重難點07 三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）（6題型）

重難點07三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）目錄TOC\o"1-2"\h\u重難點題型突破 1題型01A字模型 1題型028字模型 3題型03飛鏢模型 8題型04老鷹抓小雞模型 12題型05雙角平分線模型 16題型06三角形折疊模型 20

重難點題型突破題型01A字模型【模型介紹】圖形像“A”字，故曰“A”字模型.已知圖示結論（性質）已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E∠1+∠2=∠A+180°1．（2023·陜西西安·西安高級中學?？寄M預測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°2．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數為（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結論②：變成五邊形后內角和增加了360°；結論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=_____________度．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．題型028字模型【模型介紹】圖形像“8”字，故曰“8”字模型.已知圖示結論（性質）已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∠P=127．（2023下·北京海淀·七年級北京市十一學校?？计谥校┤鐖D，AD、BC相交于點O，連接AB、CD．下列結論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P，若∠C=28°，∠D=22°，則∠P的度數為（）

A．22° B．25° C．28° D．30°9．（2023·河北邢臺·邢臺三中?？家荒＃┤鐖D，AD與BC交于點O，甲、乙兩人要證明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得證．乙：作一圓通過A，B，C，D四點，∵∠A與∠C對同弧BD，∠B與∠D對同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．對于甲、乙兩人的做法，以下結論正確的是（

）A．甲、乙兩人的做法都是正確的 B．甲的做法正確，乙的做法錯誤C．乙的做法正確，甲的做法錯誤 D．甲、乙兩人的做法都是錯誤的10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）我們將內角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內角∠AOB與△COD的內角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據三角形內角和定理知“對頂三角形”有如下性質：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△OOD中，∠AOB=70°，則∠C十∠D=_°．(2)如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數．11．（2020·全國·九年級專題練習）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數．解：連接CD，由對頂三角形的性質得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．12．（2020·全國·九年級專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．13．（2020·全國·九年級專題練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數．14．（2021下·江蘇蘇州·七年級蘇州市第十六中學?？茧A段練習）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度數．（3）如圖③，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，則∠P=________用α、β的代數式表示）15．（2019下·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯考期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：____________；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：____個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．題型03飛鏢模型【模型介紹】圖形像“飛鏢”，故曰飛鏢模型.已知圖示結論（性質）已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC∠O=1216．（2013·湖北鄂州·中考真題）一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點F是△ABC的內心，連接BF，CF，若∠BFC=112°，則∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°18．（2023上·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數為100°，可保持∠A不變，將∠BCD______（填“增大”或“減小”）________°．19．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數據（如圖），淇淇說，這四個數據中有一個是標錯的；嘉嘉經過認真思考后，進行如下修改：若∠A∠BCD保持不變，則將圖中∠D_____________（填“增大”或“減小”）_____________度，淇淇說，“改得不錯”．20．（2021·全國·九年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°21．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．22．（2019·全國·九年級專題練習）如圖，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，請用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1（O1、O223．（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、?24．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數量關系為__________．題型04老鷹抓小雞模型圖示結論（性質）∠A+∠O=∠1+∠2口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和∠A+∠O=∠2-∠125．（2019上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學校考階段練習）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°26．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°27．（2020下·江蘇常州·七年級校聯考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°28．（2022下·河南南陽·七年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°29．（2023下·河南鄭州·八年級?？奸_學考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數量關系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_________．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數為___________30．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數量關系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數．31．（2019下·江蘇宿遷·七年級校聯考期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在四邊形ABDE內點C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=500②若∠C=420，則∠1+∠2=_③探索∠C、∠1與∠2之間的數量關系，并說明理由；（2）直接按照所得結論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點A、B分別落在△ABC內點A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=___________；③若將n邊形A1A2A3（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在△ABC邊AC上方點C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數量關系，并說明理由.題型05雙角平分線模型已知圖示結論（性質）已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠32．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC的度數是______．33．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點D是AB延長線上一點．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．【初步應用】如圖③，點D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n34．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點E，則∠AEC=___________．35．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，B36．（2021·全國·九年級專題練習）（1）如圖所示，在△ABC中，BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，證明：∠BOC=90°+1（2）如圖所示，△ABC的外角平分線BD和CD相交于點D，證明：∠BDC=90°?1（3）如圖所示，△ABC的內角平分線BD和外角平分線CD相交于點D，證明：∠D=137．（2020·全國·九年級專題練習）（1）如圖（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.①當∠A=60°時，求②猜想∠A與∠D有什么數量關系？并證明你的結論.（2）如圖（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請你直接寫出正確的結論（不用寫出證明過程）.

題型06三角形折疊模型已知圖示結論（性質）將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在線段AC上時∠2=2∠C將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內部時2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠238．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠A=20°，D為AB的中點，E為AC邊上一點，將△ADE沿著DE翻折，得到△A'DE，連接A'B．當A'B=39．（2023·江西·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點P是邊AB上一點，點D是邊AC上一點，將△ABC沿PD折疊，使點A落在邊BC上的A'處，若A'P∥AC，則40．（2023上·江蘇·八年級專題練習）如圖，有一個三角形紙片ABC，∠A=65°，∠B=75°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC外．若∠2=20°，則∠1的大小為__________．

41．（2020上·湖南常德·九年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分別在AB、AC上，將ΔADE沿DE折疊，使點A落在點A'處，若A'為CE的中點，則折痕DE的長為_____．42．（2020·山西·校聯考二模）綜合與實踐：直角三角形折疊中的數學。數學活動：在綜合實踐活動課上，老師讓同學們以“直角三角形紙片的折疊”為主題展開數學活動，探究折痕長度的有關問題．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．（1）①如圖1，勤學組將點A沿DE折疊，使得點A與點B重合，折痕交AB于點D,交AC于點E,則DE的長為_______．②如圖2，樂學組將點A沿BE折疊，使得點A的對應點A'落在AC邊上，折痕交AC于點E,則BE的長為________（2）①如圖3，博學組將點C沿EF折疊，使得點C與點A重合，折痕交AC于點E,交BC于點F,求線段EF的長度；②如圖4，善思組在博學組的基礎上，將點B沿FC折疊，使得點B的對應點B'落在AF上，則GF的長度為____________．（3）①如圖5，奮進組將點A沿BE折疊，使得點A的對應點A'落在BC邊上，求BE的長度；②如圖6，創(chuàng)新組在奮進組的基礎上，將點C沿A'F折疊，使得點C的對應點C'落在AC上，折痕交AC于點F,再把△A'FC'展開，將點C沿FG折疊，使得點C的對應點C″落在FA'的延長線上，折痕交A'C于點G,得到如圖7所示的圖形，請直接寫出FG的長．____________ 43．（2021上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數為（）A．50° B．118° C．100° D．90°

重難點突破07三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）重難點題型突破題型01A字模型1．（2023·陜西西安·西安高級中學校考模擬預測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】A【分析】根據三角形外角的性質可得∠3=∠1?∠4，根據平行線的性質可得∠2=∠3．【詳解】解：如圖，由題意知∠4=90°，AB∥∵∠1=∠4+∠3，∠1=125°，∴∠3=∠1?∠4=125°?90°=35°，∵AB∥∴∠2=∠3=35°．故選A．【點睛】本題考查平行線的性質、三角形外角的定義和性質，解題的關鍵是掌握：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；兩直線平行，同位角相等．2．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數為（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根據三角形的內角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根據平角的定義可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，從而求出結論．【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故選A．【點睛】此題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形的內角和定理是解題關鍵．3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結論②：變成五邊形后內角和增加了360°；結論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對 C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對【答案】B【分析】根據多邊形的外角和是360°，判斷①，根據多邊形內角和公式即可判斷②，根據三角形的外角的性質即可求解．【詳解】解：①任意多邊形的外角和是360°，故①正確；根據多邊形內角和定理5?2×180°?四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形內角和增加了180°，故②錯誤，如圖所示，

∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正確，故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與外角和，三角形的外角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉數學”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=_____________度．【答案】240【分析】由等邊三角形的性質可得∠A=60°，再根據三角形外角的性質和內角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案為：240．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形外角的定義和性質，三角形內角和定理等，解題的關鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

【答案】230【分析】根據三角形的內外角之間的關系可求解.【詳解】解：三角形的內角和等于180°，∠D＝∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠DEF.∵∠DEF+∠DFE+∠D=180°，∴∠1+∠2=∠DEF+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.故答案為：230.

【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，解題的關鍵是明確三角形的內外角之間的關系和三角形的內角和等于180°的知識點.6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】見解析【分析】根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．題型028字模型7．（2023下·北京海淀·七年級北京市十一學校?？计谥校┤鐖D，AD、BC相交于點O，連接AB、CD．下列結論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C【答案】C【分析】根據三角形外角的性質進行求解即可．【詳解】解：由三角形外角的性質可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，∴∠AOC>∠D，∴四個選項中只有C選項結論正確，故選C．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，熟知三角形一個外角的度數等于與其不相鄰的兩個內角的度數之和是解題的關鍵．8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P，若∠C=28°，∠D=22°，則∠P的度數為（）

A．22° B．25° C．28° D．30°【答案】B【分析】設∠CAD=a，∠CBD=b，根據角平分線的定義可知，∠DAP=∠PAC=12∠CAD=12a，∠DBP=∠PBC=1【詳解】解：如圖，設∠CAD=a，∠CBD=b，∵AP平分∠CAD，BP平分∠CBD，∴∠DAP=∠PAC=12∠CAD=∵∠BFA=∠FAP+∠P，∠BFA=∠CBP+∠C，∴∠FAP+∠P=∠CBP+∠C，∴12a+∠P=1又∵∠AEB=∠DAP+∠D，∠AEB=∠DBP+∠P，∴∠DAP+∠D=∠DBP+∠P，∴12a+22°=1∴28°?∠P=∠P?22°，即2∠P=50°,∴∠P=25°，故選：B．

【點睛】本題考查角平分線的定義、三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．9．（2023·河北邢臺·邢臺三中?？家荒＃┤鐖D，AD與BC交于點O，甲、乙兩人要證明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得證．乙：作一圓通過A，B，C，D四點，∵∠A與∠C對同弧BD，∠B與∠D對同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．對于甲、乙兩人的做法，以下結論正確的是（

）A．甲、乙兩人的做法都是正確的 B．甲的做法正確，乙的做法錯誤C．乙的做法正確，甲的做法錯誤 D．甲、乙兩人的做法都是錯誤的【答案】B【分析】根據三角形外角性質可判斷甲的做法正確，由于不能確定點A、B、C、D在同一個圓上，于是可判斷乙的做法不正確．【詳解】解：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，即∠A+∠B=∠D+∠C，所以甲的做法正確；∵點A、B、C、D不一定在同一個圓上，∴乙的做法不正確．故選：B【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，圓周角定理以及確定圓的條件，解題的關鍵是確定A、B、C、D四個點不一定在同一個圓上．10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）我們將內角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內角∠AOB與△COD的內角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據三角形內角和定理知“對頂三角形”有如下性質：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△OOD中，∠AOB=70°，則∠C十∠D=_°．(2)如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數．【答案】(1)110(2)27°【分析】（1）由對頂三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根據三角形內角和定理即可得到答案；（2）根據角平分線的性質可得∠1=∠2，∠3=∠4，根據三角形內角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°?∠C=180°?60°=120°，進而得到∠1+∠3=60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由題意知∠ADE比∠BED大6°，聯立方程組即可解得答案．【詳解】（1）解：由對頂三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B=180°?∠AOB=180°?70°=110°，∴∠C+∠D=110°；（2）∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=180°?∠C=180°?60°=120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，∴2∠1+2∠3=120°，∴∠1+∠3=60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形，∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE?∠BED=6°②，聯立①②得∠ADE+∠BED=60°∠ADE?∠BED=6°解得：∠ADE=33°∠BED=27°∴∠BED=27°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，利用對頂三角形的性質解答是解此題的關鍵．11．（2020·全國·九年級專題練習）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數．解：連接CD，由對頂三角形的性質得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內角和定理得出結論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內角和定理得出結論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據五邊形的內角和定理得出結論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內角和定理得出結論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內角和＋△ABH的內角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內角和＋△AND的內角和＋△NDE的內角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，根據題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質及多邊形的內角和定理解答是解答此題的關鍵．12．（2020·全國·九年級專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．【答案】360°【分析】根據三角形內角和外角的性質可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據三角形內角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【點睛】此題主要考查了三角形內角與外角的性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．13．（2020·全國·九年級專題練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據三角形的內角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉化為求四邊形ADEF的內角和，（2）與（1）方法相同轉化為求六邊形ABCDEF的內角和，（3）使用上述方法，轉化為求五邊形ABCDE的內角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內角和，四邊形的內角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數等于六邊形ABCDEF的內角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數等于五邊形ABCDE的內角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點睛】本題考查三角形的內角和、多邊形的內角和的計算方法，適當的轉化是解決問題的關鍵．14．（2021下·江蘇蘇州·七年級蘇州市第十六中學?？茧A段練習）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度數．（3）如圖③，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，則∠P=________用α、β的代數式表示）【答案】（1）證明見解析；（2）∠P=26°；（3）∠P=1【分析】（1）根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得證；（2）設∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中結論，構建方程組即可解決問題；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據（1）的結論列出等式并整理即可得解．【詳解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，設∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，∴∠P=1（3）如圖，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∵∠ABC=α,∠ADC=β，∴∠P=1【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，準確識圖并運用好“8字形”的結論，然后列出兩個等式是解題的關鍵，用阿拉伯數字加弧線表示角更形象直觀．15．（2019下·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯考期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：__；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：__個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數；（4）同（3），根據“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點睛】此題也是屬于規(guī)律的題型，但也涉及到已經學過的知識，讀懂題目是關鍵，融合已學知識，進行運用.題型03飛鏢模型16．（2013·湖北鄂州·中考真題）一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°【答案】A【分析】先根據直角三角形兩銳角互余求出∠1，再由鄰補角的定義求得∠2的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可求得∠α的度數．【詳解】∵圖中是一副三角板，∴∠1=45°，∴∠2=180°-∠1=180°-45°=135°，∴∠α=∠2+30°=135°+30°=165°．故選A．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題的關鍵．17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點F是△ABC的內心，連接BF，CF，若∠BFC=112°，則∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】根據三角形內心的定義得到BF、CF分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，再利用三角形的內角和定理即可得到∠A的度數．【詳解】解：∵點F是△ABC的內心，∴BF、CF分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠FBC=12∠ABC∵∠BFC=112°，∴∠FBC+∠FCB=180°?∠BFC=180°?112°=68°，∴12∴∠ABC+∠ACB=136°，∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB故選：A．【點睛】本題考查了三角形內心的定義，角平分線的定義，三角形的內角定理，掌握三角形內心的定義是解題的關鍵．18．（2023上·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數為100°，可保持∠A不變，將∠BCD______（填“增大”或“減小”）________°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性質先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性質求解即可．【詳解】解：如圖，連接AE并延長，連接AC并延長，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案為：增大，10．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義等知識，熟練運用題目中所給的結論是解題的關鍵．19．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數據（如圖），淇淇說，這四個數據中有一個是標錯的；嘉嘉經過認真思考后，進行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D【答案】增大5【分析】連接BD，利用三角形的內角和計算即可．【詳解】解：連接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°?∠A?∠ABC?∠ADC∠CDB+∠CBD=180°?∠BCD∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD∵∠A=90°∴∠ADC=145°?25°?90°=30°∴30°?25°=5°故答案為：增大，5【點睛】本題主要考查三角形的內角和，添加輔助線利用三角形內角和計算是解決本題的關鍵．20．（2021·全國·九年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據三角形內角和定理求出∠BOC,再利用鄰補角的性質求出∠DEO，再根據四邊形的內角和求出∠DFO，根據鄰補角的性質即可求出∠DFC的度數．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°?∠B?∠OAB,同理得∠AOC=180°?∠OAC?∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°?∠AOB?∠AOC=360°?(180°?∠B?∠OAB)?(180°?∠OAC?∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°?∠BED=108°,∴∠DFO=360°?∠D?∠DEO?∠EOF=360°?35°?108°?107°=110°,∴∠DFC=180°?∠DFO=180°?110°=70°,故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：180°(n?2)．21．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．【答案】230°【分析】根據三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．22．（2019·全國·九年級專題練習）如圖，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，請用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1（O1、O2【答案】(1)∠BO1C=120°+(2)∠BO1【分析】（1）根據三角形的內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，再由∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，可得∠O（2）根據三角形的內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，再由∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1【詳解】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O∴∠O1∴∠BO∠BO（2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O∴∠O1∴∠BO∠BO【點睛】本題主要考查了有關角平分線三角形的內角和問題，熟練掌握三角形的內角和定理，并利用類比思想解答是解題的關鍵．23．（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、?【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C，見解析(2)①40°；②90°；③70°【分析】（1）首先連接AD并延長，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE=50°,∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據∠DCE=12∠ADB+∠AEB+∠DAE，即可求出∠DCE的度數；③設∠ABG1=x°，∠ACG1=y°，結合已知可得【詳解】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：如圖，連接AD并延長．根據外角的性質，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C，故答案為：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=50°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°?50°=40°；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE?∠DAE=130°?50°=80°，∴12∴∠DCE=1③設∠ABG1=x°則∠ABD=10x°，∠ACD=10y°，則∠A+x°+y°=77°，∠A+10x°+10y°=140°，解得x+y=7°，所以∠A=77°?7°=70°，即∠A的度數為70°．【點睛】此題還考查了三角形的外角的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．24．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數量關系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根據兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯立可得結論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質．題型04老鷹抓小雞模型25．（2019上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學校考階段練習）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數，進而利用三角形內角和可求∠B的度數.【詳解】由折疊的性質可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=∴∠B=180°?(∠BED+∠BDE)=180°?140°=40°故選C【點睛】本題主要考查折疊的性質及三角形內角和定理，掌握折疊的性質及三角形內角和定理是解題的關鍵.26．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°【答案】B【分析】由三角形的內角和，得∠AEF+∠AFE=120°，由鄰補角的性質得∠FEB+∠EFC=240°，根據折疊的性質得∠B'EF+∠C'FE=240°，即∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，所以，∠2=24°．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°?∠A=180°?60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°?120°=240°，由折疊的性質可得：∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，∵∠1=96°，∴96°+120°+∠2=240°，即∠2=240°?120°?96°=24°．故選B．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、鄰補角的性質、折疊的性質，熟悉掌握三角形的內角和為180°，互為鄰補角的兩個角之和為180°以及折疊的性質是本題的解題關鍵．27．（2020下·江蘇常州·七年級校聯考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°【答案】C【分析】根據平角定義和折疊的性質，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)，再利用三角形的內角和定理進行轉換，得∠3+∠4=∠B+∠C=140°從而解題．【詳解】解：根據平角的定義和折疊的性質，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)．又∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠C=60°+80°=140°，∴∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)=360°?2×140°=80°，故選：C【點睛】此題綜合運用了平角的定義、折疊的性質和三角形的內角和定理．28．（2022下·河南南陽·七年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根據四邊形內角和定理得到∠C+∠D=205°，進而由折疊的性質得到∠FC'D【詳解】解：∵四邊形ABCD中，∠A=80°，∴∠C+∠D=360°?∠A?∠B=205°，由折疊的性質可得∠FC∴∠FC∵∠FC∴∠FC∴∠BC∵∠B+∠BC∴∠B+∠BC∴155°+155°+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=50°，故選B．【點睛】本題主要考查了四邊形內角和定理，三角形內角和定理，折疊的性質，正確求出∠BC29．（2023下·河南鄭州·八年級校考開學考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數量關系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝________．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數為______【答案】(1)240°(2)125°(3)26°【分析】（1）根據三角形內角和定理得出∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，再由平角進行求解即可；（2）連接AA'，根據三角形外角的性質得出（3）設AB與DA'交于點F，根據三角形外角性質得出∠1=【詳解】（1）解：∵∠A=60°∴∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=240°，故答案為：240°．（2）解：連接AA

∵∠1=∴∠1+∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=∴∠EAD=55°，∴∠B+∠C=180°?55°=125°．（3）解：如圖，設AB與DA'交于點

，∵∠1=由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∴80°=∴∠A故答案為：26°【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理及三角形外角的性質，平角的定義等，理解題意作出相應輔助線求解是解題的關鍵．30．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數量關系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據三角形內角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進行求解即可；（2）利用翻折的性質得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據三角形內角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結合圖形，由平角及各角之間的關系進行計算即可‘（3）連接AA'．根據三角形外角的性質得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數量關系得出（4）設AB與DA'交于點F，根據三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°?40°=140°．（4）解：如圖，設AB與DA'交于點∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點睛】題目主要考查三角形內角和定理及三角形外角的性質，平角的定義等，理解題意，作出相應輔助線求解是解題關鍵．31．（2019下·江蘇宿遷·七年級校聯考期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在四邊形ABDE內點C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，則∠1+∠2=③探索∠C、∠1與∠2之間的數量關系，并說明理由；（2）直接按照所得結論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點A、B分別落在△ABC內點A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=_；③若將n邊形A1A2A（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在△ABC邊AC上方點C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數量關系，并說明理由.【答案】（1）①35°；②84°；③2∠C=∠1+∠2；（2）①360°；②720°；【分析】（1）①由鄰補角的定義可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根據折疊的性質可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根據三角形內角和定理求解即可；②由三角形內角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折疊的性質可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根據鄰補角的定義可求出∠1+∠2=84°；③由鄰補角定義可知∠1+∠CEC'=180°，從而∠2+∠CDC'=180°，所以，∠1+∠CEC′+（2）①由（1）得∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，從而∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠

②由①可知，∠1+∠2+?+∠8=2(∠A+∠B+∠C+∠D)，結合四邊形內角和求解即可;

③由①可知，∠1+∠2+?+∠2n=2×180°×n?2（3）由外角的性質可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得2∠C=【詳解】解：（1）①∵∠1=20∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C=180°-80°-65°=35°；

②∵∠C=42∴∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴∠1+∠2=360°-276°=84°；

③2∠C=∠1因為∠1+∠CEC'=180所以∠1+∠CEC'因為在四邊形CEC'D中，∠C+所以∠1+∠2因為∠C=所以2∠C=∠1（2）①由①得∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠B+∠C)=360°;

②∵∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，∠7+∠8=∴∠1+∠2+?+∠8=2(∠A+∠B+∠C+∠D)=2×360°=720°;

③∵n邊形內角和是180°×(n?2)，∴∠1+∠2+?+∠2n=2×180°×n?2=360°×(n?2)（3）2∠C=∵∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C'=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C+∠C=∠1+2∠C，∴2∠C=【點睛】本題考查了折疊性質，三角形內角和定理，多邊形的內角和定理，三角形外角的性質及圖形類的規(guī)律與探究.熟練掌握折疊的性質和三角形內角和定理是解（1）的關鍵，利用（1）中規(guī)律是解（2）的關鍵，熟練掌握三角形外角的性質是解（3）的關鍵.題型05雙角平分線模型32．（2023·青海·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC的度數是______．【答案】30°【分析】如圖所示，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，∠1=∠2，∠4=∠5，∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，可算出∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5?∠2，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，∴∠A+∠1+∠2=∠4+∠5，∠2+∠E=∠5，∴∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5?∠2，∴∠A=2(∠2?∠5)，∠2?∠5=1∴∠E=30°，∴∠BEC的度數是30°．【點睛】本題主要考查三角形的外角、角平分線的性質，掌握角平分線的性質，三角形的外角的性質是解題的關鍵．33．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點D是AB延長線上一點．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．【初步應用】如圖③，點D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n【答案】（1）50；（2）240；（3）m+180；（4）60；（5）100；（6）180?m【分析】（1）根據三角形外角的性質求解即可；（2）根據三角形外角的性質結合三角形內角和定理求解即可；（3）由（2）同理求解即可；（4）根據角平分線的定義可得出∠CBO=12∠CBD，∠BCO=12（5）由∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）由∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n【詳解】（1）由三角形外角的性質可得出∠ACB=∠CBD?∠A=110°?60°=50°．故答案為：50；（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．∵∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∴∠CBD+∠BCE=240°．故答案為：240；（3）由（2）同理可得∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．∵∠A=m°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∴∠CBD+∠BCE=m°+180°=故答案為：m+180；（4）∵∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，∴∠CBO=12∠CBD∴∠CBO+