第01講 相交線（知識串講考點(diǎn)提升過關(guān)檢測）-2025年人教版七年級《數(shù)學(xué)》寒假自學(xué)提升講義

PAGE1第01講相交線模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1、了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念。2、會對實(shí)數(shù)按照一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類3、掌握實(shí)數(shù)的相關(guān)概念，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。一、相交線直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.1.垂線定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.示例：如圖所示，直線AB，CD互相重直，記作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，記作“AB⊥CD,乘足為0”.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.【注意】1）已知直線的垂線有無數(shù)條，但在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)畫已知直線的垂線只能畫一條.2）必須強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)，若是在空間中，則經(jīng)過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無數(shù)條.垂線段的定義：如圖，點(diǎn)P為直線外一點(diǎn),PO⊥m，垂足為0，稱PO為點(diǎn)P到直線m的垂線段.垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點(diǎn)P與直線m上的各點(diǎn)連線中，線段PO最短.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【注意】1）垂線段是一個(gè)幾何圖形，而點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯(cuò)誤；2）過直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.二、相交線中的角1.對頂角與鄰補(bǔ)角種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角有公共頂點(diǎn)一個(gè)角的兩邊分別是另一角的兩邊的反向延長線∠1=∠2，∠3=∠4鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)兩個(gè)角有一條公共邊，且它們的另一邊互為反向延長線.∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°【補(bǔ)充說明】1）對頂角的特征：1）有公共頂點(diǎn)；2）兩個(gè)角的兩邊互為反向延長線.2）若兩個(gè)角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個(gè)角相等，則它們不一定為對頂角.2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征同位角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線同側(cè)形如字母“F”內(nèi)錯(cuò)角在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間形如字母“Z”同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩條直線之間形如字母“U”【補(bǔ)充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個(gè)角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角，2對內(nèi)錯(cuò)角，2對同旁內(nèi)角.考點(diǎn)一：相交線的相關(guān)概念1．（23-24七年級下·湖南郴州·期末）下列說法不正確的是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)C．兩直線平行，同旁內(nèi)角相等D．過直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)所連接的線段中，垂線段最短【答案】C【分析】本題考查線段公理，平行線的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．根據(jù)線段公理，平行線的性質(zhì)，垂線段最短等知識一一判斷即可．【詳解】解：A、兩點(diǎn)之間，線段最短，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；D、過直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)所連接的線段中，垂線段最短，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，所以O(shè)M與ON在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短【答案】B【分析】本題考查了垂線的基本事實(shí)，根據(jù)垂線的基本事實(shí)結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．利用同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案即可．【詳解】解：因?yàn)镺N⊥a，OM⊥a，所以直線ON與OM重合，其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：B．3．（23-24七年級下·廣東東莞·期中）如圖，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對頂角，由此對各選項(xiàng)作出判斷即可．本題考查對頂角的定義，解題的關(guān)鍵是理解對頂角的定義．【詳解】解：根據(jù)對頂角的定義可知：只有選項(xiàng)C是對頂角，其它都不是．故選C．4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）①對頂角相等；②互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角；④若兩個(gè)角不是對頂角，則這兩個(gè)角一定不相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查的是對頂角、鄰補(bǔ)角的概念，熟記它們的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對頂角的概念、鄰補(bǔ)角的概念判斷即可．【詳解】解∶①對頂角相等，說法正確；②互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，本小題說法錯(cuò)誤；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角，說法正確；④兩個(gè)角不是對頂角，這兩個(gè)角也可能相等，本小題說法錯(cuò)誤；故選∶B．5．（22-23七年級下·廣西南寧·期中）下列各圖中，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了對頂角．根據(jù)對頂角的定義：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對頂角，進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：選項(xiàng)A和C中的圖形都沒有公共頂點(diǎn)，選項(xiàng)B中雖然有公共頂點(diǎn)，但一個(gè)角的兩邊不是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，故選項(xiàng)A、B和C中的∠1與∠2不互為鄰補(bǔ)角；根據(jù)對頂角的定義即可判斷D選項(xiàng)中，∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角．故選：D．考點(diǎn)二：指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)6．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，結(jié)合條件進(jìn)行解答即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線的性質(zhì)．【詳解】如圖所示：∵直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，MC⊥l，∴點(diǎn)M到直線l的距離是垂線段MC的長度，為2cm故選：A．7．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，欲在河岸AB上某處P點(diǎn)修建一水泵站，將水引到村莊C處，可在圖中畫出CP垂直AB，垂足為P，然后沿CP鋪設(shè)，則能使鋪設(shè)的管道長最短，這種設(shè)計(jì)的依據(jù)是：．【答案】垂線段最短【分析】本題考查點(diǎn)到直線距離的知識，根據(jù)兩點(diǎn)之間垂線段最短即可得出答案．【詳解】解：解：已知在河岸AB上某處P點(diǎn)修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點(diǎn)到該直線的最短距離是其垂線段，這種設(shè)計(jì)的依據(jù)是：垂線段最短，故答案為：垂線段最短8．（22-23七年級下·新疆博爾塔拉·期中）如圖是小凡同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績是線段BN的長度，這樣測量的依據(jù)是．【答案】垂線段最短【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關(guān)含義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：測量的依據(jù)是垂線段最短，故答案為：垂線段最短．9．（22-23七年級下·北京西城·期末）如圖，在三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)B到直線AC的距離是線段的長，BC<BA的依據(jù)是．

【答案】BC垂線段最短【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可說明B到直線AC的距離是線段是BC；在根據(jù)兩點(diǎn)之間垂線段最短即可證明BC<BA．【詳解】∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴點(diǎn)B到直線AC的距離是線段為BC；∵兩點(diǎn)之間垂線段最短，∴BC<BA，故答案為：BC，垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離定義及兩點(diǎn)之間垂線段最短，熟記知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（23-24七年級下·北京·期末）如圖，若AB⊥l，BC⊥l，B為垂足，那么A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，其理由是．【答案】在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】本題考查的是垂線的性質(zhì)，利用在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直可得答案．【詳解】解：∵AB⊥l，BC⊥l，B為垂足，∴A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，理由是：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；故答案為：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直考點(diǎn)三：畫垂線11．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）利用網(wǎng)格畫圖：(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，垂足為E；(2)線段CE的長度是點(diǎn)C到直線_______的距離；(3)連接CA,CB，在線段CA,CB,CE中，線段_______最短．【答案】(1)見詳解(2)AB(3)CE【分析】本題主要垂線及其做圖，點(diǎn)到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準(zhǔn)確性．（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，利用直線與網(wǎng)格的夾角的關(guān)系找出與AB垂直的格點(diǎn)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離概念回答；（3）根據(jù)垂線段最短直接回答即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：線段CE的長度是點(diǎn)C到直線AB的距離，故答案為：AB；（3）解：連接CA,CB，在線段CA,CB,CE中，線段CE最短，理由：垂線段最短．故答案為：CE．12．（22-23七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的邊OB上的一點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P畫OB的垂線，交OA于點(diǎn)C；(2)過點(diǎn)P畫OA的垂線段，垂足為H；(3)點(diǎn)P到直線OA的距離為___________，線段___________的長度是點(diǎn)C到直線OB的距離；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)PH，PC【分析】本題主題考查了垂線的作法、點(diǎn)到直線距離的定義等知識點(diǎn)，掌握垂線和垂線段的區(qū)別與聯(lián)系成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖取格點(diǎn)D,連接PD交OA于點(diǎn)C，直線PD即為所求；（2）直接根據(jù)方格作圖即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離解答即可．【詳解】（1）解：如圖：直線PD即為所求；（2）解：如圖：線段PH即為所求．（3）解：點(diǎn)P到直線OA的距離為PH，線段PC的長度是點(diǎn)C到直線OB的距離．故答案為：PH，PC．13．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知銳角∠AOB，畫射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，并直接寫出∠AOB與∠COD的關(guān)系．【答案】畫圖見解析；∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°【分析】本題考查了垂線的定義，角的計(jì)算，同角的余角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．分OC、OD在邊OA的同側(cè)和異側(cè)分別作出圖形，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：畫圖如圖①~④．∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°．理由如下：如圖1，∵OC⊥OA，∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD；如圖2，∵OC⊥OA，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠AOB+∠AOD=180°，又∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=∠COD，∴∠AOB+∠COD=180°；如圖3，∠AOB+∠COD=360°?∠AOC?∠BOD=360°?90°?90°=180°；如圖4，∵OC⊥OA，∴∠AOB+∠AOD=90°，∴∠AOB=∠COD；綜上所述，∠AOB=∠COD或∠AOB+∠COD=180°．考點(diǎn)四：判斷已知圖形中鄰補(bǔ)角的個(gè)數(shù)14．（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是以O(shè)為頂點(diǎn)的一條射線，圖中的對頂角和鄰補(bǔ)角各有（

）

A．1對、3對 B．2對、4對 C．2對、6對 D．3對、8對【答案】C【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角與對頂角的定義，根據(jù)鄰補(bǔ)角與對頂角的定義找出鄰補(bǔ)角和對頂角即可求解．掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖中對頂角有：∠AOD與∠BOC，∠AOC與∠BOD，共2對，鄰補(bǔ)角有：∠AOD與∠AOC，∠AOD與∠BOD，∠AOE與∠BOE，∠COE與∠COE，∠BOC與∠AOC，∠BOC與∠BOD，共6對，故選：C．15．（23-24七年級下·天津河北·期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O．則∠AOD的鄰補(bǔ)角是（

）A．∠BOD和∠AOC B．∠BOE和∠AOFC．∠DOF和∠COF D．∠BOC【答案】A【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角的概念：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念解答是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知，∠AOD的鄰補(bǔ)角是∠BOD和∠AOC，故選：A．16．（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·周測）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，自點(diǎn)O引射線OC、OD、OE、OF，圖中共有對鄰補(bǔ)角．【答案】4【分析】此題考查了鄰補(bǔ)角定義：和為180度的兩個(gè)有公共頂點(diǎn)且有公共邊的角是鄰補(bǔ)角，根據(jù)定義直接解答．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，∠AOC+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°，∠AOE+∠BOE=180°，∠AOF+∠BOF=180°，故答案為4．17．（22-23七年級下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOF=∠DOE．（1）圖中的對頂角有對；（2）∠COB的鄰補(bǔ)角是；（3）如果∠AOC=70°，∠EOD=32°，那么∠BOE=．【答案】2∠COA、∠BOD38°/38度【分析】根據(jù)對頂角的定義及性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義及性質(zhì)分析解答即可．【詳解】解：（1）圖中的對頂角有∠AOC和∠BOD；∠AOD和∠BOC；共2對，故答案為：2；（2）∠COB的鄰補(bǔ)角是∠COA、∠BOD，故答案為：∠COA、∠BOD；（3）∵∠AOC=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°，∵∠EOD=32°，∴∠BOE=∠BOD?∠EOD=38°，故答案為：38°．【點(diǎn)睛】本題考查了對頂角的定義及性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五：交叉圖形中的角度計(jì)算18．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC:∠EOD=2:3，求∠BOE的度數(shù)．【答案】(1)35°(2)144°【分析】本題考查角平分線的定義，對頂角相等，以及鄰補(bǔ)角的定義．（1）由角平分線的定義可求出∠AOC=1（2）設(shè)∠EOC=2x，則∠EOD=3x，根據(jù)∠EOC+∠EOD=180°，可列出關(guān)于x的方程，解出x的值，即可求出∠EOC的大小，進(jìn)而可求出∠BOE的大?。驹斀狻浚?）解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=1∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）解：∵∠EOC:∠EOD=2:3，設(shè)∠EOC=2x，則∠EOD=3x，∴根據(jù)題意得2x+3x=180°，解得：x=36°，∴∠EOC=2x=72°，則∠EOA=36°，∴∠BOE=180°?36°=144°．19．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，則∠2的余角有__________．(2)若∠1=14∠BOC，求∠BOD【答案】(1)∠AOC，∠BOD(2)∠AOD=120°，∠BOD=60°．【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算，要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一要點(diǎn)．（1）由垂線的性質(zhì)求得∠AOM=∠BOM=90°，然后根據(jù)等量代換及余角的定義解答；（2）根據(jù)垂直的定義求得∠AOM=∠BOM=90°，再由∠1=14∠BOC【詳解】（1）解：∵OM⊥AB，∠1=∠2，∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠2的余角有：∠AOC，∠BOD；故答案為：∠AOC，∠BOD；（2）解：∵OM⊥AB，∴∠AOM=∠BOM=90°，∵∠1=14∠BOC∴∠1=1∴∠BOC=∠AOD=120°，∴∠BOD=180°?∠BOC=60°．20．（23-24七年級上·吉林四平·期末）如圖，射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°、射線OD是OB的反向延長線，且射線OA平分∠BOC．解答下列各題：(1)射線OC的方向是_______；(2)求∠COD的度數(shù)；(3)若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出∠COE的度數(shù)．【答案】(1)北偏東75°(2)∠COD=70°(3)∠COE=60°【分析】此題主要考查了方向角的表達(dá)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度數(shù)，即可確定OC的方向；（2）根據(jù)∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°（3）根據(jù)∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，射線OE平分∠COD，即可求出∠COE=35°再利用【詳解】（1）解：如圖：∵射線OA的方向是北偏東20°，射線OB的方向是北偏西35°∴∠AOB=20°+35°=55°，∵射線OA平分∠BOC∴AOC=∠AOB=55°∴∠NOC=20°+55°=75°，即射線OC的方向是北偏東75°；（2）解：∵∠AOB=55°，∴∠BOC=110°，∴∠COD=180°?∠BOC=180°?2∠AOB=70°；（3）解：∵射線OE的方向是東南方向，∴∠MOE=∵∠NOC=∴∠COM=∴∠COE=21．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OC、OD、OE三條射線，OD平分∠AOC，∠AOE=∠BOD．(1)若∠AOC=60°，則∠BOE的度數(shù)為___________；(2)若∠COE=3∠AOC，求∠BOE的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若過點(diǎn)O作射線OF使得∠EOF=90°，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)30°；(2)∠BOE的度數(shù)為20°；(3)∠AOF的度數(shù)為70°或110°．【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計(jì)算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據(jù)題目已知條件找到角度之間的等量關(guān)系列出等式是解題的關(guān)鍵．（1）由條件OD平分∠AOC可得∠AOD=30°，再由條件∠AOE=∠BOD可得∠AOD=∠BOE，通過等量代換即可得到∠BOE的度數(shù)；（2）由條件∠COE=3∠AOC，并結(jié)合（1）的結(jié)論∠AOD=∠BOE，可得∠COE=6∠BOE，再利用∠AOB為平角找出等量關(guān)系列出等式，即可求解∠BOE的度數(shù)；（3）分射線OF在∠COE的內(nèi)部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結(jié)合圖形先計(jì)算∠BOF的度數(shù)，再根據(jù)∠AOF與∠BOF互補(bǔ)的關(guān)系即可得解．【詳解】（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=1∵∠AOE=∠AOD+∠DOE，∴∠AOD=∠AOE?∠DOE同理，∠BOE=∠BOD?∠DOE，∵∠AOE=∠BOD，∴∠BOE=∠AOD=30°．（2）由題可知，∠BOE=∠AOD=1∴∠AOC=2∠BOE．∵∠COE=3∠AOC，∴∠COE=6∠BOE，由題可知∠AOB為平角，∴∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，即2∠BOE+6∠BOE+∠BOE=180°，∴∠BOE=20°，∴∠BOE的度數(shù)為20°．（3）當(dāng)OF在∠COE內(nèi)部時(shí)，如圖①，則∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+20°=110．∴∠AOF=180°?∠BOF=180°?110°=70°；當(dāng)OF在∠COE外部時(shí)，如圖②，則∠BOF=∠EOF?∠BOE=90°?20°=70°，∴∠AOF=180°?∠BOF=180°?70°=110°．綜上所述，∠AOF的度數(shù)為70°或110°．22．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，直線AB、CD交于點(diǎn)O，OE、OF分別在∠BOC、∠AOD內(nèi)部，且OD平分∠BOF．(1)∠AOC的對頂角是___________；(2)若∠BOF=40°，∠COE=100°，則∠BOE的度數(shù)為___________；(3)若OB平分∠EOF，∠AOC:∠AOF=1:3，求∠COE的度數(shù)；(4)若∠AOE=∠EOF，∠BOE=60°，判斷OB是否平分∠EOF，并說明理由．【答案】(1)∠BOD(2)60°(3)72°(4)OB平分∠EOF，理由見解析【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質(zhì)，幾何中角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線的定義．（1）根據(jù)對頂角的定義即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠BOD=∠FOD=12∠BOF=（3）由∠AOC:∠AOF=1:3，得到∠AOF=3∠BOD，根據(jù)角平分線的定義得出∠DOF=∠BOD，根據(jù)∠AOC+∠AOF+∠FOD=180°，求出∠BOD=36°，根據(jù)角平分線的定義得出∠BOE=∠BOF=72°，根據(jù)∠COE+∠EOB+∠BOD=180°，求出結(jié)果即可；（4）由∠BOE=60°，利用平角的定義得到∠AOE=120°，再根據(jù)∠AOE=∠EOF，求出∠EOF=120°，結(jié)合∠BOE=60°得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：∠AOC的對頂角是∠BOD；（2）解：∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=1∴∠BOE=180°?∠BOD?∠COE=180°?20°?100°=60°；（3）解：∵∠AOC與∠BOD為對頂角，∴∠AOC=∠BOD，∴∠BOD:∠AOF=∠AOC:∠AOF=1:3，即∠AOF=3∠BOD．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD，∴∠AOF+∠DOF+∠BOD=3∠BOD+∠BOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∠BOF=2∠BOD=72°．又∵OB平分∠EOF，∴∠BOE=∠BOF=72°，∴∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=180°?36°?72°=72°；（4）解：OB平分∠EOF，理由如下：∵∠BOE=60°，∴∠AOE=120°．∵∠AOE=∠EOF，∴∠EOF=120°，∴∠BOF=∠EOF?∠BOE=120°?60°=60°，∴∠BOE=∠BOF，∴OB平分∠EOF．23．（23-24七年級上·貴州黔東南·期末）已知：點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，∠BOC=110°．(1)如圖1，求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線OD，使∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM，求∠MOD的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線OP，若∠BOP與∠AOM互余，求∠COP的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)55°(3)55°或165°【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合根據(jù)射線OP的位置分類討論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角的定義計(jì)算求值即可；（2）根據(jù)余角的定義可得∠AOD，根據(jù)角平分線的定義可得∠AOM，再計(jì)算角度和即可；（3）由余角的定義可得∠BOP=55°，分射線OP在∠BOC內(nèi)部、射線OP在∠BOC外部兩種情況，分別計(jì)算角的差、和即可．【詳解】（1）解：∵∠BOC=110°∴∠AOC=180°?∠BOC=70°；（2）解：由（1）得∠AOC=70°，∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠COD?∠AOC=20°，∵OM是∠AOC的平分線，∴∠AOM=1∴∠MOD=∠AOM+∠AOD=35°+20°=55°；（3）解：由（2）得∠AOM=35°，∵∠BOP與∠AOM互余，∴∠BOP+∠AOM=90°，∴∠BOP=90°?∠AOM=90°?35°=55°，①當(dāng)射線OP在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如圖，

∠COP=∠BOC?∠BOP=110°?55°=55°；②當(dāng)射線OP在∠BOC外部時(shí)，如圖，

∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°．綜上所述，∠COP的度數(shù)為55°或165°．考點(diǎn)六：三線八角的識別24．（23-24七年級下·甘肅隴南·階段練習(xí)）如圖，BF，DE相交于點(diǎn)A，BG交BF于點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)(1)指出DE，BC被(2)指出DE，BC被(3)指出FB，BC被【答案】(1)同位角：∠FAE和∠B；內(nèi)錯(cuò)角：∠B和∠DAB；同旁內(nèi)角：∠EAB和∠B；(2)∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；(3)∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．【分析】此題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義：（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義求解即可；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角的定義求解即可．【詳解】（1）解：同位角：∠FAE和∠B；內(nèi)錯(cuò)角：∠B和∠DAB；同旁內(nèi)角：∠EAB和∠B；（2）解：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是內(nèi)錯(cuò)角；（3）解：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁內(nèi)角．25．（23-24七年級上·全國·單元測試）找出圖中與∠1是同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的所有角．【答案】∠1的同位角：∠GDF，∠GEF，∠FBC，∠FCH；∠1的內(nèi)錯(cuò)角：∠MDA，∠NED，∠ABP，∠ACQ；∠1的同旁內(nèi)角：∠ADF，∠AEF，∠ABF，∠ACD【分析】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角．同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∠1是同位角：∠GDF，∠GEF，∠FBC，∠FCH；∠1的內(nèi)錯(cuò)角：∠MDA，∠NED，∠ABP，∠ACQ；∠1的同旁內(nèi)角：∠ADF，∠DEF，∠ABF，∠ACD．26．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，指出圖中直線AC，BC被直線DE所截形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．（僅指用數(shù)字標(biāo)出的角）【答案】見解析【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，同位角：在兩條直線被第三條直線所截的同側(cè)，被截兩直線同側(cè)的兩個(gè)角稱為同位角；內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線被第三條直線所截的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間的一對角稱為內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角：在兩條直線被第三條直線所截的同旁，被截兩直線之間的兩個(gè)角稱為同旁內(nèi)角；由此即可得出答案．【詳解】解：由圖可得：同位角：∠1與∠2，∠4與∠6；內(nèi)錯(cuò)角：∠1與∠3，∠4與∠5；同旁內(nèi)角：∠3與∠4，∠1與∠5．27．（21-22七年級下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，AB，AC射線與直線EF分別相交于點(diǎn)H，

(1)圖中共有對對頂角，對內(nèi)錯(cuò)角；(2)①∠A的同旁內(nèi)角是；②∠EGC和∠EHB是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是具有什么位置關(guān)系的角？(3)過點(diǎn)G畫射線AB的垂線，交AB于點(diǎn)M，并指出哪條線段的長度表示點(diǎn)G到AB的距離．【答案】(1)4；4(2)①∠AGF，∠AHE；②∠EGC和∠EHB是直線AC，AB被直線(3)圖見解析，GM【分析】（1）根據(jù)對頂角和內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行判斷即可；（2）①根據(jù)同旁內(nèi)角的定義，進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)三線八角的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)題意畫出垂線即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為垂線段的長，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由圖可知：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8是對頂角，共4對；∠2和∠5，∠4和∠7，∠1和∠9，∠8和∠9是內(nèi)錯(cuò)角，共4對；

故答案為：4；4（2）①由圖可知：∠A的同旁內(nèi)角是∠AGF，∠AHE；故答案為：∠AGF，∠AHE；②∠EGC和∠EHB是直線AC,AB被直線EF所截形成的同位角；（3）如圖；

由圖可知：線段GM的長即為點(diǎn)G到AB的距離．【點(diǎn)睛】本題考查三線八角，對頂角，點(diǎn)到直線的距離．熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．28．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，一個(gè)方塊從某一個(gè)起始角開始，經(jīng)過若干步跳動后，到達(dá)終點(diǎn)角，跳動時(shí)，每一步只能跳到它的同位角或內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的位置上，例如：從∠1跳到終點(diǎn)位置∠6的路徑如下：路徑1：∠1→內(nèi)錯(cuò)角∠7→同旁內(nèi)角∠6；路徑2：∠1→同旁內(nèi)角∠13→內(nèi)錯(cuò)角∠10→同位角∠8→同旁內(nèi)角∠5→同旁內(nèi)角∠6．…(1)寫出任意一條從起始位置∠1→終點(diǎn)位置∠3的路徑；(2)從起始位置∠1依次按內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的順序能否到達(dá)終點(diǎn)位置∠2？并寫出路徑．【答案】(1)∠1→同旁內(nèi)角∠13→同位角∠3（答案不唯一）；(2)能，∠1→內(nèi)錯(cuò)角∠4→同位角∠7→同旁內(nèi)角∠2（答案不唯一）；【分析】本題考查內(nèi)錯(cuò)角，同位角，同旁內(nèi)角的判斷：（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角，同位角，同旁內(nèi)角直接逐個(gè)判斷即可得到答案；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角反向推導(dǎo)即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，∠1→同旁內(nèi)角∠13→同位角∠3（答案不唯一）；（2）解：能，理由如下，由題意可得，∠1→內(nèi)錯(cuò)角∠4→同位角∠7→同旁內(nèi)角∠2（答案不唯一）．QUOTE5?11．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOD=90°．下列說法不正確的是（

）

A．∠AOD=∠BOC B．∠AOC=∠AOEC．∠AOE+∠BOD=90° D．∠AOD+∠BOD=180°【答案】B【分析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的定義等，由對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的定義逐一判斷，即可求解；理解對頂角的性質(zhì)，平角的定義、互余的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.∵∠AOD與∠BOC是對頂角，∴∠AOD=∠BOC，結(jié)論正確，故不符合題意；B.由圖得∠AOC=∠AOE不一定成立，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.∵∠EOD=90°，∴∠COE=90°，∴∠AOE+∠AOC=90°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOE+∠BOD=90°，結(jié)論正確，故不符合題意；D.由圖得∠AOD+∠BOD=180°，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．2．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）2024年香洲區(qū)舉辦了第六屆風(fēng)箏節(jié)．如圖所示的風(fēng)箏骨架中，與∠3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是（

）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】本題考查的是同旁內(nèi)角的定義，關(guān)鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截．根據(jù)同旁內(nèi)角的定義解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角．【詳解】解：與∠3構(gòu)成同旁內(nèi)角的是∠1．故選：A．3．（24-25七年級上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）下面四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對頂角的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了對頂角．兩條邊互為反向延長線的兩個(gè)角叫對頂角，根據(jù)定義結(jié)合圖形逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不符合對頂角的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合對頂角的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、不符合對頂角的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．4．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)P為直線MN外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C為直線MN上三點(diǎn)，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm，則點(diǎn)PA．4cm B．2cm C．小于2cm D．不大于2cm【答案】D【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，利用了垂線段最短的性質(zhì)．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)與直線上垂足間的線段的長，再根據(jù)垂線段最短，可得答案．【詳解】解：當(dāng)PC⊥MN時(shí)，PC是點(diǎn)P到直線MN的距離，即點(diǎn)P到直線MN的距離2cm，當(dāng)PC不垂直直線MN時(shí)，點(diǎn)P到直線MN的距離小于PC的長，即點(diǎn)P到直線MN的距離小于2cm，綜上所述：點(diǎn)P到直線MN的距離不大于2cm，故選：D．5．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足，則下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)B到AC的距離是線段BC的長 B．線段CD是AB邊上的高C．線段AC是BC邊上的高 D．點(diǎn)C到AB的距離是線段AC的長【答案】D【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形的高，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，三角形的高的概念逐項(xiàng)排除即可，正確理解點(diǎn)到直線的距離，三角形的高是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、點(diǎn)B到AC的距離是線段BC的長，原選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、線段CD是AB邊上的高，原選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C、線段AC是BC邊上的高，原選項(xiàng)說法正確，不符合題意；D、點(diǎn)C到AB的距離是線段CD的長，原選項(xiàng)說法不正確，符合題意；故選：D．6．（24-25七年級上·河南鶴壁·階段練習(xí)）如圖，在所標(biāo)識的角中，下列說法不正確的是（

）A．∠1與∠5是內(nèi)錯(cuò)角 B．∠3與∠5是對頂角C．∠1與∠4是同位角 D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角，對頂角，同位角，同旁內(nèi)角的定義解答即可．【詳解】解：A.∠1與∠5是內(nèi)錯(cuò)角，本選項(xiàng)正確，不符合題意，

B.∠3與∠5是對頂角，本選項(xiàng)正確，不符合題意，C.∠1與∠4不是同位角，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，

D.∠1與∠2是同旁內(nèi)角，本選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角，對頂角，同位角，同旁內(nèi)角的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．7．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，利用工具測量角，則∠1的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】本題考查量角器的使用和對頂角的性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題的關(guān)鍵．利用對頂角相等求解，即可解題．【詳解】解：根據(jù)量角器測量的度數(shù)為30°，由對頂角相等可得∠1=30°．故選：A．8．（24-25七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，E是直線CA上一點(diǎn)，∠FEA=40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF，則∠GEB=（

）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義，掌握相關(guān)知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平角的對應(yīng)求出∠CEF=140°，射線EB平分∠CEF，得出∠CEB=∠BEF=12∠CEF=70°，再根據(jù)GE⊥EF【詳解】∵∠FEA=40°，∴∠CEF=180°?∠FEA=140°，∵射線EB平分∠CEF，∴∠CEB=∠BEF=1∵GE⊥EF，∴∠GEB=∠GEF?∠BEF=90°?70°=20°．故選：B．9．（24-25七年級上·云南文山·期中）下列各圖中，∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的判斷，熟記內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題的關(guān)鍵．兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義可知，內(nèi)錯(cuò)角是成“Z”字形的兩個(gè)角，據(jù)此逐項(xiàng)分析可得答案．【詳解】解：A.、∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，符合題意；B、∠1與∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；C、∠1與∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；D、∠1與∠2不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；故選：A．10．（24-25七年級上·河北衡水·期中）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠AOD=22.5°，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，則∠EOC的補(bǔ)角是（

）A．∠AOC B．∠AOE或∠DOBC．∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOE D．以上都不對【答案】B【分析】本題主要考查角平分線的定義、補(bǔ)角的定義及鄰補(bǔ)角，熟練掌握角平分線的定義、補(bǔ)角的定義及鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵；由題意易得∠BOE=∠COE=12∠BOC=22.5°=∠AOD【詳解】解：∵∠AOD=22.5°，∠BOC=45°，OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE=12∠BOC=22.5°=∠AOD∵∠AOD+∠BOD=180°=∠BOE+∠AOE，∴∠EOC+∠BOD=180°=∠EOC+∠AOE，∵∠DOE=180°?∠AOD?∠BOE=135°，∴∠AOC+∠DOE=270°，綜上所述：∠EOC的補(bǔ)角為∠AOE或∠DOB．故選B．11．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為【答案】18°或162°【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運(yùn)算．結(jié)合圖形是做這類題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直關(guān)系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根據(jù)∠AOB與【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時(shí)，∠BOC=90°?72°=18°；②當(dāng)在∠AOC外時(shí)，∠BOC=90°+72°=162°．故答案為：18°或162°．12．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，若∠1=30°,∠2=110°，則∠3的同位角的大小是，∠3的內(nèi)錯(cuò)角的大小是，∠3的同旁內(nèi)角的大小是．【答案】70°70°110°【分析】本題主要考查內(nèi)錯(cuò)角、同位角以及同旁內(nèi)角，觀察圖形易得∠3的同位角、內(nèi)錯(cuò)角都為∠2的鄰補(bǔ)角，接下來結(jié)合∠2的度數(shù)計(jì)算即可；同樣由圖可得∠3的同旁內(nèi)角為∠2的對頂角，∠1與∠3為對頂角，據(jù)此解答．【詳解】解：由圖可得∠3的同位角、內(nèi)錯(cuò)角都為∠2的鄰補(bǔ)角，又∠2=110°，則其同位角大小為180°?110°=70°；∠3的內(nèi)錯(cuò)角大小為180°?110°=70°；∠3的同旁內(nèi)角為∠2的對頂角，則大小為110°；故答案為：70°；70°；110°．13．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC,∠BOE=90°，請寫出下列正確結(jié)論的序號．①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．【答案】①②③【分析】本題主要考查角平分線，根據(jù)角平分線的、鄰補(bǔ)角和直角的意義求解可得．【詳解】解：因?yàn)椤螦OC=50°，所以∠BOC=180°?∠AOC=130°，故①正確；因?yàn)镺D平分∠AOC，所以∠AOD=1因?yàn)椤螧OD=180°?∠AOD=155°，故③正確；因?yàn)椤螧OE=90°,∠AOC=50°，所以∠COE=180°?∠AOC?∠BOE=40°，故④錯(cuò)誤。故答案為：①②③14．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=∠EOC，將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α0°<α<360°到OF，若∠AOF=120°時(shí)，α的度數(shù)是°【答案】82.5或202.5【分析】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，角的和差運(yùn)算，分兩種情況討論：當(dāng)OF在∠BOC之間時(shí)，當(dāng)OF在∠BOD之間時(shí)，先求解∠AOC=∠BOD=75°，∠AOE=∠EOC=37.5°，再分別進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：①當(dāng)OF在∠BOC之間時(shí)，如圖．∵直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°．∵∠AOE=∠EOC，∴∠EOC=37.5°．∵∠AOF=120°，∴∠COF=∠AOF?∠AOC=45°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=82.5°，即α=82.5；②當(dāng)OF在∠BOD之間時(shí)，如圖．∵直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠BOD=75°，∴∠AOC=∠BOD=75°．∵∠AOE=∠EOC，∴∠AOE=37.5°．∵∠AOF=120°，∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=157.5°，∴α=360°?∠EOF=202.5°．故答案為：82.5或202.515．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）古城黃岡旅游資源十分豐富，“桃林春色，柏子秋蔭”便是其八景之一．為了實(shí)地測量“柏子塔”外墻底部的底角（圖中∠ABC)的大小，張揚(yáng)同學(xué)設(shè)計(jì)了兩種測量方案：方案1：作AB的延長線，量出∠CBD的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)；方案2：作AB的延長線，CB的延長線，量出∠DBE的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)．同學(xué)們，你能解釋他這樣做的道理嗎？【答案】方案1利用了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)；方案2利用了對頂角的性質(zhì)【分析】本題主要考查對頂角和鄰補(bǔ)角，牢記對頂角的定義和性質(zhì)（對頂角相等），鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)對頂角相等求出結(jié)果即可．【詳解】解：方案1：∵∠CBD與∠ABC為鄰補(bǔ)角，∴根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得：∠CBD+∠ABC=180°，∴量出∠CBD的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)；方案2：∵∠DBE與∠ABC為對頂角，∴根據(jù)對頂角相等可得：∠ABC=∠DBE，∴量出∠DBE的度數(shù)，便知∠ABC的度數(shù)．16．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD被直線EF所截，如果∠1與∠2互補(bǔ)，且∠1=120°，那么∠3，∠4的度數(shù)各是多少?【答案】∠3=60°，∠4=60°【分析】本題考查角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)角的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，平角的性質(zhì)；根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，求出∠2，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，根據(jù)平角的性質(zhì)，求出∠4，即可．【詳解】解：∵∠1與∠2互補(bǔ)，且∠1=120°，∴∠1+∠2=120°+∠2=180°，∴∠2=60°，∵∠2和∠3是對頂角，∴∠2=∠3=60°，∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴120°+∠4=180°，∴∠4=60°．17．（21-22七年級上·浙江麗水·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數(shù)．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．【答案】(1)50°(2)證明見解析【分析】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，熟練掌握垂線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠DOE=90°，由∠DOB+∠EOB=90°，可得∠DOB=∠EOB+10°，即可算出∠EOB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)∠COF=90°?∠EOF代入計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠EOF=∠BOE，由垂線的性質(zhì)可得∠DOB+∠EOB=∠EOF+∠COF=90°，即可得出∠BOD=∠COF,∠BOD=∠AOC,∠AOC=∠COF，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵OE⊥CD，∴∠DOE=∠COE=90°，即∠DOB+∠EOB=90°，∵∠DOB=∠EOB+10°，∴∠EOB=40°，∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE=40°，∴∠COF=90°?∠EOF=50°；（2）解：∵OE平分∠BOF，∴∠EOF=∠BOE，∵OE⊥CD，∴∠DOB+∠E