福建省南平市埔上中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

/福建省南平市埔上中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則(

)A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：C略2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：D3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程得到切線方程．詳解：∵，∴，∴，又，∴所求切線方程為，即．故選C．

4.過雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A.10 B.13 C.16 D.19參考答案：B試題分析：由題可知，，因此，故選B．考點(diǎn)：圓錐曲線綜合題．5.如圖，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），曲線y=x2經(jīng)過點(diǎn)B，現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出圖中陰影部分的面積，并將其與正方形面積一塊代入幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：由已知易得：S正方形=1S陰影=∫01（x2）dx=故質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率P==故選B6.參考答案：D7.已知二次不等式ax2+2x+b＞0解集為{x|x≠﹣}，則a2+b2﹣a﹣b的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集得到a，b滿足的條件，利用配方法結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵二次不等式ax2+2x+b＞0解集為{x|x≠﹣}，∴，則a＞0且ab=1，則a2+b2﹣a﹣b=（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab=（a+b）2﹣（a+b）﹣2=（a+b﹣）2﹣，∵a+b≥2=2，∴當(dāng)a+b=2時(shí)，a2+b2﹣a﹣b取得最小值此時(shí)a2+b2﹣a﹣b=22﹣2﹣2=0，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次不等式以及基本不等式的應(yīng)用，利用配方法和轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．8.設(shè)有一個(gè)回歸方程為，變量增加一個(gè)單位時(shí)，則（

）A．平均增加2個(gè)單位

B．平均增加3個(gè)單位[C．平均減少2個(gè)單位

D．平均減少3個(gè)單位參考答案：B略9.等比數(shù)列中，公比，且，則等于（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：C10.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊C的值是()A．8B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.參考答案：略12.已知=b-i(a,b∈R),其中i為虛數(shù)單位,則a+b=

參考答案：3略13.設(shè)圓C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，若A恰好為線段BP的中點(diǎn)，則直線l的方程為

．參考答案：y=2x﹣1或y=﹣2x+11【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)；直線的一般式方程．【分析】由題意可設(shè)直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，然后由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x1+x2，x1x2，由A為PB的中點(diǎn)可得x2=2x1，聯(lián)立可求x1，x2，進(jìn)而可求k，即可求解直線方程【解答】解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在可設(shè)直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A為PB的中點(diǎn)∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直線l的方程為y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11故答案為：y=2x﹣1或y=﹣2x+1114.一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是______參考答案：.解：一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2．將這個(gè)小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為ξ=0，1，2，4，15.若等比數(shù)列滿足，則前項(xiàng)___

__.參考答案：16.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是

▲

．參考答案：4；17.已知函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[0，）【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別求出每一段上函數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=2x﹣1≥1，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，∴1﹣2ax+3a必須到﹣∞，即滿足：，解得0≤a＜，故答案為：[0，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列為，表示，．(1)若數(shù)列為等比數(shù)列，求；⑵若數(shù)列為等差數(shù)列，求．參考答案：解：⑴，所以．

⑵，，因?yàn)?，兩邊同乘以，則有，兩邊求導(dǎo)，左邊，右邊，即（*），對(duì)（*）式兩邊再求導(dǎo)，得取，則有所以．略19.平頂山市公安局交警支隊(duì)依據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：所有主干道路凡機(jī)動(dòng)車途經(jīng)十字口或斑馬線，無論轉(zhuǎn)彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以100元罰款，記3分的行政處罰．如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)，機(jī)動(dòng)車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（Ⅰ）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預(yù)測該路段7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)．參考公式：，．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）66人.【分析】（Ⅰ）計(jì)算出和，然后根據(jù)公式，求出和，得到回歸直線方程；（Ⅱ）根據(jù)回歸直線方程，代入【詳解】解：（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算；，，，所以與之間的回歸直線方程為；（Ⅱ）時(shí)，，預(yù)測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為66人．【點(diǎn)睛】本題考查最小二乘法求回歸直線方程，根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測，屬于簡單題.20.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣在[1，2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，令（x∈[1，2]），通過求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而求出g（x）的最大值、最小值，進(jìn)而求出a的范圍．解答： 解：（1）f′（x）=ex﹣a，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，則f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．（2）由，得，令（x∈[1，2]），則令，h′（x）=x（ex﹣1），當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，∴在[1，2]上的最小值為，最大值為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[1，2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，（2）中分離出a，求出相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形,.（1）求證：BC⊥平面PBD；（2）設(shè)E為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角的大小為45°.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先由（1）得兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)向量夾角余弦值與二面角的大小，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面底面，，所以底面，所以；又底面是直角梯形,，所以，因此，所以；又，且平面，平面，所以平面；（2）由（1）可得兩兩垂直，因此以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系