2024-2025學(xué)年上海市西中學(xué)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷及答案（2024.11）（含答案）

參考答案一、填空題

1.已知集合,則_________.

【答案】

【解析】,則

2.如圖所示,弧長(zhǎng)為,半徑為1的扇形(及其內(nèi)部)繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的幾何體的表面積為__________.

【答案】

【解析】如圖，弧長(zhǎng)為，半徑為1的扇形，則扇形的圓心角為，則該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是半徑為1的半球體,該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積:.故答案為:.

3.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)__________.

【答案】2

【解析】因?yàn)?，是純虛?shù)，所以.故答案為:2.

4.已知平面向量,則在方向上的投影坐標(biāo)為_____.

【答案】

5.設(shè)，則方程的解集為__________.

【答案】

6.某校的"希望工程"募捐小組在假期中進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)。他們第一天得到15元，從第二天起，每一天收到的捐款數(shù)都比前一天多10元。要募捐到不少于1100元，這次募捐活動(dòng)至少需要天__________（結(jié)果取整）

【答案】14

【解析】由題意可知，捐款數(shù)構(gòu)成一個(gè)以15為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列，設(shè)要募捐到不少于1100元，這次募捐活動(dòng)至少需要天，

則,整理得:,又為正整數(shù)，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，，的最小值為14,即這次募捐活動(dòng)至少需要14天。故答案為:14.

7.已知集合.若""是""的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.

【答案】

【解析】解不等式即解,

因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以即，解得或，

所以或,解不等式即解，

因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，解得，

所以.

因?yàn)?"是""的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，

所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.

8.奇函數(shù)滿足對(duì)任意都有，且，則_________.

【答案】-e

【解析】因?yàn)?所以,

又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，

即，則有，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以,

因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以?/p>

在中，令，則有，所以，

在中,令,則有,所以,

所以,故答案為：-e.

9.直角三角形中,,點(diǎn)是三角形外接圓上任意一點(diǎn),則的最大值為__________.

【答案】12

【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，

三角形外接圓,設(shè),則,，故答案為:12.

10.已知,若命題:"存在,使得"為假命題,則的最小值為____________.

【答案】8

【解析】因?yàn)槊}："存在，使得"為假命題，則"任意,都有"為真命題,

對(duì)于,所以,

要使"任意,都有"為真命題,則,即,

因?yàn)?所以,

當(dāng)且僅當(dāng),即,上式取等.所以的最小值為8。故答案為：8。

11.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)以每秒的角速度從點(diǎn)出發(fā),沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到，再以每秒的角速度從點(diǎn)沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，則上述過程中動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為_______.

【答案】

【解析】當(dāng)在大圓上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，

由任意角的三角函數(shù)的定義，可得的縱坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)在小圓下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),,

可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為.動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為.故答案為:.

12.已知定義在R上的函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.

【答案】

【解析】由,得,

記，則有，即為偶函數(shù)，

又當(dāng)時(shí),恒成立,即在上單調(diào)遞增,

由,得,

于是即，

因此,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故答案為:

二、選擇題

13.已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，下列命題中的真命題是（）

A.若，則B.若,則

C.若,則D.若，則

【答案】D

【解析】對(duì)于D選項(xiàng)，由平行的傳遞性可知D選項(xiàng)成立；

對(duì)于B選項(xiàng)，直線不一定相交，根據(jù)面面平行的判定定理，面面平行不一定成立，錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，與也有可能相交，錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線不一定在平面外，也可能在面內(nèi)，故不成立，錯(cuò)。故選:D.

14.已知四條雙曲線,,

關(guān)于下列三個(gè)結(jié)論的正確選項(xiàng)為（）

(1)的開口最為開闊；(2)的開口比的更為開闊；(3)和的開口的開闊程度相同.

A.只有一個(gè)正確B.只有兩個(gè)正確C.均正確D.均不正確

【答案】

【解析】以雙曲線的漸近線的夾角來衡量雙曲線的開口大小，用來表示四條雙曲線的開口大小，容易得出，，(1)，(2)，(3)判斷都錯(cuò)誤，所以選D.

15.已知與都是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),，若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】若恰有4個(gè)零點(diǎn)，即和有4個(gè)交點(diǎn),畫出函數(shù)的圖象，如圖，

結(jié)合圖象得:,解得：，故選:C.

16.如圖,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),分別是在第二、四象限的交點(diǎn)，若,則與的離心率之積的最小值為（）

A.B.C.D.

【答案】

【解析】設(shè)橢圓方程為,雙曲線方程為,

如下圖，連接，所以為平行四邊形，

由得,設(shè),在橢圓中，由定義可知：，由余弦定理可知：在雙曲線中，由定義可知中：：，

由余弦定理可知:,,

,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以,所以與的離心率之積的最小值為.

故答案為：

三、解析題

17.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求的值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由題意,所以,當(dāng)時(shí),,兩式作差得,

所以,則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,且,所以;

（2）由于,

所以，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，。

18.如圖所示,等腰梯形是由正方形和兩個(gè)全等的Rt和Rt組成，.現(xiàn)將Rt沿所在的直線折起,點(diǎn)移至點(diǎn),使二面角的大小為.

(1)求四棱錐的體積;

（2）求異面直線與所成角的大小.

【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知，有，所以.連接,由,有①；,有平面,所以,②；

由①②知,平面,所以就是四棱錐的高,在中,.故四棱錐的體積為：

(2)取的中點(diǎn),連接,則，故既是與所成角或其補(bǔ)角.

在中，，則.故異面直線與所成角的大小為.

19.某商場(chǎng)零食區(qū)改造,如圖,原零食區(qū)是區(qū)域,改造時(shí)可利用部分為扇形區(qū)域,已知米,米,區(qū)域?yàn)槿切?區(qū)域是以為半徑的扇形，且。

(1)若需在區(qū)域外輪廓地面貼廣告帶,求廣告帶的總長(zhǎng)度;

(2)在區(qū)域中,設(shè)置矩形區(qū)域作為促銷展示區(qū),若設(shè),求當(dāng)取何值時(shí),促銷展示區(qū)的面積s取到最大值，并求出s的最大值。

【答案】(1)米(2)時(shí),平方米

【解析】(1)因?yàn)?

所以,則,

所以弧長(zhǎng),

所以廣告帶的總長(zhǎng)度為米;

(2)如圖,連接,因?yàn)?所以,

因?yàn)?所以,所以,

所以,因?yàn)?當(dāng),即時(shí)取得最大值,所以,

所以S的最大值為平方米。

20.在雙曲線中,分別為雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn),為雙曲線上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn),的重心為，內(nèi)心為。

(1)求內(nèi)心的橫坐標(biāo);

(2)已知為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線1過右焦點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率、滿足,求直線的方程;

(3)若,求點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）2（2）（3）【解析】(1)依題意,雙曲線的焦點(diǎn),作出的內(nèi)切圓,為圓心,切點(diǎn)分別為,,如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,顯然軸,，

由雙曲線定義知，解得,所以內(nèi)心的橫坐標(biāo)為2；

(2)點(diǎn),顯然直線不垂直于軸,否則由雙曲線對(duì)稱性得,

設(shè)直線的斜率為，則直線，

由，消去得：，

顯然，設(shè)，

則,

解得，即直線，所以直線1的方程為;

(3)設(shè)點(diǎn),則的重心,

因，則，而，

,

又，聯(lián)立解得，

從而有,解得,即點(diǎn),所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

21.已知函數(shù).

(1)求曲線在處的切線方程;

(2)求的單調(diào)區(qū)間;

(3)若方程有解，求的取值范圍。

【答案】（1）（2)(3)【解析】(1)由題,所以,

所以,又,所以曲線在處的切線方程為:,即；

（2）令得，所以，令得，