常補成棱推研究.如右圖：.與,SON,AS'O'B'與-SOB相似，注意考慮相似比.

5.3楂臺的表面積、體積公式：5全=$上底+S下底+S側(cè)，/臺=g（S+宿+S、）〃,（其中S,S、

是上，下底面面積，h為棱臺的高）S?

6.圓臺

6.1圓臺——用平行于圓推底面的平面去截圓錐,

底面與截面之間的部分叫做圓臺.

6.2圓臺的性質(zhì):

①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；

②圓臺的軸截面是等腰梯形；

③圓臺經(jīng)常補成圓錐來研究。如右圖：

SO'A與SOB相似，注意相似比的應(yīng)用.

6.3圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)；

6.4圓臺的表面積、體積公式：S全=幾戶+兀R?+兀（R+r）l,

22

V圓臺=」（S+唇+S、）〃=」（7ir+7trR+TTR）/?,（其中r,R為上下底面半徑，h為高）

33

7.球

7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.

或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱

球；

7.2球的性質(zhì)：

①球心'與截面圓心的連線垂直于截面；

②/=，店-屋（其中，球心到截面的距離為d、

球的半徑為R、截面的半徑為r）

7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長

方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.

注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.

4

7.4球面積、體積公式：S球==-7VR3（其中R為球的半徑）

（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影:區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖一是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；

正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；

側(cè)視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；

正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；

注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，"長度〃與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，"高

度”與正視圖相等，"寬度〃與俯視圖。（簡記為"正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、

側(cè)一樣寬〃.

（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。

3.直觀圖：

3.1直觀圖一是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平

行投影下畫出的空間圖形。

3.2斜二測法：

stepl:在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,（即取Zwy=90。）;

st叩2:畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸。,取Nr'。｝'=45。（“135。）,它們確定的

平面表示水平平面；

step3:在坐標(biāo)系x'o'y'中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸橫段保持平行性不變，平行

于X軸（或在X軸上）的線段保持長度不變,平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。

結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的一倍.

解決兩種常見的題型時應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.

（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱

畫成虛線。

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系

（-）平面的基本性質(zhì)

1.平面---無限延展，無邊界

1.1三個定理與三個推論

公理1:如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。

用途：常用于證明直線在平面內(nèi).

圖形語言：符號語言：

公理2:不共線的三點確定一個平面.圖形語言：

推論1:直線與直線外的一點確定一個平面.圖形語言：

推論2:兩條相交直線確定一個平面.圖形語言：

推論3:兩條平行直線確定一個平面.圖形語言：

用途：用于確定平面。

公理3:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩

個平面的交線）.

用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點在線上.

圖形語言：符號語言：

形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化：

圖形請白文字潘育符號身引

B-點A在打線.上

點H作H線K外

點A在平面。外?4wa

點B在平面。內(nèi)

K線a在平面。內(nèi)〃ua

X線b在平面＜1外baa

H線a與平面。相交干點Aof)a二H

r1《U與直線b交「點Aar\b=A

共面:aQb=A,a//b

1.空間直線的位置關(guān)系：

異面:a與b異面

1.1平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：

allb.bllallc

1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。

13異面直線：(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線—異面直線；

(2)判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的

直線是異面直線。

P色a

A￡a

圖形語言符號語言：nPA與a異面

aua

A^a

1.4異面直線所成的角：（1）范圍：8e（0。,90。］；（2）作異面直線所成的角：平移法.

如右圖，在空間任取一點0,過。作優(yōu)〃。力'〃人，則優(yōu)”

所成的。角為異面直線。力所成的角。特別地，找異面直線所

成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊

點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角.

lua

2.直線與平面的位置關(guān)系：/、a=A

Iaa,

Illa

圖形語言：

平行：a//p

3.平面與平面的位置關(guān)系：/斜交：二a

相父仁士

［垂直：a工B

（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）

1.線面平行：

①定義：直線與平面無公共點.

allb

②判定定理：a2a，n?！ā＃ň€線平行=線面平行）【如圖】

bua

alla

③性質(zhì)定理：au[3\^a//b（線面平行=線線平行）【如圖】

a°=b

④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：/'a=0^l//a（用于判斷）；（ii）

allb

判定定理：〃aa[=?！╝”線線平行n面面平行“（用于證明）;（iii）""'[n〃〃尸

buaj

bLa

“面面平行n線面平行〃（用于證明）；（4）8，ana〃a（用于判斷）；

aaa

2.線面斜交：/a=A

①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平

面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。【如圖】R2，a于0,

則A0是PA在平面a內(nèi)的射影，則NB4O就是直線PA與平面

a所成的角。

范圍：^e[0°,90°],注：若/ua或/〃a,則直線/與平面a所成的角為0。；若Ua,

則直線/與平面a所成的角為90。。

3.面面平行：

①定義：a0=0=aH0;

②判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；

符號表述：a,ba.a,aCb=O,alla,blla=>all(3【如下圖①】

aa

圖①圖②

推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相

平行

符號表述：a,bua,a(b=Od,b'u/3,al/a',bHb'nall。【如上圖②】

判定2:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：

a_La,a_L尸〃/.【如右圖】

③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理

及推論（常用）（3）判定2

allp

allp

④面面平行的性質(zhì)<1）nail隊面面平行=線面平行)X2)ay=a>^>a//b

qua

P17=b

（面面平行=線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】

（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）

1.線面垂直

①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。

符號表述：若任意Qua,都有/J_a，且/<za，則/_La.

a,bua

aCb=0

②判定定理：laa（線線垂直n線面垂直）

ILa

lib

③性質(zhì)：（1）/J_a,〃ua=>/J_4（線面垂直二>線線垂直）；（2）aka.bka^allb;

④證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1淀義（反證）；（2）判定定理（常用）;（3）〔n力J_a

aLa

aLp

…「allaC\P=b

（較常用）；（4）H\^>aLp;（5）"'（面面垂直=>線面垂直）

aA..a]aua

a-Lb

常用；

⑤三垂線定理及逆定理：

（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜

p

線段中，POLa（1）斜線相等O射影相等；（2）斜線越

）垂線段最短?！救鐖D】ZrA一7

長=射影越長；（3

PB=PCoOB=OC；P/\>PBoOA>OB%A_c----z

（II）三垂線定理及逆定理：已知尸O，a,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,aua,

①若a_LQ4,則。_1~4,——垂直射影=垂直斜線，此為三垂線定理；

②若a_LPA，則a_LQ4-一垂直斜線n垂直射影，此為三

垂線定理的逆定理；

三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直;（2）A____

作、證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段;【如圖】

3.2面面斜交

①二面角：(1)定義：【如圖】/

OB_L/,Q4_L/=>ZAO8是二面角c一/一夕的平面角,8

范圍：ZAOBe[0°,180°]\f

11?

②作二面角的平面角的方法：(1)定義法;(2)三垂線法(常

用)；(3)垂面法.

3.3面面垂直

(1)定義：若二面角a—/一分的平面角為90。，則;

(2)判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這

兩個平面互相垂直.

(線面垂直=面面垂直)

aVp

(3)性質(zhì)：①若a二面角的一個平面角為AMON,

則/MON=90。;

②

alp

af}J3=AB

>=>a_L

aua

aLAB

面垂直=線面垂直）；

aVp

Aeaa^p

③〉=aua.④>=>aa,a或?！╝

Aeaa1/3

a-Lfi

二、立體幾何常見題型歸納例講

1、概念辨析題：

(1)此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。

(2)對于判斷線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和

性質(zhì)的前提下，利用長方體，正方體，實物等為模型來進行判斷。你認(rèn)為正確的命題需